数形结合.doc

高中数学复习专题系列讲座　　　　　　　　 珠海市第二中学　高贵彩
高中数学复习专题讲座
数形结合思想
【思想介绍】
数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，简单的说就是“数”与“形”。“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想。它是数学中重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位。
数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。正如著名数学家华罗庚所说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”
【考题展示】
1.（2010年全国新课标卷理11)已知函数若互不相等，
且则的取值范围是 【答案】C
(A) (B) (C) (D)
2.（2010年山东卷理16) 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 .
【答案】
3.（2010年陕西卷理20) 如图，椭圆的顶点
为焦点为，，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设n是过原点的直线,是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线， ，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【答案】 , 不存在
4.（2010年广东卷理21) 设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为
对于平面上给定的不同的两点，,
（1）若点是平面上的点，试证明
（2）在平面上是否存在点，同时满足
① ②
若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。
【答案】所有符合条件的点的轨迹是一条线段，
即：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分或斜率为1的直线夹在矩形之间的部分。
如图示：

【命题预测】
纵观近几年的高考试题可以看出，数形结合的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能简化过程、提高效率的试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：数形结合联系的知识点多，有利于考查学生掌握的知识面；有利于考查学生对知识的理解能力；有利于考查学生对问题的本质的把握的能力；有利于考查学生的分析与联想的能力；有利于考查学生的解题的灵活性；在试卷中占有一定比例还有利于拉开考生得分的距离，反映考生继续学习的能力，实现区分与选拔的功能。因此，数形结合的思想的应用也仍然是高考命题的热点思想，会覆盖到题的四到五成左右，不仅在客观题中有体现，解答题亦是会有上佳的反映。
【解题策略】
在高考中，根据题型的特点，选择题与填空题不要求写出解题过程，用形来解决数的问题可以简化运算，一般是根据数的结构特征，构造相应的图形，利用其特性和规律直接得解；解答题要求写出过程，用数来解决形的问题或数形相互渗透使问题简捷，一般是将图形信息与代数信息之间部分或全部转换，使复杂的问题简单化，达到抽象思维和形象思维的和谐统一，完美的解决问题。
数与形转换的途径有以下两条：
⑴ 以数助形：根据图形的特征引入合适的量的表示，再计算求解；
常见的内容有：①解析几何中坐标系的建立，②平面（立体）几何中的向量的引入，
③以几何条件（背景）与几何定理的结合建立对应模型。
⑵以形助数：根据数与式的结构和特点，转化为其对应的图形（像），直观得解；
常见的对应内容有：①实数（有序数对）与点， ②集合的运算与韦恩图，
③函数与其图象， ④方程（不等式）与曲线，
⑤形如转化为距离或勾股定理， ⑥形如转化为斜率等。
【类题示例】
一.集合与常用逻辑用语
1.（2010辽宁卷理1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},
则A= （A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
【提示】利用Venn图求解 【答案】D
2.（2010天津卷理9）设集合A=若AB,
则实数a,b必满足
（A） （B） （C） （D）
【提示】利用数轴求解 【答案】D
二．函数与导数、方程、不等式
1．（2010湖南卷理8）用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1 【提示】利用图象求解 【答案】D
2．（2010年全国新课标卷理8)设偶函数满足，则
(A) (B)
(C) (D)
【提示】利用图象求解 【答案】B
3．（2010～2011学年度第一学期北京市西城区期末试卷文8）设函数，的零点分别为，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【提示】利用图象求解 【答案】A
4．（2010天津卷文10）设函数，
则的值域是
（A） （B） （C） （D）
【提示】利用图象求解 【答案】D
5．（2010全国卷1理15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
【提示】利用图象求解 【答案】
6．（2009全国卷1理22）设函数有两个极值点

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，
画出满足这些条件的点（b，c）区域；
(Ⅱ)证明：

7．（2010福建卷理21（3））已知函数。K^S*5U.C#O%
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【提示】利用图象求解 【答案】
8．（2007广东卷理20） 已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
【提示】利用图象求解 【答案】 或
三、三角函数、平面向量
1．（2010年浙江卷理9)设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 （A） （B） （C） （D）
【提示】利用图形求解 【答案】
2．已知中，，若该三角形有两个解，则的取值范围是______▲_____。
【提示】利用图形求解 【答案】
3．（2010年全国新课标卷理16) 在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______
【提示】利用向量求解 【答案】
4．（2010年浙江卷理16)已知平面向量满足，且与的夹角
为120°，则的取值范围是___________ .
【提示】利用平面几何求解 【答案】
四、立体几何
1．（2008年北京卷理8)如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O

【提示】利用几何与函数的性质得解 【答案】B
2．（2008年宁夏卷理12) 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【提示】构造几何体求解 【答案】C
3．（2010年辽宁卷理12) 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）
【提示】构造几何体求解 【答案】A

五、解析几何
1．（2010年浙江卷理7)若实数，满足不等式组且的最大值为9，
则实数 （A） （B） （C）1 （D）2
【提示】转换成几何图形求解 【答案】C
2．（2010年江苏卷理9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到
直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[来源
【提示】分析几何性质与计算求解 【答案】（-13，13）
3．（2010重庆理数14）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,
则弦AB的中点到准线的距离为___________.
【提示】分析几何性质与计算求解 【答案】
4．（2010年全国新课标卷理12)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
【提示】结合几何性质与计算求解 【答案】B
5．（2010年福建卷理17)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离
等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【提示】分析几何性质与简化计算求解 【答案】，不存在，
6．（2010年全国新课标卷理20)设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
（1）求的离心率；
（2） 设点满足，求的方程
【提示】分析几何性质与简化计算求解 【答案】，
六、概率与统计、复数
1．（2010年广东卷理7)已知随机变量服从正态分布，且，
则 A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
【提示】利用几何对称性求解 【答案】B
2．（2010年浙江卷理5)对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是
（A） （B） （C） （D）
【提示】利用几何意义求解 【答案】D
3．在半径为1的圆周上任取A、B、C三点，求三角形ABC为锐角三角形的概率。
【提示】建立几何模型求解 【答案】
【强化练习】
1．（2010年全国新课标卷理4) 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置
为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 

【提示】利用图形理解计算求解 【答案】C
2．（2009年广东卷理14)不等式的实数解为 ． 【且】
3．（2010年广东卷理11)已知a，b， c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= ．【1】
4．（2010年江苏卷理10)定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。【提示】利用图形求解 【答案】
5．（2010年广东卷理12)若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 ．【】
6．（2010年全国新课标卷理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），
则圆C的方程为____【】
7．（2009年广东卷理10)若平面向量满足，平
行于轴， ，则 ．【或】
8．（2010年全国新课标卷理24)设函数
（Ⅰ）画出函数的图像
（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。【】
B
A
x
y
O
9．（2008年江苏卷理15)如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【提示】利用三角函数线求解 【答案】

10．（2010年广东卷理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线与交点的轨迹的方程；. 【 】
（2）若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。
11．（2009年广东卷理19)已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
【 , 】
12．（2010年浙江卷理21)已知m＞1，直线，椭圆，
分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，， 的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
【 , 】