高数1.2教案.doc

高 等 数 学
§1.2数列极限
教学内容：数列的极限
教学目的：
（1） 正确了解数列极限的概念
（2） 了解用论证法验证的一般步骤
（3） 掌握数列的敛散性与有界性的关系
重点：数列极限的定义
难点：定义中和N的作用
教学过程：
从现在起，我们可以说真正进入高等数学的学习。
高等数学与初等数学的差别，除了研究对象不同外，主要是研究方法上的不同。初等数学的方法是建立在有限观念上，而高等数学是建立在无限观念上的。例如，初等数学中要求一个数，通过有限步的代数运算即可求出它的准确值。但在客观上存在着这样一种数，若只进行有限步代数运算，无法求得其准确值，如圆面积与圆周长。（半径为的圆面积，圆周长这两个结果是如何得来的呢？人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度，要从这个基础出发来求得圆面积和圆周长，就要通过极限这一有用的工具才行（割圆术）——作内接多边形逼近）。
理解极限概念、掌握极限方法，是能否学好高等数学的关键，只有掌握极限这把钥匙，才能打开通向微积分的大门，变门外汉为驾驭微积分工具的主人。
一、数列极限的定义
所谓数列，就是无穷多个数按次序一个接一个的排成一列 ，简记为或，称为该数列的通项。数列也可看作函数或，。
考察下列数列：
 ，
 ，
 ，1，4，9，…，，…
 ，1，0，1，0，…，，…
在上面的例1、2随着的无限增大，无限接近于常数（此时称收敛于）；例3随着的无限增大，无限增大，不能无限接近于一个确定的数；例4随着的无限增大，在0与1之间跳来跃去，也不能无限接近于某个确定的数。
上述定性描述显然是很不严格的，因为“无限增大”、“无限接近”这些描述性语句只是可以理解却含糊不清的语言。我们先来分析一下上述这些描述性语言的确切含义。所谓“项数无限增大，能无限接近于数”是指“当不断增大时，与的误差可以任意小”，也即：“只要充分大，与的误差要多小就有多小”，进一步可以说：“对任意给定的一个数，只要充分大，与的误差就可以小于这个数。”但究竟要多大呢？这只要解不等式即可。用数学语言表达出来，即得到数列极限的精确定义：
：设是一个数列，是一个确定的数，若，存在自然数使得当时，就有，则称数列收敛于，称为它的极限，记作 或（）读作：“当趋于无穷大时，的极限等于”或“当趋于无穷大时，趋于”。为拉丁文limes一词的前三个字母，也有说成是英文limit一词的前三个字母的。若数列没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。
定义2.1简称为数列极限的定义。

注1：的任意性
    是衡量与的接近程度的，愈小，表示接近程度愈好。它除限于正数外，不受任何限制。然而尽管有它的任意性，但一经给出，就应暂时看作是固定不变的，以便根据它来求。再者，既然是任意正数，那么等同样可为任何正数。因此，定义中不等式右边的完全可以用等代替。同理“”可以换成“”号。
2：的相对性
①一般说，是随着的变小而变大，即与有关，可将写成来强调依赖于。
②不唯一。找出一个，则，，……无穷多个都满足要求，但在定义中只关心的存在性，从这无穷多个值中任选一个即可，不必去找最小的。
③的求法。i）直接解不等式，求出。此时可取，也可取。
         ii）适当放大原不等式使得易于找出，只要从
中解出即可。（放大原则：1）使易解；2）要任意小，即）。
注3、几何意义：“使当时都有”即当时意即：所有下标大于的，都落在的领域内，而在这领域之外的至多有（有限）项。从收敛数列的几何意义看，改变数列的有限项不会改变数列的收敛性与极限值。

例1：求证
证：，要使，只要 即可
取，则当时便有，
故     （同理可证，）
例2：求证 （）
证：时结果显然。现证 的情形
，要使  即
因为故  故
取 （不妨假设），则当时便有即
故
例3：证： ，其中
证：用上例的方法同样可证。
今换一种方法，即放大法由伯努利不等式 （）
令  则
故  从而
，要使 只要即可，解得
取，则当时便有 
例4：证明
证： （二项式展开）

    因此，，取 ，则当时就有 即
附：此题请注意以下的错误做法：

 （注意 不趋于零）
例5：证明
证：由于  （） （*）
因此，只要取 便有
由于（*）式是在的条件下成立的，故应取，当时就有 
即
二、收敛数列的性质
定理1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一
证一：假设都是数列的极限，则由极限定义，对，，当
时，有   ；  时，有
取，则当时有

由的任意性，上式仅当时才成立。
证二（反证）假设极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为
 ，  且故不妨设，取
由定义，，当时有
      又，当时有
因此，当时有  
矛盾，因此极限值必唯一。
定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界
即，使对有
证：设 取，使得当时有
即    
    令
则有对 即数列有界
注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如
②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给。上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则随在变，找到的也随在变，界的意义就不明确了。
定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，
定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

徐屹 第 5 页 2024-12-7