基于核心素养的单元教学设计——以“数列的概念”为例.pdf

教法探讨普通高中数学课程标准（2017年版）提出：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大学科核心素养，是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力.1课堂教学是培养核心素养的主阵地，如何设计教学过程就是根本.本文以“数列的概念”整体单元知识为载体，在单元教学内容、单元教学目标和单元教学诊断分析的基础上，创设有利于培养学生素养的教学情境，以问题教学为导向，注重核心素养的培养，并在教学过程中关注学生数学素养的达成情况.1单元内容和内容解析1.1 单元内容本单元教学的主要内容：数列的概念及表示方法、数列的通项公式、数列的递推公式、数列的前n项和公式的定义.第一课时：主要内容是数列的概念及表示方法，数列的通项公式的定义.第二课时：主要内容是数列的递推公式、前n项和公式的定义.1.2 内容解析数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，在日常生活中有着广泛的应用.本单元通过对具体例子的分析，归纳出数列的概念，并抽象出数列的一般形式a1,a2,an,.然后将数列的定义与函数概念建立联系，得到了数列是定义在正整数集（或是正整数集的有限子集）上的离散函数.介绍了数列的三种表示方法（表格、图象和通项公式），其中通项公式就是数列的函数解析式，能简洁、精确地刻画数列所有项的取值规律.考虑到数列的递推公式在研究数列时的特殊作用以及数列的前n项和公式是数列的一个主要研究内容，所以在本单元的最后介绍了数列的递推公式、前n项和公式的定义，为本章后面的内容作了铺垫.本单元学习有利于学生在具体概念和原理的基于核心素养的单元教学设计以“数列的概念”为例安徽省合肥一六八中学 王中学 李 卉 230601摘要：本文以“数列的概念”单元教学为例，展现了以学生为中心，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力等核心素养的教学设计理念.关键词：教学设计；核心素养；数列2023年第2期河北理科教学研究 44教法探讨生成情境中，提高分析、归纳、概括、数学表达、辨析等能力，并通过自主探究、合作学习来发展技能、感悟和提炼思想方法、积累数学活动经验.基于以上分析，本单元教学重点：数列的概念、数列的通项公式、前n项和公式.2单元目标和目标解析2.1 目标（1）通过生活中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象和通项公式）.（2）类比函数的概念，了解数列是一类特殊的函数，理解数列的通项公式.（3）通过数学中的实例，理解数列的递推公式和数列的前n项和公式.（4）了解数列的通项公式与前n项和公式的关系.（5）在抽象归纳数列概念的过程中感悟数学概念的抽象过程及发展学科核心素养.2.2 目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一类特殊的函数；了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法.（2）能类比函数的表示方法，能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.（3）能理解递推公式中体现的是项与项之间的关系，并能根据递推公式求出数列的每一项.（4）能理解数列的前n项和公式的定义，并会根据数列的前n项和公式求出数列的通项公式.（5）会类比函数的“定义表示方法性质”的研究路径来研究数列的定义、表示方法以及数列的性质（数列的单调性），并应用解决相应的数学问题.3单元教学问题诊断分析在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数.但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本单元教学的第一个难点.教学时可通过“章引言”，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣.对数列概念的理解是本单元的第二个教学难点.学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解.本节课通过具体实例抽象出数列定义，并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用数学的眼光看世界的很好的案例.经历这样一个数学化的过程，对于学生数学观念的形成有着重要的意义.数列的求和问题是本单元的第三个教学难点.学生由数列的前n项和公式不难推出数列的通项与前n项和的关系an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2,但需要提醒学生注意的是由an=Sn-Sn-1推出的通项公式仅当n2时成立，必须检验a1的数值是否满足这个式子.此外，数列的递推公式虽不是本单元的教学难点，但在后续的教学内容中增加了利用递推公式探究数列性质的问题，这类问题具有一定的技巧性，难度较高，因此需加深对数列递推公式的理解，使学生理解通项公式是项与项数之间的函数关系，递推公式是项与项之间的关系.4单元教学支持条件分析在数列问题的呈现中，发挥信息技术工2023年第2期河北理科教学研究 45教法探讨具的绘图和计算优势，减少学生的重复计算，让学生方便地获得数列的数值和图象，从而探索和发现规律、探究解决问题的策略、提出新的问题、反思或验证结果等，增强直观感知，从数、形、式上多元地认识数列.5数列的概念，教学过程设计5.1 章引言教学，了解本章的学习内容引导语：这一阶段我们将学习一个新的内容数列，请大家跟随老师的问题来了解数列的内容与学习方法.在生活中常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.案例1：一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列，就得到一列数.案例2：将班级的某个学生数学的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，就得到一列数.问题1：以上两个案例在实际生活中有什么意义？你能否举出几个类似的例子？师生活动：像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列，案例1可以通过对记录下来的这列数的分析，研究树的生长规律；案例 2可以通过对记录下来的这列数的分析，研究该学生数学学科成绩的变化情况.教师通过学生举例判断他们对数列的已有认识情况.设计意图：通过案例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实际的意义和价值.追问：你能否用函数的观点解释以上的案例？师生活动：如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或是正整数集的有限子集）上的一类离散函数.设计意图：让学生体会数列是特殊的函数，并为学生从函数的角度来思考研究数列的特征作铺垫.问题2：请同学们回想一下函数的学习研究过程并与数列进行类比？师生活动：在函数的学习中，我们学习了函数的相关概念、性质、一些基本初等函数及函数的综合应用.类比函数的学习研究过程，我们将学习数列的概念及表示方法，并研究两类特殊的数列模型等差和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些问题.我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.设计意图：通过学生的回顾和教师的介绍，使学生对本章将要学习的内容及处理问题的方法有个大致了解，发挥章引言的“先行组织”的作用.5.2 创设情境，感知概念在现实生活和数学学习中，经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象，比如：实例1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.问题3：这列数中第3，第8个数的实际意义是什么？这列数的意义是什么？师生活动：第3个数表示王芳在3岁生日那天的身高是96cm，第8个数表示王芳在8岁生日那天的身高是128cm.这些数是有确定的顺序的，每个位置上的数都有其特定的意义；这列数的意义是记录一个（成长）过程.2023年第2期河北理科教学研究 46教法探讨追问：能否用数学符号来表示上面这列数中的每个数？师生活动：记王芳第i岁的身高为hi，那么h1=75，h2=87，h17=168，我们发现hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第 1 位的数，h2=87是排在第 2 位的数，h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以是具有确定顺序的一列数.设计意图：通过学生对问题的问答，帮助学生了解、认识数列的特征.实例2：在两河流域发掘的一块泥板（如图 1编号 K90，约产生于公元前 7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.图1师生活动：记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1=5，s2=10，s15=240，这里si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从115顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数，s15=240是排在第 15位的数，它们之间不能交换位置，所以也是具有确定顺序的一列数.设计意图：让学生模仿实例 1的分析，加深对数列特征的再认识.实例3：-12的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂，依次排成一列数：-12，14，-18，116，.问题4：你能仿照上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？师生活动：记-12的第i次幂为pi，那么p1=-12，p2=14，p3=-18.这里pi中的i反映了-12的i次幂按指数从小到大的顺序排列时的确定位置，即p1=-12是排在第 1位的数，p2=14是排在第 2位的数，p3=-18是排在第3位的数，它们之间不能交换位置，所以也是具有确定顺序的一列数.设计意图：通过学生的语言叙述，数学符号表达，真正达到对数列特征的了解，进一步认识数列是具有确定顺序的一列数.5.3 抽象概括，形成概念问题5：上述实例的共同特征是什么？师生活动：总结上面3个实例，归纳、抽象共同特征，一列数、确定顺序排列、有序地表达一类事物或者记录一个过程.定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是a1,a2,an,简记 an.5.4 巩固、理解概念问题6：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？师生活动：根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个2023年第2期河北理科教学研究 47教法探讨不同的数列.追问1：1，1，1，1，1是不是一个数列？师生活动：符合数列定义，是一个数列.各项都相同的数列称为常数列.追问 2：有的数列项数是有限的（实例1，2），有的是无限的（实例3），利用项数对数列分类？师生活动：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列无穷数列.设计意图：加深对数列的理解，体会数列的概念.问题7：你能从函数的角度来解释数列中的项与序号n之间的关系吗？师生活动：数列的项an与它的序号n有下面的对应关系：序号项123na1a2a3an数列 an是从正整数集N（或它的有限子集1,2,3,n）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1),f(2),f(n),就是数列 an.另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)(nN)有意义，那么f(1),f(2),f(n),构成了一个数列f(n)设计意图：让学生理解数列是一种特殊的函数，并给出定义域问题8：既然数列是函数，是否可以类比函数的表示法来表示数列？师生活动：类比函数表示法，数列也可以用表格和图象来表示.如王芳17年身高的数列，可以用表1和图2表示：表1nannan17510145287111533961215841031316051101416261161516371201616581281716891381801601401201008060402001357911 13 15 17ann图2追问1：数列图象与函数图象区别是什么？通过图象你能定义数列的增减性吗？师生活动：数列的图象由一些孤立的点构成，不能连在一起，是离散的；函数图象大部分是连续曲线.如果一个数列，从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，比如：实例1，实例2；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列；而实例3：-12的n次幂构成的数列：-12，14，-18，116，叫做摆动数列.追问2：函数表示法中有一种重要的方法“解析法”，数列的解析法是什么？师生活动：如果数列 an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式（就是数列的函数解析式）-12的n次幂构成的数列-12，14，-18，116，它的通项公式为an=(-12)n.设计意图：让学生明白数列也有3种表示方法，同样具有单调性的概念，把数列纳入到函数体系中，就可用类比方法进行研2023年第2期河北理科教学研究 48教法探讨究，提高效率.5.5 应用知识，解决问题例 1根据下列数列 an的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象（1）an=n2+n2；（2）an=cos(n-1)2.解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 an的前5项依次为1，3，6，10，15如图3所示.（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 an的前5项依次为1，0，-1，0，1如图4所示ann151296301 2 34 5图3an1 2 34 5n210-1-2图4设计意图：从通项公式、表格和图象三个角度让学生加深对数列的认识例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，-12，13，-14，；（2）2，0，2，0，解：（1）这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1n（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项 是 0，所 以 它 的 一 个 通 项 公 式 为an=(-1)n+1+1师生活动：（2）的通项公式也可写成an=2(n为奇数）0（n为偶数）或an=2|sinn2，不唯一.并不是每个数列都有通项公式，如王芳身高的数列设计意图：概念的学习必须在应用中得到巩固.在概念形成之后，运用概念解决问题，才能检验学生对概念的理解情况5.6 课堂练习课本第5页练习第1，2，3，4题.5.7 梳理小结（1）什么是数列？数列的表示方法有哪几种？（2）我们研究数列的基本路径是什么？类比哪个知识？（3）数列表示方法的核心是哪个？设计意图：知识的回顾能帮助学生进一步厘清知识的发生、发展、深化过程，让学生对本节课有个完整的认识，培养学生的反思意识5.8 布置作业习题4.1第1，2，3题.5.9 目标检测设计1.数列-2,1,-23,12,-25的一个通项公式为（）.（A）an=(-1)n+12n（B）an=(-1)n2n+2（C）an=(-1)n2n（D）an=(-1)n+12n+22.已知数列1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,则18是数列中的（）.（A）第29项（B）第30项（C）第36项（D）第37项3.在数列 an中，a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=2x1+x的图象上（1）求a2,a3,a4的值；（2）猜想数列 an的一个通项公式设计意图：巩固数列的概念、通项公式的应用，从函数的角度理解数列的概念、性质.6结束语数学核心素养为导向的教学需要教师精心设计，应深度阅读教材，立足单元整体设计，整合教材内容，构建完整的单元知识2023年第2期河北理科教学研究 49教法探讨体系；理解学生的认知水平和认知结构，引导学生的思维活动，激发学生的学习兴趣；从学生的“最近发展区”出发，设置问题串，达到知识体系的螺旋上升；让学生真正经历数学知识从学习到应用的过程，体会成功的喜悦，只有这样才能真正提升学生的数学抽象素养.-lnx0-2=0且f(x0)f(1e)=1e2-1e-1eln1e=e-2.f(x0)=x02-x0-x0lnx0=x02-x0-x0(2x0-2)=-x02+x02-2(x012)，所以f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)0时，f(x)2a+aln2a.利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，一直是高考数学中的热点难点问题.这类问题综合性相对较强，不仅可以考查学生对基础知识的掌握情况，又具有明显的区分度.因此，倍受命题者的“青睐”.学生在遇到此类问题时没有构造意识，或者说不知道如何构造，进而直接放弃导数题的解答，笔者在2022届高三教学过程中发现，近几年甘肃高考中导数题难度逐渐弱化，不再是最难啃的骨头，为此教师在处理这部分内容时要给学生多分析、多总结，使学生以扎实的基本功去应对高考.参考文献1王海军.零点找点极值点分参分类分图象J.数理化学习（高中版），2021（07）:12-13.2白亚军.使用洛必达法则提升解题能力J.理科考试研究，2017，24（19）：21-22.3张盼盼.高考数学中利用导数研究不等式问题的解题技巧J.理科考试研究，2019，（03）:13-15.本文是甘肃省教育科学规划“普通高中数学新课程实验跟踪与质量监测教改实验项目”专项课题“金昌市高中生数学学业质量测评研究”的研究成果,课题立项号（GS2023GHBZX0025）.(上接第23页)2023年第2期河北理科教学研究 50