《材料力学》附录I++截面的几何性质+习题解.doc

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对轴的静积。

（a）
解：
（b）
解：
（c）
解：
（d）
解：
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的静矩为：

半圆对轴的静矩为：

因为，所以
[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a）
解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置
矩形
Li
Bi
Ai
Yci
AiYci
Yc
离顶边
上
400
20
8000
160
1280000

左
150
20
3000
75
225000

右
150
20
3000
75
225000

14000

1730000
123.6
46.4
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/∑Ai
(b)
解：

习题I-3(b): 求L形截面的形心位置
矩形
Li
Bi
Ai
Yci
AiYci
Yc
Xci
AiXci
Xc
下
160
10
1600
5
8000

80
128000

左
90
10
900
55
49500

5
4500

2500

57500
23

132500
53
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
(c)

解：
习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置
型钢号
Ai(cm2)
Yci(cm)
AiYci(cm3)
Yc(cm)
Xci(cm)
AiXci(cm3)
Xc(cm)
槽钢20
32.837
10
328.37

-1.95
-64.03

等边角钢80*10
15.126
2.35
35.546

2.35
35.546

47.963

363.92
7.6

-28.49
-0.6
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai

[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于轴和轴的惯性矩、和惯性积。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的惯性矩为：

四分之一圆对轴的惯性矩为：

由圆的对称性可知，四分之一圆对轴的惯性矩为：

微分面积对轴、轴的惯性积为：

[习题I-5] 图示直径为的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴的惯性矩。

解：圆的方程为：

如图，作两条平行轴的、相距为线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

切去之后，剩下部分对轴的惯性矩为：

[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为，竖坐标轴为）。

=

故正方形对其的对角线的惯性矩为：。
[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴的惯性矩。

(a)
解：
(b)

[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩

所以      
        再次应用平行轴定理，得

[习题I-9] 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m。

 解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 ，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩

    再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是。
    利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩

（b）等边角钢 的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：
习题I-11（b）图
图形
b
h
Ixc
a
A
Ix
中间矩形
10
600
180000000
0
6000
180000000
上矩形
250
10
20833
305
2500
232583333
下矩形
250
10
20833
305
2500
232583333
左上L形

1795100
271.6
1926
143869495
右上L形

1795100
271.6
1926
143869495
左下L形

1795100
271.6
1926
143869495
右下L形

1795100
271.6
1926
143869495

1220644645
[习题I-12] 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利
用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下：

[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴的惯性矩。
习题I-13(a)
图形
bi
hi
Ai
Yci
AiYci
Yc
ai
Ixc
Ix(mm4)
上矩形
1000
100
100000
650
65000000

225
83333333
5145833333
下矩形
300
600
180000
300
54000000

125
5400000000
8212500000
全图

280000

119000000
425

13358333333
习题I-13( b)
图形
bi
hi
Ai
Yci
AiYci
Yc
ai
Ixc
Ix(mm4)
上图(3)
25
150
3750
275
1031250

148
7031250
89601489
中图(2)
200
150
30000
125
3750000

2
56250000
56328044
下图(1)
100
50
5000
25
125000

102
1041667
52667577
全图

38750

4906250
127

198597110

习题I-13(c)
图形
bi
hi
r
Ai
Yci
AiYci
Yc
Ixc(mm4)
ai
Ix(mm4)
矩形
2140
1150

2461000
575
1415075000

271222708333
159
333213698275
半圆

790
-980333
335
-328692667

42750202791
399
198820222116
全图　

1480667

1086382333
734

134393476159
半圆：
半圆：

习题I-13(d)
图形
bi
hi
Ai
Yci
AiYci
Yc
ai
Ixci
Ix(mm4)
从下往上
220
16
3520
8
28160

374
75093
492438613
180
14
2520
23
57960

359
41160
324821280
16
674
10784
367
3957728

0
408242699
408242699
220
14
3080
711
2189880

329
50307
333432587
445
9
4005
722.5
2893613

341
27034
464367735

23909

9127341
382

2023302914
[习题I-14] 在直径圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩和。
解：先求形心主轴 的位置
截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

   （y轴向下为正）
  （组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）
               （组合图形对形心轴x的惯性矩）
习题I-14

b(a)
h(a)
r(a)
Ai(a2)
Yci(a)
AiYci
Yc(a)
Ixc
ai
Ix(a4)
矩形
4
2

-8.00
1
-8

2.667
1.1893
14.0
圆

4
50.27
0
0

201.062
-0.1893
202.9

42.27

-8
-0.1893

188.9

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：
习题I-15
图形
bi
hi
r
Ai
Yci
AiYci
Yc
Ixci
ai
Ix
正方形
200
200

40000
100
4000000

133333333
2
133546801
半圆

50
-3927
79
-309365

685977
24
2860346
全图

36073

3690635
102

130686455

形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：。对竖直形心轴的惯性矩：

习题I-15
图形
a
r
Iy（mm4）
正方形
200

133333333.3
半圆

50
2454367
全图

130878966

[习题I-16] 图示由两个号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴 、 的惯性矩是 ， ；横截面积为 ；槽钢背到其形心轴 的距离是 。
    根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是
              ；
若          
即   
等式两边同除以2，然后代入数据，得

于是      
所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积

解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为，则
由平行移轴公式得：

故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为：
习题I-17
图形
b
h
Ixy
左矩形
10
100
250000
下矩形:
100
10
250000
重复加的矩形
10
10
2500
全图
　上图+下图-重复图=　
497500

[习题I-18] 图示截面由两个的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩和最小惯性矩。
解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为轴正向；过C点，垂直于轴的直线为轴向上为正。把坐标绕C点逆时针转
后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴。主惯性矩，
查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：
，，，
角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积和惯性矩，并作出比较。

解：

（为形心主惯性轴）

结论：
1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；
2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。
[习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a）
解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

Ix
Iy
Ixy

575146666.5
183146666.6
-259200000
Ix0=
704109187
575146666.5
183146666.6
-259200000
Iy0=
54184146

(b)

解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：
习题I-20(b) 长度单位:cm
图形
Ai
Xci
Yci
AiXci
AiYci
Xc
Yc
I
32.8
1.95
10
64
328.3

II
10.2
-1.4
16
-15
163.8

全图
43.1

49.4
492.1
1.15
11.4

习题I-20（b）
图形
Ai

Ixci'
Iyci'
Ixci
Iyci
Ixciyci'
Ixciyci
tan2a0
a0
Ix0
Iy0
I
32.8
-1.43
0.804
1913.7
143.6
1981
165
0
-37.635

II
10.2
4.573
-2.58
101.3
16.6
315.5
84.6
0
-120.66

全图
43.1

2296
249
0
-158.29
0.1547
4.4
2308.2
237.2

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径。

解：圆的方程为：

把y轴的半径10等分，即。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。

习题I-21

5
99.87
5
10
24969
15
98.87
15
10
222454
25
96.82
25
10
605154
35
93.67
35
10
1147518
45
89.30
45
10
1808383
55
83.52
55
10
2526373
65
75.99
65
10
3210722
75
66.14
75
10
3720588
85
52.68
85
10
3806005
95
31.22
95
10
2818055
近似解
19890221
精确解
19634938
误差(%)
1.30

[习题I-22] 试证明：直角边长度为的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

解:

令得:.

17