基于部分连接结构的低复杂度混合多用户预编码算法 (1).pdf

第47卷总第516期79 2023年8月第8期基于部分连接结构的低复杂度混合多用户预编码算法Low Complexity Hybrid Multiuser Precoding Algorithm Based on Partially Connected Structure为了解决大规模多输入多输出混合预编码系统功耗大、算法复杂度高、频效低等问题，针对传统混合预编码部分连接结构系统，提出了一种基于部分连接结构的新的低复杂度混合预编码算法，所提方案可暂时获得模拟域闭合解降低复杂性。不考虑用户之间的干扰，基于奇异值分解和最小均方误差准则设计用户的模拟域预编码。基于块对角化预编码方法，利用得到的模拟等效信道获得数字域预编码，并基于注水算法对发射功率进行分配，进一步提高通信质量。仿真结果表明，所提算法在频效和能效方面优于传统算法，且在不完美信道条件下，仍能获得令人满意的性能。大规模多输入多输出；毫米波；部分连接结构；多用户混合预编码To solve the problems of massive MIMO hybrid precoding system with high power consumption,high algorithm complexity and low spectral efficiency,a novel low complexity hybrid precoding algorithm is proposed based on partially connected structure for the traditional hybrid precoding system.The proposed scheme can temporarily obtain the closed solution of the analog domain to reduce the complexity.Without considering the interference between users,the analog domain precoding of users is designed based on singular value decomposition and minimum mean square error criterion.Based on the block diagonalization precoding method,the digital domain precoding is obtained by using the obtained analog equivalent channel,and the transmission power is allocated based on the water-filling algorithm to further improve the communication quality.Simulation results show that the proposed algorithm is superior to the traditional algorithm in terms of spectral efficiency and energy efficiency,and the satisfactory performance can be obtained under imperfect channel conditions.massive MIMO;millimeter wave;partially connected structure;multiuser hybrid precoding（天津师范大学天津市无线移动通信与无线电能传输重点实验室，天津 300387）(Tianjin Key Laboratory of Wireless Mobile Communications and Power Transmission,College of Electronic and Communication Engineering,Tianjin Normal University,Tianjin 300387,China)【摘 要】张新，张柳伟，张秀ZHANG Xin,ZHANG Liuwei,ZHANG Xiudoi:10.3969/j.issn.1006-1010.20220611-0001 中图分类号：TN929.5文献标志码：A 文章编号：1006-1010(2023)08-0079-07引用格式：张新,张柳伟,张秀.基于部分连接结构的低复杂度混合多用户预编码算法J.移动通信,2023,47(8):79-85.ZHANG Xin,ZHANG Liuwei,ZHANG Xiu.Low Complexity Hybrid Multiuser Precoding Algorithm Based on Partially Connected StructureJ.Mobile Communications,2023,47(8):79-85.Abstract Keywords【关键词】OSID：扫描二维码与作者交流收稿日期：2022-06-110 引言毫米波通信技术被认为是未来几代蜂窝系统中利用毫米波频率资源的新兴技术1-3。与现有的微波蜂窝系统相比，毫米波因其波长短遭受严重的路损和雨衰。因此，为了克服毫米波传播信道严重的路径损耗和穿透损耗，5G 的另一项关键技术大规模 MIMO（Multiple Input Multiple Output，多输入多输出）技术最近受到人们的广泛关注4。毫米波大规模多用户多输入多输出通过在基站和用户端配置多天线，可以显著提高吞吐量和频谱效率，是一第47卷总第516期802023年8月第8期研究与探讨的，使得原问题是一个非凸、非线性、多变量耦合的优化问题，很难直接获得全局解，利用解耦思想，将原目标问题转换为最大化天线阵列增益和消除用户间干扰两个子问题。（2）利用每个用户的信道矩阵，基于 SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）方法设计模拟组合器。以最大化天线阵列增益为目标，基于 MMSE 准则对有效信道的相位进行控制获得模拟预编码器。根据获得的模拟等效信道，基于 BD（Block Diagonalization，块对角化）算法获得数字预编码器，消除用户之间的干扰。同时给出了本文的计算复杂度分析、频谱效率和能量效率性能分析。（3）数值结果分析，与传统方案相比，所提算法能获得较好的频效，并具有良好的能效，验证了本算法的有效性。符号：本文中粗体大写字母和小写字母分别表示矩阵和向量。E、()H、和()-1分别表示期望、矩阵的共轭转置和矩阵的逆。表示 Frobenius 范数。I 是单位矩阵和 0代表全零矩阵或零向量。Cnn表示复集中的一个nn矩阵。diag()表示将一个向量用其主对角线上的值转换为对角线矩阵。R(m,n)表示在 R 中第 m 行第 n 列的元素。1 系统模型和问题表述1.1 系统模型考虑采用子连接结构的多用户毫米波大规模 MIMO下行链路系统，如图 1 所示，其中假设基站具有 Nt发射天线和 NRFt射频链，每个射频链连接一个子阵列，每个子阵列的天线数为 M=Nt/NRFt。基站同时与 K 个用户进行通信，每个用户配置 Nr天线和单个射频链，即总共有 K个数据流经过基站处理，而 K=NRFt。在基站侧，考虑混合预编码器，满足 ESSH=P/KI 的信号 sCK1首先经过KK 数字预编码器 VBB=VBB,1,VBB,2,VBB,K，再经过NtK 模拟预编器 VRF的处理，最后将预编码信号发送到无线传输信道，其中 P 是平均总传输功率。需要指出的是，数字预编码器 VBB可以实现幅度和相位的改变，而模拟预编码器 VRF是由模拟相移器实现，因此 VRF的每一项都是常数模。另外，为了满足总发射功率约束，将 VBB归一化为2RFBBK=V V。而 VRF在部分连接结构中为一个分块对角矩阵，可以表示为：()12,.,RFKdiag v vv=V (1)其中1MkvC，1,2,.,kK，vk的每一项都满足：()21kvqM=(2)种很有前途的无线通信技术。然而，由于传统的毫米波大规模 MIMO 系统需要为每根天线配置一条射频链，导致成本和功耗较大。因此，学术界提出了毫米波大规模MIMO 混合预编码技术5-15，其主要思想是将传统全数字预编码拆分为由数字和模拟两部分组成的混合预编码，可大大降低射频链使用数量，从而降低成本和功耗。早期的混合预编码研究大多集中于全连接架构4-8，即每个射频链通过移相器与所有天线相连。文献 7 采用 MMSE（Minimum Mean Square Error，最小均方误差）准则对混合波束赋形进行优化，在此基础上，混合波束赋形设计问题可被分解为混合预编码和混合组合优化两个子问题并统一求解。针对多用户单天线大规模 MIMO 系统，文献 8 提出基于奇异值分解的混合预编码算法。针对多用户多流大规模 MIMO 系统，文献 9 基于 MMSE-EDS（Minimum Mean Square Error of Each Data，每个数据流的最小均方误差）提出了一个新的混合预编码算法。虽然全连接架构有潜力实现每根天线的全波束形成增益，但它需要复杂的电路，需要较高的成本和功耗。紧接着，部分连接结构被人提出11-13，即一个射频链仅与部分天线相连，这样可以大大降低硬件成本和功耗。由于部分连接架构的模拟域预编码矩阵为分块矩阵，全连接结构的混合预编码算法不能直接应用于子连接结构。而在实际应用中，部分连接结构更节约硬件开销，更易于工程实现，因此研究基于部分连接结构的混合预编码技术具有非常重要的理论意义和应用前景。文献 11 考虑单用户的部分连接结构，研究了多载波情形下的混合波束赋形算法。但是，该方案涉及到迭代循环等复杂算法，难以用于实际系统。为了降低复杂度，文献 12 针对部分连接结构的多用户混合预编码系统，提出一种基于最大化用户子阵列增益匹配准则的模拟预编码方法。同时文献 13 提出了一种基于分布式部分连接结构的混合预编码方案。综上所述，针对毫米波大规模 MIMO 部分连接结构系统，对于如何权衡系统性能与计算复杂性高的问题尚存在进一步提升的空间。因此，为了提高频谱效率、降低复杂性，对基于部分连接结构的低复杂度的混合预编码算法的研究仍具有非常重要的理论意义和现实价值。本文主要的研究工作如下：（1）建立下行毫米波大规模多输入多输出多用户混合预编码部分连接结构模型。建立最大化多个用户频谱效率优化模型，并满足恒模约束、块对角矩阵约束和发射功率约束。考虑到由于目标函数和约束条件都是非凸第47卷总第516期81 2023年8月第8期在接收端，为每个用户 k 配置一条射频链，每个射频链使用唯一的合成器，其中 Nrk表示第 k 个用户配置的天线数，而矢量 wk的每一项都满足：()21kkrqN=w (3)则第 k 个用户接收到的符号可以写成：HHH,kkkRFBB kkkkRFBB iikki k=+yw H V vsw H Vvsw n (4)其中 Hk表示基站与第 k 个用户之间基于 Saleh Valenzuela模型的信道矩阵，nk是均值为 0、协方差为 2的加性高斯白噪声向量。因此，第 k 个用户的接收信噪比可表示为：2H,2H2,kkRFBB kkkkRFBB ii kPKSINRPK=+w H V vw H V v (5)假设当基站发送高斯信号时，该通信系统获得的和速率可表示为：()sum21log1KkkRSINR=+(6)1.2 信道模型本文考虑采用几何 Saleh-Valenzuela 信道模型，该模型是描述毫米波信道有限散射特性的常用模型，假设第k 个用户的归一化下行信道由 NcNray传播路径贡献，其中Nc为散射簇数，Nray为每个散射簇的路径数，因此，第 k个用户的信道矩阵可描述为：()()H,11,raycNNkkkkkkkktrkc prc pc ptc pc pcpcrayN NN N=H (7)其中,kc p表示第k个用户第c个散射簇第p条路径的复增益，本文假设,kc p服从独立同分布，(),kkkrc pc p和(),kkktc pc p分别表示接收和发射阵列响应矢量，其中,kc p和,kc p表示第k 个用户所对应的方位角和仰角。本文考虑具有NN维天线元素的均匀平面阵列，因此，阵列响应向量可写为：(8)其中 d 和 分别为天线间距和信号波长，0mN和0nN为二维平面上的天线指标。1.3 问题表述本文的目标是设计模拟预编器、模拟组合器和数字预编码器，使系统和速率最大化。优化模型可表示为：()()sum1:,maxRFBBkRFBBkkKR=VVwVVw (9)()21.kstvqM=()1,.,RFKblkdiag vv=V()21kkrqN=w2RFBBK=V V其中，与全连接结构不同，子连接结构中的每一条射频链只与部分天线相连，这种特殊结构决定了模拟预编码矩阵为块对角矩阵即 VRF，而每条射频链 vk由模拟相移器实现，每一项需满足恒模约束；与基站端相同，用户端模拟组合器 wk也由模拟相移器实现，因此 wk的每一项需满足恒模约束；最后，为满足发射总功率约束，数字预编码 VBB被约束为2RFBBK=V V。2 算法设计在本节中，将介绍所提出的方案，一般来说，直接求解上述非凸优化问题(9)是比较困难的，因此可以将其分解为两个子问题，即模拟部分设计和数字部分设计。通图1 下行毫米波大规模MIMO系统框图射频链路射频链路射频组合器射频组合器射频组合器K个数据流基带数字预编码器S1S2 SK基站端用户端NRFtM MNtNr1Nr2NrK子连接结构张新,张柳伟,张秀:基于部分连接结构的低复杂度混合多用户预编码算法第47卷总第516期822023年8月第8期研究与探讨满足 Heff,jvBB,k=0，j k，以消除干扰。具体实施步骤如下：为了获得数字预编码器，定义kH为：(15)进行奇异值分解为：()()H10,kkkkk=HUVV (16)其 中()()()1:,1:1kksKN=VV是kH子 空 间 的 正 交 基，和()()()0:,11:kksKNend=+VV代表了kH零空间的正交基，也就是说将一个信号以()0kV方向发送，第 k 个用户之外的其他用户根本接收不到该信号，即如果：()0,0,eff kiik=HV (17)则不同用户之间的干扰可以被消除，因此所有用户可以通过他们的子信道无干扰的进行多流传输，进一步对()0,eff kkHV进行奇异值分解，以消除每个用户的自干扰，使得目标用户的各个符号实现等效并行传输，即：()0H,eff kk=HVU V (18)定义()sNV和()sNU分别为 V 和 U 的前 Ns列，则第 k个用户对应的数字预编码矩阵可表示为：()()0,sNBB kk=vVV (19)最后，采用注水算法16对总功率进行分配使和速率达到理论最大值，以获得较好的通信质量。同时，为了满足功率约束，数字预编码器可进一步表示为：,BB kBB kRFBB kldpowldpow=vvV v (20)其中，ldpow 为由注水算法计算得到的平均功率。而发射端数字预编码矩阵可描述为 VBB=,。综上所述，整个算法过程可暂时获得预编码矩阵的简单闭合解从而避免复杂的迭代运算，这也是本算法的一个优点。3 计算复杂度分析本文将乘法和除法的次数作为衡量标准，对比了 ZF-SV-sub 算法、MMSE-SVD-sub 算法、yuwei 算法以及本文所提算法的复杂度，如表 1 所示，本文所提算法在设计模拟组合器时，基于SVD方法，引入O(Nr2 Nt)的复杂度；同时，本文所提算法将混合预编码矩阵的求解分开进行，该过程引入 O(KNtNr)+O(K-1)2K)的复杂度。表1 复杂性比较算法复杂度ZF SVD sub14O(Nr2Nt)+O(K3)MMSE SVD sub14O(Nr2Nt)+O(K3)所提算法O(Nr2Nt)+O(KNtNr)+O(K-1)2K)Yuwei 算法6O(Nr2Nt)+O(Nt2Nr)+O(Nt2K)+O(Nt3)+O(K3)过最大化多用户 MIMO 系统的天线阵列增益来重构模拟设计问题，为降低复杂度，本文提出分别设计模拟组合器和预编码器，其中 wk由信道 Hk的 SVD 得到，而 VRF则是基于 MMSE 准则控制射频预编码器相位得到。一旦阵列增益最大化，系统的和速率就可以逐渐最大化。最后，根据模拟等效信道，应用基于 BD 算法的数字预编码器来减少用户间的干扰，详细的设计方案介绍如下。2.1 模拟组合器设计对于每个用户 k，首先对信道矩阵 Hk进行 SVD 为：Hk=USVH (10)其中 U 和 V 分别是包含左奇异矢量和右奇异矢量的酉矩阵，12,.,krNu uu=U，S 奇异值在对角线上按降序排列的对角矩阵。根据先前的研究14，为了使系统和速率最大化，wk可计算为：()j1e,1,2,.,qkkrkrqqNN=w (11)其中 q为 1中第 q 个素的相位。因此，根据式(11)，可以获得第 k 个用户的模拟组合器 wk。2.2 模拟预编码器设计给定模拟组合器wk和信道矩阵Hk，对于第k个用户，令：Hkkk=tw H (12)其中1tNktC，为了最大化有效信道增益，本文采用了MMSE 准则，MMSE 准则是通过最小化用户数据流的均方误差 MSE 来实现，可表示为2Esy。根据之前的研究15，对于第 k 个用户，本文给出基于 MMSE 的模拟预编码器的闭式解为：()()12HHkkkkKP=+ITttt (13)接下来利用相位提取技术，在基于 MMSE 模拟预编码器的基础上，本文提出了确定的模拟预编器为：(14)其中 M=Nt/K，q是矩阵 Tk中第 q 元素的相位。此外，根据式(9)，模拟预编器 VRF除了需满足恒模约束外还被约束为分块对角矩阵，即 VRF=blkdiag(v1,v2,vK)。2.3 数字预编码器设计给定模拟预编码器 VRF、信道矩阵 Hk、模拟组合器wk、设计数字预编码器 VBB来减少用户之间的干扰。在本文中，考虑采用 BD 技术，其主要思想是将 MU-MIMO信道划分为多个 SU-MIMO 信道，如果能保证第 k 个用户接收到的信号处于其他用户信道的零空间，则可以消除用户间干扰。首先，给定有效模拟信道 Heff,k=wkHHkVRF，需第47卷总第516期83 2023年8月第8期从表中可以看出，所提算法比 yuwei 算法的计算复杂度低，与算法 ZF-SVD-sub 和算法 MMSE-SVD-sub 复杂度相当，但能够获得较好的性能。4 数值结果分析为了验证本文算法的有效性，本文将对所提出算法的 SE 和 EE 性能进行评估，并与现有方法进行比较。假设发射端和接收端都采用均匀方形平面阵列 USPA，发射总功率 P=1，信道参数设置为：散射簇数为 Ncl=10、路径数为 Nray=5，离开和到达的方位角和仰角（AODs 和AOAs）服从拉普拉斯分布，簇角度在 0,2 上服从均匀分布，且角度扩展为 10o，USPA 中天线元件以半个波长距离分开，所有仿真结果在 1 000 个信道中平均实现。对于每个用户 k，为了简单起见，假设接收天线的数量相同。4.1 频谱效率性能分析（1）完美信道图 2 和图 3 为 K=4 时在输入不同信噪比的情况下，不同混合预编码算法在完美 CSI 下所获得的频谱效率。观察图 2 会发现，所提出的子连接结构下的混合预编码算法相较于文献 6 的 yuwei 预编码方案和文献 14 的 ZF-SVD-sub 预编码方案能够获得更高的频谱效率，更接近于最优预编码，且随着信噪比的增加，所提方案无限接近甚至超过文献 14 的 MMSE-SVD-sub 预编码方案，获得最优性能。图 2 和图 3 有相同的变化趋势，然而对比图2 和图 3 两张图，可以观察到与现有部分连接架构混合预编码方案相比，所提方案的性能显著提高，且在Nt=144时，频谱效率提升的更多一点。图2 Nt=64时完美信道下不同混合预编码算法所实现的频谱效率图3 Nt=144时完美信道下不同混合预编码算法所实现的频谱效率作为对比，在与图 2 相同仿真条件下，图 4 和图 5 分别展示了在高信噪比环境下（SNR 为 030 dB 和 SNR 为200360 dB），不同混合预编码算法在完美 CSI 下所获得的频谱效率。观察图 4 会发现，所提出的子连接结构下的混合预编码算法相较于文献 6 的 yuwei 预编码方案和文献 14的 MMSE-SVD-sub 与 ZF-SVD-sub 预编码方案能够获得更高的频谱效率，甚至超过全数字 BD 算法，可见本文所提出的算法在高信噪比环境下，能获得更优的性能，更适用于高信噪比环境系统。同时对比图 2 和图 4 会发现，随着信噪比的不断增加，不同混合预编码算法获得的频谱效率性能曲线开始呈线性增长，而全数字 BD 算法在 15 dB 左右时趋于稳定状态。观察图 5 会发现，当信噪比达到 320 dB 左右时，本文所提算法所获得的频谱效率开始趋于水平状态，不再变化。图4 Nt=64时高信噪比环境下不同混合预编码算法在完美信道下所实现的频谱效率张新,张柳伟,张秀:基于部分连接结构的低复杂度混合多用户预编码算法第47卷总第516期842023年8月第8期研究与探讨图5 Nt=64时较高信噪比环境下不同混合预编码算法在完美信道下所实现的频谱效率图 6 对比了在固定接收天线数量下，完美信道状态条件下不同混合预编码算法在不同发射天线数量下的频谱效率性能。可以观察到，随着发射天线数量的增加，所提预编码方案实现的频谱效率也在增加，值得注意的是，当基站天线数量远远大于用户数量时，本文提出的部分连接结构下的混合预编码方案与现有算法 MMSE-SVD-sub、ZF-SVD-sub 和yuwei-sub 相比，具有更高的性能，更接近于全数字预编码方案。同时，观察图 6 会发现，随着发射天线数量的不断增加，文献 6 的 yuwei 算法所获得的频谱效率出现了下降趋势，进一步验证了 yuwei 算法比较适用于基站天线数不是很大时的系统，而不适用于基站发射天线数较大时的系统。图6 完美信道下不同预编码算法在不同发射天线数下实现的频谱效率（SNR=0 dB，Nr=16，K=4）（1）非完美信道考虑到在实际应用中，一般是很难获得准确完美 CSI的，因此，在本文中，考虑在非完美 CSI 条件下，对所提出的方案性能进行有效的评估。不失一般性，将非完美 CSI 下第 k 个用户的信道矩阵 HImper,k建模为17：2Imper,1kkktt=+HHE (21)其中，Ek表示误差矩阵，每个元素都服从 CN(0,1)；0t1表示信道估计准确度，其中 t=1 表示获得了完美的信道状态信息，t=0 表示信道估计完全失效。图 7 展示了在（t=0.9,0.5,0.1）情形下，所提方案的 SE 随SNR 的变化情况。可以观察到，随着 t 的逐渐增加，所提算法的频谱效率 SE 也会逐渐上升，这是因为所提方法是基于信道矩阵H设计的，因此CSI信息越准确算法性能也就越好。同时，从图中可以看到当 t=0.9 时，所提算法几乎接近于完美状态下算法所实现的性能。而当t=0.5时，纵使此时的信道误差较大，但所提算法性能损失不大，依然能获得令人满意的性能。图7 非完美CSI下所提算法的频谱效率随SNR变化的性能曲线图 8 为 Nt=64 时非完美 CSI 下不同混合预编码算法所实现的 SE 性能，观察图可以发现，所提方案相较于其他文献的混合预编码算法，在非完美 CSI 条件下可获得更好的频谱效率。另外，图 2 和图 8 显示，与完美 CSI 相比，在非完美CSI 条件下，几种预编码算法所实现的频谱效率都有所下降，但所提算法下降最少，对系统的性能鲁棒性较好。图8 Nt=64时非完美信道下不同混合预编码算法所实现的频谱效率第47卷总第516期85 2023年8月第8期4.2 能量效率性能分析未来的通信系统将朝着绿色通信的方向发展，而能量效率在评估绿色系统性能方面将扮演一个重要的角色，在本文中，比较了完美信道状态下毫米波混合预编码方案的子连接结构的能量效率，其中能量效率公式可表示为：sumtotalRP=(bps/Hz/W)(22)其中，Ptotal表示子连接结构的总功耗。本文中所采用的功耗模型在文献 18 中可以找到，可表示为：Ptotal=NtPPA+NtPPS+NRFt(PRFC+PDAC)+PBB (23)其中，PPA为功率放大器功耗，PPS为相移器功耗，PRFC为射频链功耗，PDAC为模数转换器功耗，PBB为基带处理功耗。本文中各参数的取值如下：PPA=20 mW，PPS=30 mW，PRFC=30 mW，PDAC=200 mW，PBB=5 mW18。图 9 给出了不同混合预编码算法的子连接结构实现的能量效率对比，对于全数字 BD 方案，由于射频链的功耗很大，所以全数字 BD 的能量效率最低。文献 6 中的yuwei 算法，由于和速率性能较差，导致功耗性能第二低。可以看出，在相同信噪比和功耗的情况下，所提方法始终优于文献 14 的 ZF-SVD-sub 算法和文献 6 的 yuwei 算法，具有更高的能量效率，且随着信噪比的增加，所提方案超过文献 14 的 MMSE-SVD-sub 算法，获得最优性能。图9 不同预编码算法实现的能量效率5 结束语本文提出了一种适用于毫米波 MU-MIMO 系统的部分连接结构的混合预编码算法，所提算法无需优化方法或任何复杂的迭代设计就可暂时获得预编码矩阵闭合解提升系统频谱效率。仿真结果表明，所提出的混合预编码方法能够在硬件复杂度和系统性能之间取得较好的折衷，有利于未来的绿色通信发展。今后将研究多用户多流 MIMO 系统中部分连接混合预编码设计。参考文献：1 Roh W,Seol J Y,Park J,et al.Millimeter-wave beamforming as an enabling technology for 5G cellular communications:theoretical feasibility and prototype resultsJ.IEEE Communications Magazine,2014,52(2):106-113.2 Bogale T E,Le L B.Massive mimo and mmWave for 5G wireless hetnet:potential benefits and challengesJ.IEEE Vehicular Technology Magazine,2016,11(1):64-75.3 吕思涵,何宇奇,赵鲁豫,等.高性能的 5G 毫米波天线(阵列)实现与性能评估 J.移动通信,2022,46(3):13-20+41.4 魏垚.Massive-MIMO大规模天线技术概述与测试方法J.移动通信,2020,44(7):81-85.5 Molisch A F,Ratnam V V,Han S,et al.Hybrid beamforming for massive mimo:A surveyJ.IEEE Communications Magazine,2017,55(9):134-141.6 Sohrabi F,Yu W.Hybrid digital and analog beamforming design for large-scale antenna arraysJ.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2016,10(3):501-513.7 Lin T,Cong J,Zhu Y,et al.Hybrid beamforming for millimeter wave 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