浅谈整函数与亚纯函数.doc

浅谈整函数与亚纯函数
摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．
关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理

The Discussion of Integral Function
and Meromorphic Functions
Abstract: This paper mainly introduces integral function and its related theorem，
corollary， transcendental integral function， meromorphic functions and its related theorem， corollary， transcendental meromorphic functions， and Liuweier theorem， algebra fundamental theorem， etc．
Keywords: Integral function;Transcendental integral function;Meromorphic
function;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem
1 整函数的概念
定义1 在整个平面上解析的函数称为整函数．
例如，多项式，，等都是整函数．
设为一整函数，则只以为孤立奇点且有

定理1 设为一整函数，则
(1)为的可去奇点的充要条件为常数，
(2)为的阶极点的充要条件为是是一个次多项式

(3)为的本质奇点的充要条件为展式有无穷多个不等于零．
由此可见，整函数族按唯一奇点的不同类型而被分为了三类．
例1 设为一整函数，试证

也是一个整函数．
证 显然，在的点上解析．
在点，由为一整函数知，在这一点解析，又有
，
故在这一点也解析．
例2 为一整函数，且满足下列条件之一，试证必为常数．
(1) ;
(2) 在平面上解析;
(3) 为常数;
(4) 或为常数．
证 (1) 对有，从而，故为常数．
(2) 设则解析，易知从而为常数，故为常数．
(3) 若，则显然．若，则此时有，且，即也是解析函数，则利用（2）即得．
(4) 设若，则．由．--．条件得 ，因此为常数．
若为常数，同理可得为常数．
1．1 超越整函数
设为一整函数，则有若其中有无穷多个不等于零，则为超越整函数．
例如，，，等都是超越整函数．
1．2 刘维尔定理
有界整函数必为常数．
证 设的上界为，则在柯西不等式中，对无论什么样的R，均有．于是令，有

上式对一切R均成立，令，即知，而是平面上任一点，故在平面上的导数为零，从而必为常数．
刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．
它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界．
1．3 刘维尔定理的扩充定理
在扩充平面上解析的函数必为常数．
证 在平面上解析，则必为整函数，而整函数只以点为孤立奇点，而在点解析，故点只能是的可去奇点，从而必为常数．
推论1 实部有界的整函数必为常数．
证 令则为整函数．由于实部有界，则存在，使得从而有界，由刘维尔定理可见是常数，因此为常数．
推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．
证 设为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在及，使得对任何，恒有，则有非常数整函数(因)．所以在平面上任何点，分母，从而在平面上解析，即为整函数．又因非常数，所以非常数，其值全含于一圆之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外．
1．4 代数学基本定理
在平面上，次多项式

至少有一个零点．
证 反证法，设在平面上无零点．由于在平面上是解析的，在平面上也解析．下面我们证明在平面上有界．由于

故存在充分大的正数，使得当时，．
又因在闭圆上连续，故可设
(正常数)，
从而，在平面上

于是，在平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，必为常数，即必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．
2．亚纯函数
定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数．
亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．
定理2一函数为有理函数的充要条件是在扩充平面上除极点外无其他类型的奇点．
证 必要性 设有理函数

其中与分别为的次与次多项式，且彼此互质，则
（1）当时，必为的阶级点；
（2）当时，必的可去奇点，只要置

就是的解析点；
（3）的零点必为的极点．
充分性 若在扩充平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充平面上的聚点就是的非孤立奇点．与假设矛盾．
今令在平面上的极点为其阶分别为则函数

至多以为极点，而在平面上解析．故必为一多项式（或常数）．即必为有理函数．
推论 每一个有理函数必为亚纯函数．
2．1 超越亚纯函数
不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数．
例3 是一个超越亚纯函数．
证 有无穷多个极点：

其聚点是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．
例4 证明是单叶整函数的充要条件是
．
证 充分性 由于函数

及其反函数

都是单值整函数（一次多项式），所以
．
是单叶整函数．
必要性 设是单叶整函数，则整函数分为三类：
（1）为常数，这与单叶性假设矛盾;
（2）为超越整函数，

它的唯一奇点是本质奇点．再由皮卡大定理，对每个除掉可能的一个值外，必有趋于的无限点列使这也与的单叶性假设矛盾;
（3）为一多项式，

对任意由代数学基本定理，必有且只有个根（是几重根就算作几个根），但由的单叶性假设，必有即必有

也可写成
．
参考文献：
[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．
[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983．
[3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955．
[4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198
学年论文成绩评定表
评 语

成 绩：

指导教师(签名):

201 年 月 日

学院意见：

学院院长(签名):

201 年 月 日