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2013年高三测试（三）
理科数学
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
棱台的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上．下底面积, h表示棱台 V=πR3
的高 其中R表示球的半径
第I卷（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设全集,集合,,则等于
（A） （B） （C） （D）

2．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为

3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
4．设实数满足,则的最大值和最小值之和等于
（A）12 （B）16 （C）8 （D）14
5．若，且，则的值为
（A） （B） （C） （D）
6． 过双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
7．设,若,则的最大值为
（A） （B）2 （C） （D）3
8．数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为
（A）84 （B）168 （C）76 （D）152
第II卷（共110分）

（第12题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（一）必做题（9～13题）
9．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为 ．
10．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的值为 ．
11．在的展开式中,含的项的系数是 .
12．平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点且法向量为的直线（点法式）方程为，化简后得．则在空间直角坐标系中，平面经过点，且法向量为的平面（点法式）方程化简后的结果为 ．
13．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，且AB中点的纵
坐标为，则的值为 ．
P
A
B
C
O
•
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分）
14. 《坐标系与参数方程》选做题：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则圆的半径为_____.
15. 《几何证明选讲》选做题：已知椭圆经过点
，则______，离心率______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知成等比数列，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求函数的值域．

17. （本题满分12分）某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：
（Ⅰ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）进一步调查：
(1)从赞同“男女同龄退休” 16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
(2)从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X,求X的分布列和均值.
附：

18．（本题满分14分）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（本题满分14分） 如图，垂直平面，，，点在上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．

20．（本题满分14分） 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．动点满足（其中，不重合）．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为．若直线与（Ⅰ）中的曲线交于两点，求的取值范围．

21．（本题满分14分）设函数，若在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，
（ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）对任意的，证明：．

2012年高三测试（三）数学（理科）答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
D
A
B
A
二、填空题：
9．； 10．10； 11．－5； 12．；
13．； 14. 15. ，
三、解答题：
16．解:（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则.由正弦定理得.
又，所以.因为sinB＞0，则. ……………………4′
因为B∈(0，π)，所以B＝或.
又，则或，即b不是△ABC的最大边，故. …………………3′
（Ⅱ）因为，则
. ……………………4′
，则，所以.
故函数的值域是.
17. 解: ……………………3′

18．解：（Ⅰ）设的公比为，则有或（舍）.
则，，
.
即数列和的通项公式为，. ……………………6′
（Ⅱ），令,所以
,
如果 是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以. ……………………4′
当或时,,不合题意;
当或时,,符合题意.
所以,当或时,即或时,是数列中的项. …………………8′

19．解：（Ⅰ）过E点作与点F，连AF，于是
所以，又，所以；
又，，所以 ，所以，
，，所以
，所以与相似，所以，即；又，于是，又，
所以. …………………6′
（2）解法一（空间向量法）
如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，
，设平面ABE的法向量为，，于是，令，得，得.
设平面ACE的法向量为,
，于是，令，得，得.
,解得：. ……………………8′

解法二：（综合几何法）
过F作于G点，连GC,GB，由，可得，所以，所以为B-AE-C的平面角，设AC=1,则,所以，于是
,，
于是由，得到.…………………8′
20．解：（Ⅰ）设点,由，得，由于点P在上，则，
即M的轨迹方程为. …………………4′
（Ⅱ）设点，，则AT，BT的方程为：，，
又点 在AT、BT上，则有：
①，②，由①、②知AB的方程为：. …………3′
设点，则圆心O到AB的距离，
；又由，得，于是
，，于是
于是， …………………3′
设，则，于是，设，于是，设，，令，得.
得在上单调递增，故.
即的范围为 …………………5′
21．解：（Ⅰ），依题意有：； …………2′
（Ⅱ）恒成立.
（ⅰ）恒成立即.
方法一：恒成立，则.
当时，
，则，，单调递增，当，， 单调递减，则，符合题意；
即恒成立，实数的取值范围为； ……………6′
方法二：，
①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；
②当时，，
（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，矛盾，不符题意；
（2）若，
若，，，，单调递减，不符题意；
若，，，，单调递减，不符题意；（矛盾；）
若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；
综上，得恒成立，实数的取值范围为； ……………6′
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为.
方法一：令，考虑函数

，
下证明，即证：，即证明
，由，即证，
又，只需证，即证，显然成立.
即在单调递增，，则，得成立，
则对任意的，成立． ……………7′
方法二：考虑函数

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