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[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：对于A，同时平行于平面α的两直线可能相交、平行、异面，因此A不正确；对于B，垂直于同一平面的两个平面未必平行，它们也可能是相交的两个平面，因此B不正确；对于C，平行于同一直线的两个平面未必平行，它们也可能是相交的两个平面，因此C不正确；对于D，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知，D正确．故选D.
答案：D
2．(2014年郑州模拟)下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行xkb1xKb 1. Com
解析：对于A，两条直线与同一个平面所成角相等，根据线面角定义，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A错；对于B，若三点在同一条直线上，则两平面可能相交，故B错；对于C，设α∩β＝l，m∥α，m∥β，利用线面平行的性质定理可以证明m∥l，故C正确；对于D，两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能相交，也可能平行，故D错，所以选C.
答案：C
3．已知两条直线a、b与两个平面α、β，b⊥α，则下列命题中正确的是( )
①若a∥α，则a⊥b；
②若a⊥b，则a∥α；
③若b⊥β，则α∥β；
④若α⊥β，则b∥β.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：对于①：a∥α，在 α内存在a′∥a，又b⊥α，∴b⊥a′，∴b⊥a正确；对于②：a还可以在α内；对于③：b⊥β，b⊥α，∴α∥β，正确；对于④：b⊂β或b∥β，故错误．
答案：A
4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析：对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.
答案：C
5．(2014年济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
答案：D
6．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题
①⇒a∥b ②⇒a∥b ③⇒α∥β
④⇒α∥β ⑤⇒a∥α ⑥⇒α∥a
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
解析：①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错与α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．
答案：C
二、填空题
7．设互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ，给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为________．
解析：①中α与β可能相交，故①错；②中l与m可能异面，故②错；由线面平行的性质定理可知l∥m，l∥n，所以m∥n，故③正确．
答案：
8.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.X k B 1 . c o m
解析：如图所示，连接AC，
易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝，
∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.
答案：a
9．在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：如图，取CD的中点E，则
AE过M，且AM＝2ME，
BE过N，且BN＝2NE.
则AB∥MN，
∴MN∥面ABC和面ABD.
答案：面ABC和面ABD
三、解答题
10．(2014年塘沽模拟)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
解析：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，
证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形．
∴AD∥CF.
又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，
∴CF∥平面ADD1A
又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.
又CC1、CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
11.(2013年高考江苏卷)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC，
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
12．(能力提升)如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.
(1)求证：AB⊥ED；
(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．
解析：(1)证明：取AB中点O，连接EO，DO.
因为EA＝EB，所以EO⊥AB. w W w .x K b 1 .c o M
因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD.
又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，
所以AB⊥DO.
因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD.
所以AB⊥ED.
(2)存在满足条件的点F，＝，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE.
证明如下：取EB中点G，连接CG，FG.
因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG＝AB.
因为AB∥CD，CD＝AB，所以FG∥CD，
FG＝CD.
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG.
因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，
所以DF∥平面BCE.
[B组 因材施教·备选练习]
1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；
对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；
对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．
综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
答案：A
2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在
线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．① B．①②
C．①②③ D．②③
解析：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
答案：C
3.(2014年北京海滨一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A. B.
C. D．[，]
解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M＝A1N＝ ＝，MN＝＝，所以当点P位于M，N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以线段A1P长度的取值范围是，选B.
答案：B
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