Fraunhofer衍射用于图像处理的Mathematica仿真.doc

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山东省第三届大学生物理科技创新大赛
研究报告

作品名称： Fraunhofer衍射用于图像处理的Mathematica仿真
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指导教师：
类别：
□实验方法研究（A类）
□自制实验教学仪器（B类）
□物理量智能化测量（C类）
√实验模拟与仿真（D类）
□实用创新（E类）

Fraunhofer衍射用于图像处理的Mathematica仿真

摘要：利用Fraunhofer衍射原理得到图像的傅里叶频谱，并且通过Mathematica软件强大的数据处理能力，把图片灰度化显示，灰度代表了振幅透过率，对二维灰度数据进行傅里叶变换即得到原图像的频谱数据；对频谱数据进行空间滤波，在频谱平面上不同位置放置不同方向的狭缝或小孔光阑，分别阻挡部分频谱，透射传递部分频谱，然后对滤波后的频谱数据进行逆傅里叶变换，即得到处理之后的图像。
关键词： Fraunhofer衍射；频谱；空间滤波；图像处理；Mathematica7.0；
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1 引言
光学信息处理是现代信息处理技术中一个重要组成部分，在现代光学中占有很重要的地位。它是基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程，较多用于对二维图像的处理。
Fraunhofer衍射和空间滤波作为光学中重要的理论，有助于理解图像处理的概念。傅立叶变换是光学信息处理中最重要、应用广泛的变换。从某种意义上说，掌握了傅立叶变换，就可以在频域中思考处理图像的方法，与此同时，使用傅立叶变换能够使复杂的问题简单化。
Mathematica是世界上著名的数学软件，具有编程简单、易于掌握、操作灵活、界面人性化的特点。广泛应用于数学、物理、生物等领域，本文利用Mathematica7.0的傅里叶变换功能分析演示改变傅里叶频谱处理图像的功能。傅里叶变换在数学、物理学、电子学有广泛的应用。在阿贝成像原理和空间滤波中，光通过透镜会聚后相当一次傅立叶变换，因此傅里叶变换是仿真的关键[1]。
2 基本原理
1873 年著名德国科学家阿贝（Abbe）创建了二次成像理论，为光学信息处理打下了一定的理论基础[2]。
阿贝的相干二次衍射成像理论与传统几何光学的成像概念完全不同。阿贝认为，相干成像过程分两步完成：第一步，物体在相干光垂直照明下，可以看作是一个复杂的衍射光栅，照明光通过物体被衍射，衍射光波在透镜后焦面上形成物体的夫琅和费衍射光斑图样；第二步，各衍射光斑作为新的次波波源发出球面子波，在像平面上相干叠加形成物体的像。两步成像的理论，是用频谱语言描述的波动光学观点。
如图示1，被观察的物体可以被看成一个复杂的二维衍射光栅，当用平面波照明该物体时，发生夫琅禾费衍射，在透镜 L 的后焦面上 P2 形成夫琅禾费衍射图样，即物体的频谱空间分布。由于物体 P1 放在透镜的前焦面上，故像距要比物镜焦距大的多，像面 P3 距离后焦面 P2 也就非常远，所以从后焦面到像面的衍射可以看成第二次夫琅禾费衍射[3]。

图1 阿贝成像示意图
由傅里叶光学可知，在相干条件下夫琅禾费衍射就是物体复振幅的傅里叶变换。因此阿贝成像两次衍射的过程也就是两次傅里叶变换的过程。物体的复振幅函数经过此两次变换发生复原，自变量加负号，得到了物体的倒像。为了便于观察成像效果，也就是得到物体的正像，我们把从后焦面到像面的第二次傅里叶变换用逆傅里叶变换代替。如果不考虑透镜的有限孔径的影响，物体的全部信息中的频率成分都形成空间的频谱，所有空间频谱又都参与综合成像，得到的像是几何光学理想像。
1963年，范德拉格特（A.Vander Lugt）提出了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段[2]。
空间滤波就是在光学系统的空间频谱面上，放置有适当复振幅透过率的狭缝、小孔光阑一类的滤波器，滤去某些空间频谱成分，选择传递通过某些空间频率成分或改变他们的振幅或相位，使像平面上物体的像按要求获得改善。
f(x0,y0)
H(fx,fy)
A
P0
Af(x0,y0)
L1
F
P1
AF(fx,fy)

|g(xi,yi)|2
D
Pi
g(xi,yi)
L2
F-1
AF(fx,fy)H(fx,fy)

图2 空间滤波原理示意方框图
图2中A为相干照明光源，多采用平面波垂直照明。P0为输入平面（物平面），P1为频谱平面，Pi为输出像平面。Li表示频率分解器，L2为频率综合器，他们通常都是一个傅里叶变换透镜。D为探测器。从输入物体到频谱，是物体各种频率成分重新合成过程[4]。
空间滤波中的物体，通常都是记录着输入信息分布f(x0,y0)的透明片，它放置在输入平面P0上。在相干光源A照明下，物体后的光场为Af(x0,y0)。利用透镜的傅里叶变换性质，物体经透镜后进行各种频率成分的振幅和位相进行调制。系统的传递函数与滤波器的复振幅透过率成正比，经调制后频谱为AF（fx，fy）H(fx,fy)。再经一次傅里叶逆变换，振幅和相位关系已经被调制的各频率分量在空间合成，在输出平面Pi给出符合要求的输出像分布g(xi,yi)。这就是空间滤波的基本物理过程。
上述空间滤波过程，可以用如下公式描述：
P0的输入为： Af(x0,y0) (1)
频谱面P1上的频谱为：
AF（fx,fy）=F{Af(x0,y0)}fx=x0/λf,fy=y0/λf (2)
紧靠滤波器后的频谱为：
AF(fx,fy)H(fx,fy) (3)
Pi平面上输出像光场复振幅为：
g(xi,yi) = F{F(fx,fy)H(fx,fy)} fx=x0/λf,fy=y0/λf
= f(xi,yi)*h(xi,yi) (4)
注：运算中已略去常系数。式（4）中h为Ｈ的傅里叶逆变换，称为空间滤波器的脉冲响应，它等于Ｐ0平面上点光源在Pi平面上产生的复振幅分布。
Pi平面上输出像的强度分布为：
I(xi,yi)=|g(xi,yi)|2=| |2 (5)
式（5）表明，进行空间滤波的结果，输出光场强度分布为输入信息与空间滤波器脉冲响应的卷积的平方。通常可以运用这一原理，根据对输入信息的具体要求，进行变换或滤波。如果从光学系统所能完成的功能分析，系统的空间滤波可以输入信息与滤波器脉冲响应的卷积运算。在频谱平面上放置滤波器其后有AF(fx,fy)H(fx,fy),实际上是实现了输入频谱和滤波器复振幅透过率的乘法运算。图像处理是基于上述傅里叶光学理论，通过空间滤波技术改变图像的空间频谱结构，所成的像随之改变。
3 模拟仿真实验
3.1 用Mathematica处理图像的演示步骤
光学信息处理中会把图像作为二维数值矩阵，而mathematica对数值矩阵的处理是非常方便的。
(1) 图片可以用图像处理软件（如Windows中自带的画图工具）预先画出，保存为jpg格式，然后将其读入软件中。当然也可以运用mathematica的一些命令来绘制一些简单的图形，比如网格，二维正交光栅等。
(2) 对输入的图形进行灰度处理，各个像素的值处于0和1之间 ，当用平面波对物体进行照射时，我们完全可以用这个二维矩阵代表物面的振幅透过率。然后进行傅里叶变换得到频谱数据，进而得到频谱面上的光强分布。
(3) 在进行傅里叶变换后，若在逆变换之前对变换域进行选择，可对图像进行滤波处理。即频谱矩阵和滤波器矩阵相乘，得到滤波后的频谱数据，对其进行逆傅里叶变换，进而得到处理后的图像[1]。
3.2 典型结果
3.2.1图像周期性网点的消除
1、 图像中的周期性网点
报纸上的印刷照片和图像，存在着大量的周期性网点。这些周期性网点是制版过程中形成的。图片中网点的存在，直接影响观看的效果。由于这些网点是周期性的，并且其间距很小，所以是一种高频信号。
2、 图像周期性网点的消除
可用相干滤波的方法，将图像中的周期性网点消除。在4f系统中，将记录有周期性网点图像的透明胶片放在输入平面P0上。设原图像的分布函数为f（x0，y0）。大量周期性网点组成的图像，相当于一幅抽样图像，忽略每个网点的大小，其复振幅透过率可表示为：
f0(x0，y0)=comb() comb() f (x0，y0) (6)
式中，a、b分别表示网点沿x0、y0方向的间距。式（6）表明，网点图像由δ函数阵列构成。利用傅里叶变换的卷积定理，在频谱平面上图像的频谱为：
F0(fx，fy) = F﹡F(fx，fy)
= (7)
频谱平面上图像的频谱F是以（）点为中心，周期性的重复出现。沿fx方向的周期间隔为1/a,沿fy方向的周期间隔为1/b。
一幅实际图像分布一定是带限函数。它的频谱只在频谱平面的一个有限区域上不为零。设这个区域为矩形，并以2A、2B分别表示这个最小区域在fx和fy方向上的宽度，则当
1/a≥2A 1/b≥2B (8)
即： a≤1/(2A) b≤1/(2B) (9)
时，F0中各个频谱区域就不出现重叠现象。实际上网点距离比较小，上述条件通常是得到满足的。因而各频谱区域分开，可以用空间滤波的方法，从F0中抽取原函数频谱F，阻挡其他频谱，再由F求出原函数。具体来说，就是采用开孔适当大小的低通滤波器H（fx，fy），只让中心（m=n=0）的一个F（fx，fy）通过，即：
F0（fx，fy）H（fx，fy）=F（fx，fy） (10)
最后在输出平面Pi上得：
g（xi，yi）= F —1{ F0（fx，fy）H（fx，fy）}= F —1{ F（fx，fy）}= f（xi，yi） (11)
这样就获得一幅没有网点的图像分布。下图给出了四幅分别为经网格滤波处理前后的对比图像。

网格后的女孩　　　　　　　　　　　　网格女孩频谱

透过最低级频谱　　　　　　　　　　女孩被“解放”出来
图3 低通滤波实例图
如图3所示，即网格的频谱为高频，女孩的频谱为低频，用低通滤波器滤除高频成分，再经过傅里叶逆变换则得到女孩图像。
通常从电视和传真传送中记录下来的图像，以及B超图像等，都存在有扫描线，用低通滤波器进行相干处理，也可以将扫描线消除。
3.2.2图像处理演示

(1) 原图像及其频谱

(2) 垂直狭缝滤波及其滤波后的像

(3) 水平狭缝滤波及其滤波后的像

(4) 倾斜狭缝滤波及其滤波后的像
图4 网格的不同形状滤波及对应二次成像
物体的空间频谱，包含着物体信息中的各种空间频率分量。在空间频谱平面上的频谱坐标中，中央原点的频谱，由物体衍射光波与光轴平行的平面波分量相应的角谱形成，称为零频，相当于直流分量，也就是物体图像的背景光；沿水平或垂直坐标方向上，一次为基频、倍频、高频频谱，离中心原点越远，相应的空间频谱的频率成分越高。它们分别由垂直或水平光栅衍射的光波对应的角谱形成，物体的像和物体被系统传递的空间频谱有一 一对应的关系。它们的相似程度，完全由能够被系统传递到像平面上的频谱的多少决定。在空间频谱面上放置不同透射情况的光阑，改变透射的空间频谱，能够被系统传递的频谱受到调制，像平面上输出像的结构也相应发生变化。所以，当狭缝光阑通过原点垂直放置时，水平方向的空间频谱受阻，物体中与这部分频谱相应的信息不能通过系统被传递，与其相应的垂直条纹消失，透过狭缝的频谱被传递而综合成只有水平条纹的像。如图4（3）所示。当狭缝水平放置时，垂直方向的频谱被传递而综合成只有垂直条纹的像。如图4（2）所示(具体演示过程见程序) 。

全通（不滤波） 完全成像

低通滤波（开口小） 成像不清

低通滤波（开口大） 成像较清

高通滤波 得到轮廓线
图5 女孩图像的低、高通滤波
图5是女孩图像频谱不同的滤波效果。在频谱面上放置一个可变圆形光阑，当光阑很小时，并只允许中央亮点代表的分量通过时，在像面上只看到一片均匀亮度，没有图片的像；如果光阑逐渐增大时，通过的频谱分量增多，便可以看到图片的像，并且像由模糊逐渐变得清晰起来。简而言之，由于频谱的级数越大，频率越大；而频率越大，轮廓越清晰，频率越小，像越清晰[5]；所以全通滤波，便可以得到完整的像，而高通滤波仅仅得到轮廓线，低通滤波，仅得到像的内容，进而完成图像的处理。
由于某些图像包含有很多的高频噪声，例如用点染制版的新闻照片和传真照片，图像是由许多灰度不同点或网格构成，高频成分很多，形成高频噪声；航空拍摄的放大照片中颗粒状噪声；激光光束扩束后出现的相干光斑等，都是高频噪声。用低通滤波器进行滤波，可以去掉高频噪声，使图像变得清晰、柔和、逼真。而相反，图像的边缘或透过率锐变得地方含有丰富的高频信息。经高通滤波后，能突出图像边缘部分，产生边缘增强的效果。
这一演示实验可以使我们看到图片的像是怎样由各频谱分量一步步综合出来的。可以发现，低通滤波时，随开口变大，二次成像效果逐渐变好；还发现，高通滤波可以得到图像的轮廓线，这是很有实用价值的，例如在模式识别中可以提取图像的某些特征（具体演示过程见程序）。
成像过程中，频谱的分解和综合使得人们可以通过物理手段在谱面上改变物体频谱的组分或分布，来达到处理和改造图像的目的。从处理后的效果图可以看出，在摒弃图像的某部分信息时，同时也会对预保留的信息造成影响。因为它们的频谱是同时弥散在频谱空间内的,因此要从输入图像中摒弃某种信息时，一定要事先研究该类信息的频谱特征,针对它设计相应的滤波器，保证所需图像信息的频谱最大限度地保留，再经过二次衍射合成后即可得理想效果。
在我们的模拟实验中，采用Manipulate利用可操作调节的画面动态展示了阿贝成像和空间滤波，在展示框中可自由的选择物图像和空间滤波器，大大增强了实验的可操作性，多种自由化选择可以更加真实的了解到成像的原理和体会到光学信息处理的本质。

4 结论
傅里叶变换很好的理论背景，使其在空间滤波、光学信息处理中发挥着重要作用。随着图像处理所用的计算机设备不断降价，随着支持傅里叶变换的硬件的出现，傅里叶变换在数字图像处理领域将得到进一步发展。
利用Mathematica模拟图片处理，能显示复杂的物理现象,使抽象的问题形像化，使学生加深对空间频率、频谱、空间滤波和卷积等的理解。不仅使学生多学些知识或节约一点时间，这还是教学内容和教学方法的更新,是实现教学现代化的探索。 学生学到的不仅是阿贝成像原理和Fraunhofer衍射,或利用Mathematica 进行数学图像处理这两个分立的知识，学生真正学到的是如何运用算机技术构建物理模型，从而更有利于分析、解决实际问题,可以更多、更直观地从近代物理实验中了解应用技术，这对于学生的素质教育是大有好处的。
参考文献：
[1] 基于Mathematica6.0的空间滤波实验演示[J].物理实验，2008,28（2）：18-21
[2] 陈家壁，苏显渝·光学信息技术原理及应用 [M].北京：高等教育出版社，2002
[3] 赵凯华，钟锡华.光学（下册）[M].北京：北京大学出版社，1984:123-125
[4] 梁瑞生，吕晓旭·信息光学（第2版）[M].北京：电子工业出版社，2008
[5] 郁道银，谈恒英·工程光学（第2版）[M].北京：机械工业出版社，2008

附：
“Fraunhofer衍射用于图像处理的Mathematica仿真”运行界面截图

1. 图片类型可以用下拉菜单来选择
2. 频谱的处理可以从上下左右四个方向控制，分别有四个可以由鼠标任意拖动的按钮。因此，对原图像的处理可以实现动态的连续改变，实时观察处理后的图像。
如运行界面截图所示，可以在Pictures source控制框中选择不同的图片（包括女孩、一维栅条、栅条后的女孩、二维栅格、栅格后的女孩）；在Left—Right以及Upper—Down控制项中选择光阑的左右和上下的尺寸，从而得到不同的频谱结构。