资源描述
选择题
1、 若函数在点处连续，则的值为（ ）
A．10
B．20
C．15
D．25
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据函数在处连续，有等式成立，即可求出的值为4，然后直接代入即可得到结论．
考点：函数的性质及应用．
选择题
函数的单调递增区间是（ ）
D
本题考查对数函数以及复合函数的单调性，中档题．
，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
选择题
设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，0]
C．[1，2]
D．[0，2]
D
本题考查分段函数、二次函数、分式函数以及函数最小值求解，具有一定的综合性．若a大于0，则及，
依题意得，解得；
若a不大于0，及，最小值在处取得，依题意，a=0，
综上：选D．
选择题
将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
B
本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的解析式为，即．
由，得，取得
，所以图象对应的函数在区间上单调递增．选B．
选择题
已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．1
D．2
A
本题考查指数函数、分段函数，已知函数值求参数，中档题。
，，所以解得
选择题
已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[-1,+∞)
D
本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质．
当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞）．
选择题
已知函数，，若，则（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. -1
A
本题考查指数函数、二次函数以及复合函数，知函数值求参数，简单题．
选择题
函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
C
本题考查对数函数、复合函数的定义域、一元二次不等式，简单题．
选择题
下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
本题考查幂函数、指数函数的单调性，考查抽象函数的理解，中档题．只有D不是单调递增函数，对于B：，满足条件．
选择题
下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
本题考查幂函数、指数函数的单调性，考查抽象函数的理解，中档题。只有C不是单调递增函数，对于D：，满足条件。
选择题
将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
B
本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
选择题
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )．
A． (－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
D
构造函数F(x)＝f(x)·g(x)，则F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由已知当x＜0时，F′(x)＞0，函数F(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，从而F(x)为奇函数，F(x)在(0，＋∞)上也为增函数且F(－3)＝F(3)＝0．根据题意提供的信息作出大致图象如图所示，由图象不难得到f(x)·g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)，故选D．
选择题
设偶函数f(x)满足f(x)= 2x-4（x≥0），则{x|f(x-2)>0}=( ).
A. {x|x<-2或x >4}
B. {x|x<0或x >4}
C. {x|x<0或x >6}
D. {x|x<-2或x >2}
B
当x≥0时，由f(x)=2x-4>0，得2x>4=22.因为当a>1时，y=ax单调递增，所以x>2.又f(x)为偶函数，所以f(x)>0时，x>2或 x<-2，故由f(x-2)>0可得x-2>2或x-2<-2，即x>4或x<0，因此选B.
选择题
函数y=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象必经过点（ ）．
A． （0,1）
B.（1,1）
C.（2,0）
D.（2,2）
D
当x-2=0，即x=2时，y = a0+1 = 2，所以无论a 取何值，函数恒过点(2，2).
选择题
设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则M∩N为（）.
A. [0, 1)
B. (0,1)
C. [0,1]
D. (-1,0)
A
M=[0,1],N=（-1,1），则M∩N=[0, 1)，故选A.
选择题
已知y=loga(2-ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为（ ）。
A. （0,1）
B.(1,2)
C. (0,2)
D.[2,+∞）
B
题目中隐含条a>0，
当a>0时，2- ax为减函数，
故要使y = loga (2 - ax)在[0，1 ]上是减函数，
则a>1，且2 – ax在x∈[0，1 ]时恒为正数，
即2-a >0，故可得1 <a<2.
选择题
已知函数y=f(2x)的定义域为[1,2]，则函数y=f(log2x)的定义域是( )．
A． [2,4]
B．[4,16]
C．[0,1]
D．[1,2]
B
本题是两个方面的问题：①已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域；②已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域．
解：∵函数y=f(2x)的定义域是[1,2]，
∴1≤x≤2．
∴2≤2x≤4，即y=f(x)的定义域是[2,4]．
∴2≤1og2x≤4，即4≤x≤16．
∴函数y=f(log2x)的定义域是{x|4≤x≤16}．
【点拨】求定义域一般是根据条件列出不等式组求之，但求复合函数的定义域要切实把握好内外函数的定义域与值域的关系．
选择题
已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( )．
A．0
B．－2
C．2
D．－4
D
∵f′(x)=2x＋2f′(1)，∴f′(1)=2＋2f′(1)，即f′(1)=－2，∴f′(0)=－4．
选择题
已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，则当x＜0时，有( )．
A． f′(x)＞0，g′(x)＞0
B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0
D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
B
由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．根据奇偶函数图象的特点知，当x＜0时，f(x)的单调性与x＞0时相同，g(x)的单调性与x＞0时恰好相反．因此，当x＜0时，有f′(x)＞0，g′(x)＜0．
选择题
设函数则当x>0时,表达式的展开式中常数项为( )
A． －20
B．20
C．－15
D．15
A
当x>0时，f，所以，其展开式的通项为,所以由题意知，,即,所以展开式中常数项为．
选择题
设函数，若，，则关于的方程的解的个数为 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C.
【解析】
试题分析：由，可得，当时，有两个解，当时，显然有一个解，故选C.
考点：分段函数.
选择题
若函数，则（其中为自然对数的底数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意可得，故选C.
考点：分段函数.
选择题
已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝ (x≠0)，则f()等于( )
A．1
B．3
C．15
D．30
【答案】C
【解析】令1－2x＝，得x＝，∴f()＝＝15，故选C.
选择题
已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】Ａ
【解析】
试题分析：先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．
考点：１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．
选择题
已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是增函数
C.是周期函数
D.的值域为
【答案】D
【解析】
试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不正确.由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.
考点：1.分段函数.2.函数的性质.
选择题
若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
A．[-1,2]
B．[-1，0]
C．[1，2]
D．
【答案】D
【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．
【考点】分段函数的单调性与最值问题．
选择题
已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的图像如下图所示：
由图知，成立的临界条件是：过原点作函数的切线的切线斜率，
因为，所以
满足成立的取值范围为
故选D
【考点】分段函数；导数的几何意义；数形结合.
选择题
已知，若函数只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：可将问题转化为函数和的图像只有一个交点。将变形为，可知直线过定点。时，函数在上是增函数，且；当时，函数在上单调递减，且。当时，显然成立；当时，直线与函数相切时，因定点即在直线上又在函数图像上，则此点即为切点，因为，由导数的几何意义可得，有数形结合分析可知时两函数图像只有一个交点；当时，直线与函数相切时点即为切点。因为此时，所以即此时切线的斜率，由数形结合分析可知时两函数图像只有一个交点。综上可得或。故D正确。
考点：1函数的单调性；2数形结合思想。
填空题
已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______
（1，2）
本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，
作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，
当a≤0，不满足条件，
∴a＞0，
当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，
当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，
∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，
则1＜a＜2，
故答案为（1，2）
填空题
函数的单调递减区间是________.
（﹣∞，0）
本题考查对数函数以及复合函数的单调性，中档题．因为y=lgx2=2lg|x|，
∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
故填（﹣∞，0）．
填空题
设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 _________ ．
若时，则时，，时，，
依题意得；
若a小于0时，则时，，时，，最小值在处取得，符合题意，a<0，
综上。
本题考查分段函数、分式函数、考查基本不等式求函数最值求解，具有一定的综合性。
填空题
设是定义在上的周期为的函数，当时，，则____________。
1
本题考查函数的表示方法、函数的解析式、分段函数、求函数值等基础知识，简单题．
故答案为1
填空题
设函数若，则实数的取值范围是
本题考查分段函数及函数的表示，解不等式（组），不等式的性质等基础知识，中档题．
或，
或
填空题
设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 ．
本题考查函数的表示方法、函数的解析式、分段函数、求函数值等基础知识，简单题．
填空题
设函数则使得成立的的取值范围是________.
本题考查函数及其表示、解析式、幂函数、指数函数、分段函数、指数不等式等基础知识，考查分类讨论思想，考查综合运用知识解决问题的能力。中档题。
当x <1时，由可得x -1£ ln 2，即x £ ln 2+1，故x <1；
当x ³1时，由f (x) =£ 2可得x £ 8，故1£ x £ 8，综上可得x £ 8
填空题
设函数，若，则＝_________；
本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可．设t=f（a），则f（t）=2，
若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，
若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，
即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，
即f（a）=0或f（a）=﹣2，
若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立，或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．
若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解，
由f（a）=﹣2得，a2+2a+4=0，此时无解，
综上：a=，
故答案为．
填空题
函数的零点个数是_________
2
，2x-6+lnx=0
画出y=lnx,y=6-x图象便知2x-6+lnx=0有一个正根.
填空题
若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则＝
本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为，
则
故答案为．
填空题
已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题分析：画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，即函数的图象与有两个不同的交点，的取值范围为(0,1)．
考点：分段函数．
填空题
设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 .
【答案】1
【解析】
试题分析：.
【考点定位】周期函数及分段函数.
填空题
设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，
则 .
【答案】1
【解析】
试题分析：.
【考点定位】周期函数及分段函数.
填空题
设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .
【答案】
【解析】
试题分析：当时，当时，当时，，因此当时，对应唯一的所以对恒成立，即，正实数的最小值是
考点：分段函数值域
填空题
填空题
设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .
【答案】
【解析】
试题分析：当时，当时，当时，，因此当时，对应唯一的所以对恒成立，即，正实数的最小值是
考点：分段函数值域
填空题
已知，，，
，则的最大值等于 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：设，则，所以
考点：分段函数
填空题
已知，，，
，则的最大值等于 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：设，则，所以
考点：分段函数
填空题
[2014·合肥模拟]f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是________．
【答案】(8,9]
【解析】2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x＞0，x－8＞0，且x(x－8)≤9，解得8＜x≤9.
解答题
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y= kx-(1+k2)x2(k>0)表本的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3. 2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
见解析．
(1)在y= kx-(1 +k2)x2(k>0)中，令 y=0，得 kx -(1 +k2)x2=0.
由实际意义和题设条件知x>0，k >0.
∴x==≤= 10，当且仅当k = 1时取等号.(≥2k·=2)
∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵ a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使kx-(1 +k2)a2=3.2 成立，
即关于k的方程a2k2 -20ak + a2+64=0有正根.
由 ∆ = ( -20a)2-4a2 (a2 + 64)≥0 得a≤6.
此时，(不考虑另一根).
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.
解答题
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度ν(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度ν是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时，求函数ν(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)= x·ν(x) 可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)
（1）ν (x) = ；（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
(1)由题意：当0≤x≤20时，ν(x) =60;当20≤x≤ 200 时，设 ν(x) =ax + b，
显然ν(x)= ax + b在[20，200 ]是减函数，由已知得
解得
故函数ν(x) 的表达式为
ν (x) =
(2)依题意并由(1)可得
f(x) =
f(x)在[20，200]上是连续函数，当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20 =1 200；
当20≤x≤200 时，f(x)= x(200 -x) =- ( x-100)2+≤.当且仅当x=100时，等号成立.
所以，当x = 100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当x = 100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.
解答题
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
见解析
(1)设隔热层厚度为xcm，由题意，每年能源消耗费用为．
再由C(0)＝8，得k＝40，因此．
而建造费用为C1(x)＝6x，
所以可得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
．
(2)，令f′(x)＝0，即，解得x＝5或(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10时，f′(x)＞0．故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为．
故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．
解答题
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100）=;
(2)
（3）当n=b（）,g(n)=0；
当n=10k+bg(n)=k;
n=100时g(n)=11，即
同理有
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90
所以当时，S=
当n=9时，p（9）=0，
当n=90，p（90）==
当n=10k+9（）时，p（n）=
由y=关于k单调递增，故当当n=10k+9（）时，
P（n）的最大值为p（89）=，又,所以最大植为.
本题考查概率、函数的表示、分段函数、函数的性质、排列等知识，考查分类
讨论思想、转化与化归思想，本题为信息题，也是本卷的压轴题，综合考查认
识问题、分析问题、解决问题的能力，难题。
解答题
已知函数，设为的导数，。
（1）求的值；
（2）证明：对任意的，等式都成立。
（1） ；（2）证明见解析．
本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。难题。
由已知,
所以,
所以,
所以,
(Ⅱ)由已知:,等式两边分别对求导,得即
类似可得:
由此猜想:对任意都成立
下面用数学归纳法进行证明:
(1)当时,由上面的猜想过程,知等式成立
(2)假设时等式成立,即
因为
所以,
所以,时,等式成立
综合(1)(2),可知等式对任意都成立
令,可得
所以,.
解答题
已知函数，其中，为自然对数的底数。
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。
（1）因为 所以 又
因为， 所以：
①若，则，，
所以函数在区间上单增，
②若，则，
于是当时，当时，
所以函数在区间上单减，在区间上单增，
③若，则，
所以函数在区间上单减，
综上：在区间上的最小值为
（2）由，又
若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间
由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求．
若，则
令（）
则．由
所以在区间上单增，在区间上单减
即恒成立
于是，函数在区间内至少有三个单调区间
又 所以
本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想与方法，并考查思维的严谨性．难题．
解答题
已知函数f(x)= 是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a 的取值范围.
(1) m＝2；（2）(1，3]
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
又f(x) 为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
解答题
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100件时���每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元， 写出函数P=f(x)的表达式.
(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（1） P = ；（2）5850．
(1)当0<x≤100时，P=60;
当100 <x≤500时，
P=60 - 0.02(x-100) =62-.
所以P=
(2)设销售商一次订购量为x件，工厂获得��利润为L 元，则有
L = (P-40)x=
当x=450 时，L= 5 850.
因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5 850元.
【点评】分段函数是实际问题中经常遇到的一类函数，在处理分段函数时需注意值域是各段上值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的.
解答题
设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．
(1)当时，讨论函数f(x)的单调性；
(2) 若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．
见解析
解：(1)f′(x)=4x3＋3ax2＋4x=x(4x2＋3ax＋4)．
当时，f′(x)=x(4x2－10x＋4)=2x(2x－1)(x－2)．
令f′(x)=0，解得x1=0，，x3=2．
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
极小值
极大值
极小值
所以f(x)在，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，内是减函数．
(2)由条件a∈[－2，2]可知△=9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立．
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0．
因此函数f(x)在[－1，1]上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者．
为使对任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1)上恒成立，当且仅当即在a∈[－2，2]上恒成立．
所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4]．
解答题
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．
(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在[－3，3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3，3]上的单调性；
(3) 求出f(x)在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．
见解析
(1)f(－1)＝kf(1)＝－k，∵f(0.5)＝kf(2.5)，
∴．
(2)∵对任意实数x，f(x)＝kf(x＋2)，
∴f(x－2)＝kf(x)，∴．
当－2≤x＜0时，0≤x＋2＜2，f(x)＝kf(x＋2)＝kx(x＋2)；
当－3≤x＜－2时，－1≤x＋2＜0，f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)；
当2≤x≤3时，0≤x－2≤1，．
故
∵k＜0，∴f(x)在[－3，－1]与[1，3]上为增函数，在[－1，1]上为减函数；
(3)由函数f(x)在[－3，3]上的单调性可知，f(x)在x＝－3或x＝1处取得最小值f(－3)＝－k2或f(1)＝－1，而在x＝－1或x＝3处取得最大值f(－1)＝－k或．
故有
①k＜－1时，f(x)在x＝－3处取得最小值f(－3)＝－k2，在x＝－1处取得最大值f(－1)＝－k．
②k＝－时，f(x)在x＝－3与x＝1处取得最小值f(－3)＝f(1)＝－1，在x＝－1与x＝3处取得最大值f(－1)＝f(3)＝1．
③－1＜k＜0时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－1，在x＝3处取得最大值．
解答题
已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；
(4)若∀x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）奇函数
（2）见解析
（3）[－6,6]
（4）(，＋∞)
【解析】解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．
(2)证明： 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)为奇函数，
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)是R上的减函数．
(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，
∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，
∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．
(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，
则f(ax2－2x)<f(x－2)，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>x－2，
当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；
当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；
当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．
综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．
解答题
已知函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内递增，求a的取值范围．
【答案】[6，＋∞)
【解析】解：函数y＝2－x2＋ax＋1是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．
因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，
所以函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减．
又因为函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，
即a≥6.故a的取值范围为[6，＋∞)．
解答题
设，求的值。
【答案】
【解析】
试题分析：先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．
又，而
考点：分段函数的求值
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