2015中考数学试卷分类汇编：圆(9)解析.doc

2015中考数学真题分类汇编：圆（8）
一．解答题（共30小题）
1．（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．

2．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

3．（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

4．（2015•西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．

5．（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

6．（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

7．（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

8．（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

9．（2015•甘孜州）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

10．（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

11．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．

12．（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．

13．（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

14．（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

15．（2015•攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．

16．（2015•河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．

17．（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．

18．（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．

19．（2015•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线．

20．（2015•巴中）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．

21．（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．

22．（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

23．（2015•厦门）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

24．（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

25．（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

26．（2015•营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

27．（2015•宜宾）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．

28．（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

29．（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

30．（2015•广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．

2015中考数学真题分类汇编：圆（8）
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4，求EF的长．

考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE=DG=，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的长．
解答： （1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠ODA=∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，
∴EF与⊙O相切．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=4，
∴BD==2，
∵OD=OB=3，
设OG=x，则BG=3﹣x，
∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，
解得x=，
∴OG=，
∴DG==，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE=DG=，
∴AE==，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴=，即=，
∴=，
∴EF=．

点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
2．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．
解答： （1）证明：如图，

连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴=，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
点评： 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
3．（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
解答： （1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC==，
又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，
∴AC=15．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．

点评： 本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
4．（2015•西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
（2）连接CM，根据垂径定理求得=，进而求得∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，从而得出sin∠CBM=，在RT△BMC中，利用正弦函数即可求得直径AB，进而求得半径．
解答： （1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：连接CM，
∵OM⊥AC于点E，OM是半径，
∴=，
∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，
∴sin∠ABM=sin∠CBM=，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BMC=90°，
在RT△BMC中，sin∠CBM=，
∴=，
∴BC=10，
∴⊙O的半径为5．

点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
5．（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=，在RtECG中求得CG==12，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．
解答： （1）证明：连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=∠AOF=30°；
（3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG=BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A=，
在RtECG中，
∵CG==12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴，
∴AD=，CG=，
∴⊙O的半径OA=2AD=．

点评： 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

考点： 切线的判定．
分析： （1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；
（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长．
解答： （1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴=，即=，
∴PF=，
∴PD=PF﹣DF=﹣2=．

点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．（2015•莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

考点： 切线的判定．
专题： 证明题．
分析： 连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC﹣OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．
解答： 证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，
∴OE=，
根据勾股定理得：BE==，CE=OC﹣OE=，
在Rt△CEB中，BC==4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．

点评： 此题考查了切线的判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
8．（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

考点： 切线的判定．
分析： （1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC，进而求出即可．
解答： （1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴=，
∴=，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．
9．（2015•甘孜州）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函数即可求出FH．
解答： 解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OF，如图2所示：
∵OC=OF，∠C=60°，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC=BC=AB=2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
∴FH=CF•sin∠C=2×=．

点评： 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
10．（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出=，然后根据已知条件得出===，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出=，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出=，解得OA=2．
解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，=，
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴=，
∴DE2=DF•DB；
（3）解：连接DA、DO，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠EBD=∠OBD，
∴∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴=，
∵PA=AO，
∴PA=AO=OB，
∴=
∴=，
∴=，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
∴=，
设OA=x，
∴PA=x，PO=2x，
∴=，
∴2x2=16，x=2，
∴OA=2．

点评： 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
11．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．

考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算．
分析： （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，即可求出答案．
解答： （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
又∵AC=CD，
∴AC=BC=CD，
∴△ABD为直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵OA=OE，∠BAC=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∵CB=BA，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOC=30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AO=2，由勾股定理得：OC==2，
同理等边三角形AOE边AO上高是=，
S阴影=S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG==．
点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
12．（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．

考点： 切线的判定．
分析： （1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．
解答： 证明：（1）如图1，连接FO，
∵F为BC的中点，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE为⊙O的切线；
（2）如图2，∵⊙O的半径为3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=，AC=6，
∴AD=．

点评： 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
13．（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

考点： 切线的判定；解直角三角形．
分析： （1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函数即可求得．
解答： 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，则AT=2x，
∴OT=x，
∴TC=（﹣1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴==，即==，
∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，
∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，
∴tan∠TAC===．

点评： 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
14．（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

考点： 切线的判定；菱形的判定．
分析： （1）连接AC，由题意得==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；
（2）四边形AOCD为菱形．由=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
解答： 解：（1）连接AC，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴==，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠OCE=∠E，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）四边形AOCD为菱形．
理由是：
∵=，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形．

点评： 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容．
15．（2015•攀枝花）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．

考点： 切线的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）连结OD，如图，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用对顶角相等得∠EFD=∠CFO，则∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，则∠ODC+∠EDF=90°，于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线；
（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x+2，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，接着证明△EBD∽△EDA，利用相似比得==，即==，然后求出x的值后计算的值．
解答： （1）证明：连结OD，如图，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
设BE=x，则DE=EF=x+2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴==，即==，
∴x=2，
∴==．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
16．（2015•河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．

考点： 切线的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）连结OD，如图，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根据等腰三角形的性质由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，则可根据切线的判定定理得到FD是⊙O的切线；
（2）连结AD，如图，利用圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，则∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根据相似的性质得=，
再在Rt△ABD中，根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可计算出DF=2，从而得到EF=2．
解答： （1）证明：连结OD，如图，
∵CO⊥AB，
∴∠E+∠C=90°，
∵FE=FD，OD=OC，
∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，
∴∠FDE+∠ODC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；
（2）解：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠A+∠ODB=90°，
∵∠BDF+∠ODB=