资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）
A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰
2．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
3．下列命题正确的个数有（ ）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；
②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形；
④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．抛物线的顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
6．袋中有5个白球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则x为
A．25 B．20 C．15 D．10
7．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．我市参加教师资格考试的人数逐年增加，据有关部门统计，2017年约为10万人次，2019年约为18.8万人次，设考试人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是
A．10（1+2x）=18.8 B．=10
C．=18.8 D．=18.8
9．在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,的三个顶点都是网格线的交点．已知,,将绕着点顺时针旋转,则点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，一段抛物线记为，它与轴的交点为,顶点为；将绕点旋转180°得到，交轴于点为，顶点为；将绕点旋转180°得到，交轴于点为，顶点为；……，如此进行下去，直至到，顶点为，则顶点的坐标为 _________ ．
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，若∠ABC=50°，则∠D的度数为______．
13．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：__________．
14．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1= ．
15．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________.
16．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
17．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第_____象限．
18．边心距是的正六边形的面积为___________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=1．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
21．（6分）飞行员将飞机上升至离地面米的点时，测得点看树顶点的俯角为，同时也测得点看树底点的俯角为，求该树的高度(结果保留根号).
22．（8分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A．数学思维，B．文学鉴赏，C．红船课程，D．3D打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）求这次被调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数.
23．（8分）阅读下面材料，完成（1），（2）两题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，求的值．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，就可以求出的值．”
……
老师：“把原题条件中的‘’，改为‘’其他条件不变（如图2），也可以求出的值．
（1）在图1中，①求证：；②求出的值；
（2）如图2，若，直接写出的值（用含的代数式表示）．
24．（8分）解方程：；
25．（10分）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，半圆与交于点．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留）
26．（10分）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，得△ABC △ADE，得 ， ，则， .故选A.
2、B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
3、A
【分析】利用相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故错误；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形，正确；
④两个相似多边形的面积比2:3，则周长比为:，故错误，
正确的有1个，
故选A.
【点睛】
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质.
4、C
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x轴的距离.
【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x轴的距离为2.
故选C.
【点睛】
本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.
5、A
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△=4﹣4×5=﹣16＜1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
6、B
【解析】考点：概率公式．
分析：根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率．找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：从中任意取一个，恰为红球的概率为4/5，
,那从中任意取一个，恰为白球的概率就为1/5，
据题意得5/(5+x)=1/5
，解得x=1．
∴袋中有红球1个．
故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= m/n
7、C
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.
故选C.
【点睛】
本题考查运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
8、C
【分析】根据增长率的计算公式：增长前的数量×（1+增长率）增长次数=增长后数量，从而得出答案．
【详解】根据题意可得方程为：10（1+x）2=18.8，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是明确基本的计算公式．
9、D
【分析】由,,确定坐标原点的位置，再根据题意画出图形，即可得到答案.
【详解】如图所示：
∴点对应点的坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面坐标系中，图形的旋转变换和坐标，根据题意，画出图形，是解题的关键.
10、A
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【详解】解：cos60°=.
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (9.5，-0.25)
【详解】由抛物线可求；又抛物线某是依次绕系列点旋转180°，根据中心对称的特征得： , .
根据以上可知抛物线顶点 的规律为（的整数）；根据规律可计算点的横坐标为，点的纵坐标为.
∴顶点的坐标为
故答案为：(9.5，-0.25)
【点睛】
本题主要是以二次函数的图象及其性质为基础，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律.关键是抛物线顶点到坐标轴的距离的变化，再根据规律计算.
12、40°．
【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得∠A的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-50°=40°．
∴∠D=∠A=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键．
13、y=-x+2（答案不唯一）
【解析】①图象经过（1，1）点；②当x＞1时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为 y=-x+2，
故答案为y=-x+2（答案不唯一）．
14、．
【分析】根据三角形数得到x1=1，x1=3=1+1，x3=6=1+1+3，x4=10=1+1+3+4，x5=15=1+1+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn=1+1+3+…+n=、xn+1=，然后计算xn+xn+1可得．
【详解】∵x1=1，
x1═3=1+1，
x3=6=1+1+3，
x4═10=1+1+3+4，
x5═15=1+1+3+4+5，
…
∴xn=1+1+3+…+n=，
xn+1=，
则xn+xn+1=+=（n+1）1，
故答案为：（n+1）1．
15、
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
【详解】画树状图图如下：
∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是 ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16、16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故答案为：16.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
17、二，四
【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m的值，根据m的符号即可判断反比例函数y＝经过的象限．
【详解】解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
∴反比例函数y＝经过第二，四象限，
故答案为：二，四．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求出m的值是解此题的关键
18、
【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA，再根据直角三角形的性质求出OA的长，再根据S六边形=6S△AOB即可得出结论．
【详解】解：∵图中是正六边形，
∴∠AOB=60°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA=OB=AB，
∵OD⊥AB，OD=,
∴OA=
∴AB=4，
∴S△AOB=AB×OD=×2×=，
∴正六边形的面积=6S△AOB=6×=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质并求出△AOB的面积是解答此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、
【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝=8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
【点睛】
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
20、（1）m＜2；（2）
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于1，由此得到答案；
（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】（1）关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=1有两个不相等的实数根，
∴△＞1，即△=4-4（m-1）＞1，
解得m＜2；
（2）∵Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，a2+b2=()2=3 ，
∴(a+b)2-2ab=3，
∴4-2ab=3，
∴ab=，
∴Rt△ABC的面积=ab=.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系式，直角三角形的勾股定理，完全平方式的变形，直角三角形面积的求法.
21、（18-6）米
【分析】延长BA交过点F的水平线与点C，在Rt△BEF中求出BE的长，在Rt△ACF中求出BC的AC的长，即可求出树的高度.
【详解】延长BA交过点F的水平线与点C，则四边形BCFE是矩形，
∴BC=EF=米，BE=CF，∠EBF=∠BFC=45°，
∴BE=EF=米，
∴CF=18米，
在Rt△ACF中，
∵tan∠AFC=,
∴AC=,
∴AB=(18-)米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22、（1）80人 （2）见解析 （3）375
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知，选择文学鉴赏的学生16人，占总体的20%，从而可以求得调查的学生总人数；
（2）根据 3D打印的百分比和（1）中求得的调查的学生数，可以求得选择3D打印的有多少人，进而可以求得选择数学思维的多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据调查的选择红船课程的学生所占的百分比，即可估算出全校选择体育类的学生人数.
【详解】解：（1）16÷20%=80人；
（2）如图所示；
（3）=375（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图、样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.
23、（1）①证明见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，从而证出结论；
②过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用AAS证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用相似三角形的判定证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
【详解】证明：（1）①∵，
∴
∵，
∴，
∴
②如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵点是中点，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴
过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
【点睛】
此题考查的是相似三角形与全等三角形的综合大题，掌握构造全等三角形、相似三角形的方法、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
24、1+、1-
【详解】
X=1+或者x=1-
25、（1）AP=；（2）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）由题意根据，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.
26、（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)
【分析】（1）将A点代入抛物线的解析式即可求得答案；
（2）先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（3）设出P点坐标，然后表示出△ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可．
【详解】（1）将点代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为(0，4) ，
当时，，
解得： ，
∴点B的坐标为(6，0) ，
设直线BC的解析式为，
将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：
，
∴，
∴直线BC的解析式为，
（3）抛物线的对称轴为，
假设存在点P，设，
则，
，
，
∵△ACP为等腰三角形，
①当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，2)或(2，-2)；
②当时，，
解之得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(2，0)或(2，8)，
设直线AC的解析式为，
将点A(-2，0)、C (0，4)代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当时，，
∴点(2，8)在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；
③当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，方程思想及分类讨论思想等知识点．在（3）中利用点P的坐标分别表示出AP、CP的长是解题的关键．
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