全国卷高考试题汇总.docx

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是
（A） (B) （C） (D)
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120 （B）720
（C）1440 （D）5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
（A） （B） （C） （D）
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为

（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

其中的真命题是
（A） （B） （C） （D）
（11）设函数的最小正周期为，且，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。
（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 。
（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。
（16）在中，，则的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.

(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
新课标卷　（黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西）
参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D
(1)复数的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
解析：=共轭复数为C
（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是
（A） (B) （C） (D)
解析:由图像知选B
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
解析：框图表示，且所求720
选B
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
解析：由题知,选B
（A） （B） （C） （D）
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为

解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D
（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
解析：通径|AB|=得，选B
（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
解析1.令x=1得a=1.故原式=。的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.
故常数项==-40+80=40
（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
解析;用定积分求解，选C
（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

其中的真命题是
（A） （B） （C） （D）
解析：得， ，
。由得
。 选A
（11）设函数的最小正周期为，且，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A
(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
解析：图像法求解。的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D
二、填空题
（13）-6 （14） （15） （16）
（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。
解析：画出区域图知，
当直线过的交点(4,-5)时，
（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 。
解析：由得a=4.c=,从而b=8,为所求。
（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。
解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,
OM=，.
（16）在中，，则的最大值为 。
解析：,,
；
，故最大值是
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）

故

所以数列的前n项和为
(18)解：
（Ⅰ）因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD,所以BD平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）

故二面角A-PB-C的余弦值为
（19）解（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由题意可知（+）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为，即。
则O点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
（21）解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，
故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则
。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
分析：新课标数学全国卷的21考察函数与导数，是近几年高考难度较大的一道，考察考生函数与导数的有关知识，考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题，考察考生综合处理问题的能力，对高考的选拔性功能起到了很好的体现。
另法：
（Ⅰ）略
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考虑函数，
则(考察分子二次函数的开口方向分类)
（ⅰ）设（开口向上）.此时,而，故当时，，可得,与题设矛盾。
（ⅱ）设（开口向下）
① 当（即）
时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
②当（即）
，
又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
【或所以 x（，1）时，（k-1）（x2 +1）+2x >0,故,而h（1）=0，故当x（，1）时，h（x）<0，可得h（x）<0,与题设矛盾】。
【或又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，取，，可得,与题设矛盾】。
综合得，k的取值范围为（-，0]
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
（24）解：
（Ⅰ）当时，可化为
。
由此可得 或。
故不等式的解集为
或。
( Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故

2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则中所含元素的个数为
（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种
（3）下面是关于复数的四个命题
： : :的共轭复数为 ：的虚部为
其中真命题为
(A ) , （B） , （C） ， （D） ,
（4）设是椭圆的左、右焦点，为
直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则
的离心率为
(A) (B) (C) (D)

（5）已知为等比数列，，，则
(A) (B) (C) (D)
（6）如果执行右边的程序图，输入正整数
和实数输入,则
(A)为的和
（B）为的算式平均数
（C）和分别是中最大的数和最小的数
（D）和分别是中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某
几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6 (B)9 （C）12 （D）18
（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点， ，则的
实轴长为
（A） （B） （C）4 （D）8
（9）已知，函数在单调递减，则的取值范围
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数，则的图像大致为

（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为的直径，且，则此棱锥的体积为
(A) (B) (C) (D)
（12）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量夹角为45°，且，则____________.
（14）设满足约束条件则的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

(16)数列满足，则的前60项和为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知分别为的三个内角的对边，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为，求.

（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式;
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。
（1） 证明：；
（2） 求二面角 的大小.

（20）（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点.
（1） 若，的面积为，求的值及圆的方程；
（2） 若三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.

（21）（本小题满分12分）
已知函数满足.
（1） 求的解析式及单调区间；
（2） 若，求的最大值.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，分别为边的中点，直线交的外接圆于两点，若，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程式.正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为.
（Ⅰ）求点的直角坐标；
（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含求的取值范围.

2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）【解析】选
，，，共10个
（2）【解析】选
甲地由名教师和名学生：种
（3）【解析】选

，，的共轭复数为，的虚部为
（4）【解析】选
是底角为的等腰三角形
（5）【解析】选
，或

（6）【解析】选
（7）【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）【解析】选
设交的准线于
得：
（9）【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另：，
得：
（10）【解析】选

得：或均有 排除
（11）【解析】选
的外接圆的半径，点到面的距离
为球的直径点到面的距离为
此棱锥的体积为
另：排除
（12）【解析】选
函数与函数互为反函数，图象关于对称
函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得：最小值为

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）【解析】

(14) 【解析】的取值范围为
约束条件对应四边形边际及内的区域：
则
（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
（16）【解析】的前项和为
可证明：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）【解析】（1）由正弦定理得：

（2）

解得：（l fx lby）

18.【解析】（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，

的分布列为

（ii）购进17枝时，当天的利润为

得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，过点作于点，连接
，面面面
得：点与点重合
且是二面角的平面角
设，则，
既二面角的大小为
（20）【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离

圆的方程为
（2）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
（21）【解析】（1）
令得：

得：

在上单调递增

得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，

令；则

当时，
当时，的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）【解析】（1），

（2）

（23）【解析】（1）点的极坐标为
点的直角坐标为
（2）设；则

（lfxlby）
（24）【解析】（1）当时，
或或
或
（2）原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立

绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)
数学(理科)

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.

2.设复数满足，则
A. B. C. D.
3.等比数列的前项和为，已知，，则
A. B. C. D.
4.已知为异面直线，平面，平面.直线满足，，，，则
A.且 B.且
C.与相交，且交线垂直于 D.与相交，且交线平行于
5.已知的展开式中的系数为5，则
A. B. C. D.

6.执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的
A. B.
C. D.
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为
A
B
C
B

8.设，，，则
A. B. C. D.

9.已知，满足约束条件若的最小值为1，则
A. B. C.1 D.2
10.已知函数，下列结论中错误的是
A. B.函数的图像是中心对称图形
C.若是的极小值点，则f(x)在区间单调递减
D.若是的极值点，则
11.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的园过点，则的方程为
A.或 B.或
C.或 D.或
12.已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是
A. B. C.

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知正方形的边长为2，为的中点，则_______.
14.从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则________.
15.设为第二象限角，若，则_________.
16.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在内角、、的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.

18.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

150
120

频率/组距
需求量/

140
130

100
110
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.
以（单位：，）表示下一个销售季度内
的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经
销该农产品的利润.
（Ⅰ）将表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值
代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该
区间中点值的概率（例如：若则取，且的概率等于需求量落入的概率，求利润的数学期望.

20.（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值.

21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆.
（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；
（Ⅱ）若，求过四点的圆
的面积与外接圆面积的比值.

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知动点，都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点.
（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.

24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.

2014年普通高等学校招生全国统一考试
全国课标1理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=
.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）
2. =
. . . .
3. 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
4. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为
. .3 . .
5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
. . . .
6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为

7. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=
. . . .
8. 设，，且，则
. .
. .
9. 不等式组的解集记为.有下面四个命题：
：，：,
：，：.
其中真命题是
.， .， .， .，
10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=
. . .3 .2
11. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
12. 如图，网格纸上小正方形的边长