第3章_矩阵力学基础——力学量和算符.doc

第三章矩阵力学基础(I)力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入和的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。这种量子化，通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程薛定谔方程同样的作用。3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值的概率，或电子动量具有某一确定值的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地，坐标的平均值和动量的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。在2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:，动能是，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。为此，先讨论力学量的平均值。对以波函数描述的状态，按照波函数的统计解释，表示在t时刻在中找到粒子的概率,因此坐标的平均值显然是 (3. 1.I)坐标的函数的平均值是 （3.1.2）这里已经假定，波函数满足归一化条件(2. 1 .6)式。现在讨论动量算符的平均值。显然,的平均值不能简单地写成因为只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要计算，应该先找出在t时刻，在中找到粒子的概率按2.2的讨论，这相当于对作傅里叶变换，而由公式 （3.1.3）给出，动量的平均值可表示为 （3.1.4）这里已经用了若归一，则也归一的结论。但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。应该找出一种直接从计算动量平均值的方法。为此，我们先计算动量在方向的分量的平均值。由(3.1.4)式得 (3.1.5) 利用公式 (3.1.6)可将(3.1.5)式改写为 (3.1.7) 同理有 (3.1.8) (3.1.9)由此得出结论:要在状态中求动量px 、py 、pz的平均值，只需以相应的微分算符、，作用在上，然后乘以,再对全空间积分就可求得。将(3. 1. 7)、(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得 （3.1.10）记动量算符为 (3 .1.11)可将(3.1.10)式写成 (3 .1.12)同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成 (3.1.13)同理还可给出对、的平均值。对于任何动量的解析函数，总可将按作泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有 (3. 1.14)比方，动能的平均值是 (3.1.15)角动量的平均值是 (3.1.16)(3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度。这正是波粒二象性的反映。按德布罗意关系(1.4.3)式，波长越短，动量越大。显然，若越大，则越短;因而动量的平均值越大。综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。在用坐标表象中的波函数计算动量平均值时，需要引进动量算符。除动量算符外，能量算符和角动量算符分别为 (3.1.17) (3.1.18)体系的任何一个力学量的平均值总可以表示为 (3.1.19)是与力学量相应的算符。在本章中，算符在它的顶上用“”表示。在对算符比较熟悉以后，为避免书写麻烦，我们将略去记号“”。在2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数表示，也可用动量表象中的波函数表示。与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。可以证明，在动量表象中的坐标算符是 (3.1.20)平均值是 (3.1.21) (3.1.22)相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是 (3.1.23)请读者自己证明动量表象中的这些结论。3.2算符的运算规则若某一运算将函数二变为函数,记作 （3.2.1）则表示这一运算的符号称为算符。若算符满足 （3.2.2）其中、 是任意函数，C1、C2是常数，则称为线性算符。动量算符、积分算符等均为线性算符。若算符满足 （3.2.3）为任意函数，则称为单位算符。在数学上，若存在映照，将集合中的元素,映照到集合之中的元素，记作：或。若集合和均为数集，则称为函数;若是一般的集合而是数集，则称为泛函；若和均为一般集合，则称为算子或算符。1.算符的运算规则算符的一般运算规则如下:（1）算符之和算符和之和(十)，定义为 (3.2.4)必为任意函数。显然，算符之和满足交换律和结合律而且，线性算符之和仍为线性算符。（2）算符之积算符和之积，定义为 (3.2.5)算符对任意函数的运算，等于先用对运算，得出，然后再用算符对进行运算得到的结果。一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律 (3 .2.6)比如，取；，则但因此有 (3.2.7)由于是任意函数，从(3.2.7)式得 (3.2.8)从(3.2.8)式可见。记和之差为 (3.2.9)称为算符、的对易关系或对易子。(3.2.8)式表明，与的对易子。若算符和的对易子为零，则称算符和对易。这时、之积满足交换律：。例如，与就是相互对易的算符。利用对易子的定义(3.2.9)式，容易证明，存在下列恒等式： （若为常数） (3.2.10)最后一式称为雅可比恒等式。作为例子，我们讨论角动量算符，它的三个分量分别是 (3. 2.11)它们和坐标算符的对易子是， ， (3.2.12)(3.2.12)式可表示为 (3.2.13) 上式中表示相应的分量，称为列维一斯维塔（LeviCivita）记号，满足 (3. 2.14)任意两个相邻下脚标的对换。改变正负号。因此，若任意两个下脚标相同。则为零。比如有。同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是 (3. 2.15)角动量算符各个分量之间的对易子是 (3.2.16)(3.2.16)式表明，角动量算符的三个分量、之间，彼此互不对易。(3.2.16)式中不为零的等式也可写成 (3.2.17) 而坐标和动量的对易子(3.2.8)式也可写成 (3.2.18)其中 (3.2.19)（3）算符的乘幂算符的次幂定义为 (3.2.20) 例如，若，则，算符之乘幂显然满足作为例子，考察。由 (3.2.21)显然有由于坐标轴的选择本来就是任意的;只须保持右旋坐标系，（）的顺序不变，定义哪个轴是轴，哪个轴是轴，不影响计算结果。因此有 (3.2.22)即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易。事实上，(3.2.13), (3.2.15)和(3.2.16)式中的，正是表征了上述右旋坐标系的性质。（4）算符的函数若是的解析函数，则算符的函数一般可定义为 (3.2.23)例如，算符的指数函数的定义是 (3.2.24)（5）算符之逆若算符满足且能从上式中唯一地解出来，则定义算符的逆算符为 (3 .2.25)并非所有算符都有逆算符存在。但若存在，则必有 (3.2.26)(3.2.26)式中，是单位算符。2.算符的矩阵表示算符所满足的上述运算规则使我们想起了一种数学工具矩阵，因为算符运算和矩阵运算完全一样。为了解算符的矩阵表示，先讨论普通的矢量空间。 (1)矢量空间以二维矢量空间为例。选为二维矢量空间中的一组正交标准基，满足记为二维矢量空间中的一个矢量为二维矢量空间中一个转角为的转动算符，经作用后，矢量变为矢量， (3 .2.27)或写成 (3.2.28)(3.2.28)式中的，就是将坐标系中的基矢转动角后变成新坐标系中的基矢，由图3.2.1可见， (3.2.29)式中：是新基矢在旧坐标系方向的基矢上的投影；是新基态在旧坐标系方向的基矢上的投影。将(3.2.29)式代入(3.2.28)式，得 (3.2.30) 或写成矩阵形式 (3 .2.31)因此，算符可以用矩阵表示 (3.2.32)相应地，新、旧坐标系中基矢的变化也可用矩阵表示为 （3.2.33）是的转置矩阵。由(3.2.32)及(3.2.33)式，有即 (3.2.34)是正交矩阵。由此得出结论：在矢量空间中的一个转动，或者说一个算符，对应一个矩阵。这个矩阵的列向量为；分别由新坐标系中的基矢，在旧坐标中的投影排列而成，是新基矢在旧基中的表示(3.2.31)和(3.2.33)式亦可写成 (3.2.35) (3.2.36)(2)希尔伯特(Hilbert)空间现在将上述讨论推广到量子力学。比较矢量在坐标系中的公式 (3.2.37)和 (3.2.38)可见，若将视为基矢，对的积分视为对基矢的求和，则可视为态基矢在基矢为的坐标系中的分量。与的各个分量组成一个列矩阵相似，也对应一个列矩阵。所不同的，仅在于是组分立的基矢，而是个的函数。是个分立的矩阵元为实数的列矩阵，而是个连续的无限维的矩阵，而且它的矩阵元可以是复数。严格说来，以前的所谓波函数，实际上是态矢量在以为基底的“坐标系”，或称表象中的分量或投影。在这种意义下，任何一个使态矢量变为另一个态矢量的算符运算，与相似均对应一个矩阵。这个矩阵和原来描述态矢量分量的矩阵的乘积，给出新的态矢量矩阵。但是这里要注意，由于一般说来，是复数，因此描述的矢量是个复矢量，这个矢量所在的空间，是个复的函数空间。它的基矢是个函数。而且空间的维数既可以是有限的，也可以是无限的，对于连续谱的情况，甚至可以是不可数的。这种函数空间，称为希尔伯特空间。.记为希尔伯特空间中的一组基，则任一态矢量在中可表示为 (3.2.39)以算符作用于态矢量后得 (3.2.40) 即有 (3.2.41)(3.2.40)式可写成矩阵形式，为 (3.2.42) 综合上述，我们得出结论：（i）体系的一个量子态，在希尔伯特空间中用一个矢量表示，这个矢量称为态矢量。（ii）在希尔伯特空间中给定了一组基矢后，态矢量可以用它在基矢中的投影，即用分量表示，从而表示为一个列矩阵，即波函数。在量子力学中，给定了一组基矢，称为给定了一个表象。给定表象后，量子态用波函数表示。（iii）算符是在希尔伯特空间中从一个矢量到另一个矢量的运算。给定表象，即给定一组基矢后，一个算符对应一个矩阵，表示为其它的矩阵元由算符占作用后的新基矢在旧基矢上的投影给出。（iv）一般说来，在量子力学中的希尔伯特空间，是复的函数空间。相互正交的基矢的数目，既可以是有限的，也可以是无限的。关于量子态和算符的矩阵表示，我们在下一章讨论表象理论时，还会作更详细的阐述。3.3厄米算符的本征值和本征函数为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符厄米算符。为此，先引进一些定义：1.希尔伯特空间中矢量的内积希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两个波函数和的内积为 (3 .3.1)它具有下述性质：(i) 。 (3 .3.2)(ii) (3 .3.3)(iii)若、为常数，则有 (3. 3 .4) (3 .3.4)2.转置算符若算符满足 (3.3.5) (3 .3.5) 则称为转置算符。转置算符具有下述性质：(i)转置算符所对应的矩阵为的转置矩阵，其矩阵元满足 (3.3.6)(ii)转置算符的乘积满足 (3.3.7)因为3.复共轭算符将算符中的所有复量均换成它的共辘复量，称为的复共轭算符。例如算符的复共轭算符。4.厄米共轭算符定义厄米共轭算符为 (3.3.8)有 (3.3.9)容易看出的厄米共扼算符就是它自己，哈密顿算符的厄米共扼算符也是它自己，即，厄米共轭算符的乘积满足 (3.3.10)5.厄米算符若，则称算符为自厄米共扼算符，简称厄米算符。由(3.3.9)式，按定义，厄米算符满足 (3.3.11)或写成 (3.3.12)厄米算符具有下述性质：（i）两厄米算符之和仍为厄米算符.(ii) 当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符。因为只在时，才有，即仍为厄米算符。(iii)无论厄米算符、是否对易，算符及必为厄米算符，因为 (iV)任何算符总可分解为 (3.3.13)令，则和均为厄米算符。在引进厄米算符的定义后，现在进一步讨论厄米算符的本征值和本征函数。在第二章中讨论的主要是能量算符的本征值和本征函数，现在把它推广到任意算符。任意算符，若作用于一函数后，所得结果等于一常数和的乘积： (3.3. 14)则称是的本征值，为的本征函数，方程(3.3. 14)式是的本征方程。一般说来，本征值入既可以是实数，也可以是复数。它的个数既可以有限，也可以无限。本征值既可以分立取值，也可以连续取值。因此，由全部本征值构成的本征值谱，既可以是连续谱，也可以是分立谱。本征值和本征函数除决定于算符乡外，还决定于本征方程满足的边界条件。对应于一个本征值，既可能只有一个本征函数，也可能有g个相互独立，彼此线性无关的本征函数。若对应于本征值有g个本征函数，且不能找到百个常数，使等式成立，则称本征值简并，简并度为g。现在证明，厄米算符的平均值、本征值、本征函数等具有下述重要性质：厄米算符的平均值是实数，因为 (3. 3.15)在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。证：得 (3. 3.16)但由(3.3. 16)式不足以说明算符厄米，因为是同一个态。要证明厄米，必须按厄米算符的定义，证明成立。而且、为两个任意的波函数。为此，令，利用算符在任何状态，包括态的平均值为实数，即由(3.3. 16)式得 (3. 3. 17)又因在、态中的平均值也是实数，因此(3.3.17)式可改写为 (3.3.18)对和作变换，令 (a、b为任意实数)代入(3.3.18)式后得 (3.3.19)因为a,b任意，(3.3.19)式成立的充要条件为因此，必为厄米算符。得证。由于力学量的观测值应为实数，而一般地，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，由性质、得。量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必为厄米算符。另外，在量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综合上述，我们得出结论:在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。由本征方程得 (3.3.20)因此，利用性质，得必为实数。厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。证： 且，因为是厄米算符，它的本征值是实数，。本征方程的共扼方程为由及的厄米性质， 及 得又因 (3.3.21) 得证。若本征函数是归一化的，则有 (3.3.22)厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。假定本征值有g度简并 (3.3.23)由于和对应同一个，前面的证明不适用。这些简并的本征函数并不相互正交。但我们总可以把g个本征函数汽重新线性组合为个另外g个新的函数 (3.3.24)使得这些新函数、相互正交。的确，的正交归一条件 (3.3.25) 中，归一化条件，有g个，正交条件有个，共有个。但待定系数有个。当时，待定系数的数目大于所应满足的方程的数目。因此可以有许多种方法选择，使简并的本征函数正交归一化。综合性质，得出结论:无论是否简并，厄米算符的本征函数系正交归一。厄米算符的本征函数系具有完备性。设是某一厄米算符的本征函数系，n取值既可以是连续的，也可以是分立的。可以证明，任何与满足同徉边界条件且在同样区域内定义的波函数价，都可按展开。由于厄米算符的本征函数系具有正交、归一和完备性，因此可以用它作为一组基矢，以构成希尔伯特空间。任何在这个空间中定义的波函数，都可按展开，得 (3.3.26)若本征值，连续，(3.3.26)式改为 (3.3 .27)n的取值部分连续，部分分立，则可表示为(3.3.26)及（3.3.27)式的叠加。叠加系数可由的正交归一性给出。以乘(3.3.26)式的两端并对变数的整个区域作积分后，得 (3.3.28)本书不拟对厄米算符的本征数系的完备性作严格的证明，有兴趣的读者可参阅有关专著。厄米算符的本征函数系具有封闭性。取为某一厄米算符的本征函数系。由的完备性，利用(3.3.26)及(3.3.28)式得 (3.3.29) 因为是任意函数，因此当且仅当 (3.3.30)(3.3.29)式才能成立。公式(3.3.30)表示本征函数系具有封闭性。当本征值为连续谱时，(3.3.30)式可改为 (3.3.30)若本征值既有分立潜，又有连续谱，则封闭性表示为 (3.3.30)厄米算符本征函数系的封闭性在实际运算中是非常重要的。在量子力学、量子统计乃至量子场论的实际运算过程中经常要插入“中间态”进行运算，就是利用3. 3.30)式。3.4连续谱本征函数鉴于厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭等极命重要的性质，可以用它作为希尔伯特空间的基矢;而且在量子力学中，可观测量对应线性厄米算符，因此在本节中我们将先罗列一些线性厄米算符的本征函数系，然后再讨论若本征函数为连续谱本征函数时，如何进行归一化。1.线性厄米算符的本征函数示例(1)坐标算符由本征方程 (3.4.1)可知算符在自身表象中的本征函数是。而了连续取值，是连续谱的本征函数。(2)动量算符由本征方程 (3.4.2)可知在以的本征函数为基矢的表象中，算符的本征函数是平面波，本征值也连续取值。(3)角动量引入球坐标对角动量算符作坐标变换，得出在球坐标中的角动量算符是 (3.4.3) (3.4.4)相应的本征方程是 (3.4.5)或 (3.4. 6)而的本征方程是 (3.4.7)与有共同的本征函数，球谐函数是正交归一的，相应的本征值和为分立谱。问题1求和的本征函数和相应的本征值。（4)动能算符在直角坐标系中，动能算符表示为 (3.4.8)它的本征函数是平面波。在球坐标中，动能算符为 (3.4.9)其中，是动量算符的径向分量。2.连续谱本征函数的归一化(1)无穷空间的归一化以平面波为例。的本征函数不能用普通的方法归一化，因为它的模不是平方可积的，不能使它归一化为1。在数学上，它只能归一化为函数。利用公式 (3.4.10)得 (3.4.11)事实上，的系数就是通过归一化为函数得来的。同样，的本征函数也可以用同样的方式归一化。的本征函数满足 (3.4.12) 事实上，凡连续谱的本征函数都可用函数的方式归一化。(2)箱归一化如果我们仍然要求按通常的方式对动量本征函数归一化，即仍然要归一化为1而不是函数，就必须放弃无穷空同的积分，采用箱归一化的方法。先以一维情况为例。设一维平面波只能在的区间中运动，且满足周期性边界条件：波函数在和处的数值相同 (3 .4.13)则这时的本征值二将分立，且相应的本征函数可按通常的方式归一化。事实上，对于厄米算符，周期性边界条件是最自然的边界条件。比如，由的厄米性，有即 得 (3.4.14)其中C为常数，由于和任意，因此(3.4.14)式只能是个常数。考虑到波函数本身可以差个常数因子，不失普遍性，可将(3.4. 14)式中的常数选为1，这就是周期性的边界条件(3.4. 13)式。利用(3.4.13)式及得 即 (3.4.15)因此分立取值，构成分立谱。取分立谱时的平面波为 (3.4.16)它的正交归一条件是 (3.4.17)显然，若，即箱的体积为无穷大时，由(3.4.15)式可知，本征谱变成连续谱，回到无穷空间归一化的情况。在从分立谱过渡到连续谱时，存在如下对应关系： (3.4.18) (3.4.19) 易将上述结果推广到三维情况。取体积，则箱归一化后的波函数为 (3.4.20) (3.4.21) (3.4.22) (3.4.23)从(3.4.23)式可见，每个量子态在以粒子的动量、坐标为基底的相空间(称为空间)中对应体积元。这正是量子统计中熟知的结果。三维情况下，箱归一化的正交归一条件是 (3.4.24) 其中及按(3.4.21)式的分立方式取值。在连续谱情况下，正交归一条件是 (3.4.25) 3.5量子力学中力学量的测量值在量子力学中，力学鱼的测量是个比较复杂的问题。它不仅涉及物理学，而且涉及哲学。本节只讨论侧量过程中的物理学间题。I.力学11有确定值的条件记与某一力学量相应的算符为。按3.3，必为线性厄米算符.现在问，是否在任何一个状态中，测量力学量都有确定值?为回答这个问题，先看一个特例。例如在平面波所描述的状态中，测量动量，必有确定值，因为平面波具有确定的动量。但若测量坐标则必无确定值，因为在平面波描述的状态中，粒子出现在空间各点的几率相同。因此显然不可能在任何状态中，测量任何力学量都同时具有确定的值。问题的关健在于，找出测量特定约力学量F，使它能有确定值的状态。为此，先给“确定值”以严格的定义。在量子力学中，在某一状态中测量力学量具有确定值的充要条件是在该状态中力学量的平方平均偏差为零.即 （3.5.1） 由于厄米，的平均值是个数，因此也必厄米，利用厄米的条件可将上式写成 （3.5.2）于是得出：的充要条件是，即 (3.5.3)由此得出结论：当且仅当是力学量的本征态时，在的本征态中测量才有确定值。而且这个确定值，就是在这个态的平均值.(3-5.3)式实际上就是的本征方程，在态的平均值等于它的本征值。正因为相应于态的本征值就是它的平均值，也是它的实验测量得到的准确值，因此本征值和平均值都必须是实数。若和是属于同一本征值的两个不同的简并态，则显然在它们的线性组合给出的态中测量，也有确定值。而且这个确定值就是它的本征值，也等于在态中的平均值.问题1 若和:是属于两不同本征值的本征态，在（是常数）中测量，结果如何?2.在非的本征态中测量设所满足的本征方程为 (3.5.4)现在在一个非的本征态中测量。因为线性厄米算府的本征函数系正交归一完备，因此总可将按展开 (3.5.5)的平均值是 (3.5 .6)因此，在非的本征态中测量力学量无确定值，但有平均值，而且平均值是由的本征值通过统计平均而得来。在中出现的几率是,是将态按展开时出现态的概率幅。因此得出结论：在非的本征态中测量，虽然无确定值，但有各种可能值。这些可能值就是的本征值，而且可能值出现的概率为。这个结论无论对的本征谱是分立谱、连续谱，还是既有连续潜又有分立谱都成立。问题2. 若的本征值既有连续谱，又有分立谱，任一波函数按的本征函数系的展开式为 (3.5 .6)试在这种情况下证明上述结论。3.不同力学2同时有确定值的条件若在态有确定值，则必须是的本征态，有 (3.5.7)同理，若另一力学量在态中也有确定值，则必然也是的本征态，有 (3 .5.8)必须是和的共同本征函数。由 即 (3-5-9)但(3-5-9)式并不能说明和对易，因为必只是一个特定的波函数而非任意波函数。事实上，两个不对易的算符，如和，固然在一般状态下测量它们，不同时具有确定值。但在角量子数的状态中测量它们，却同时具有等于零的确定值。因为，是个与角度、无关的常数。虽然和:不对易，但仍是它们的共同本征函数，而且本征值均为零关于算符的对易性和测量的关系，存在下述定理和逆定理:定理 若线性厄米算符和有不止一个共同本征函数，且这些本征函数构成完备系，则和必定可对易。证明：为方便起见，假定这些共同本征函数构成分立谱本征函数.任何一个波函数均可展开为