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基于非凸惩罚融合套索模型的电机轴承复合故障诊断王凡1，马军1,2，熊新1,2，李祥1（1.昆明理工大学信息工程与自动化学院，昆明650500；2.昆明理工大学云南省人工智能重点实验室，昆明650500）摘要：针对非凸全变分去噪（non-convextotalvariationdenoising，NCTVD）在提取电机轴承复合微弱故障时存在稀疏性能欠佳和无法准确识别故障的问题，该研究提出一种基于非凸惩罚融合套索模型（non-convexfusedlassomodel，NCFLM）的复合故障诊断方法。基于反正切惩罚因子的 NCTVD 模型引入广义极小极大凹函数（generalizedminimaxconcave，GMC），将其拓展成融合套索模型的形式并得到 NCFLM，利用前向后向算法(forward-backwardalgorithm，FBA)对该模型进行求解，再引入遍历方法寻找相关峭度最大时正则化参数的最优取值并将求解结果与其他非凸惩罚模型进行对比。最后，利用采集到的电机轴承复合故障信号进行 NCFLM 处理，提取复合故障特征，试验结果表明，NCFLM 的原子压缩数目、收敛速度、重构准确度、稀疏度、L0范数逼近程度分别比原始 arctan-NCTVD 模型提高了9.2%、6.6%、10%、46.2%和 15%，可实现电机轴承复合故障的准确诊断。关键词：故障诊断；电机；轴承；全变分去噪；非凸惩罚；融合套索模型doi：10.11975/j.issn.1002-6819.202302078中图分类号：TN911.7；S232.8+6文献标志码：A文章编号：1002-6819(2023)-12-0030-09王凡，马军，熊新，等.基于非凸惩罚融合套索模型的电机轴承复合故障诊断J.农业工程学报，2023，39（12）：30-38.doi:10.11975/j.issn.1002-6819.202302078http:/www.tcsae.orgWANGFan,MAJun,XIONGXin,etal.Compositefaultdiagnosisofmotorbearingsusingnon-conexfusedlassomodelbasedonNCFLMJ.TransactionsoftheChineseSocietyofAgriculturalEngineering(TransactionsoftheCSAE),2023,39(12):30-38.(inChinesewithEnglishabstract)doi:10.11975/j.issn.1002-6819.202302078http:/www.tcsae.org0引言三相异步电机作为现代农业生产活动中电动力农业机械装置的核心部件之一，常被应用于电动碾米机、榨油机、粉碎机等各类固定作业机械中进行电力驱动，它具有效率高、污染小、噪声低、操作方便等优点，因此被广泛运用于农业工程领域1-3。电机内部的滚动轴承在设备运转过程中起着支撑和导向的作用，滚动轴承安装简单使用方便，产生的摩擦力小，能够提高机械的工作效率，轴承的健康状态影响着设备机组的运转性能甚至决定着整个运行过程是否可以正常进行4。电机轴承属于旋转机械中的易损零部件，由于运行环境和工况复杂多变，当轴承形成一个故障形态后容易恶化并导致其他位置的故障并发，多种故障信号彼此耦合给检测带来了巨大的困难5-6。因此，如何在复合微弱故障相互耦合以及强烈外界噪声的环境下，精确提取微弱故障特征是电机故障诊断领域亟待攻克的难题7-9。信号稀疏表示方法作为一种新兴的信号压缩与重构方法，已成功地应用于旋转机械的故障诊断领域，该方法使一维信号矩阵用尽可能少的原子来构造稀疏字典，在保留特征信息的同时降低信号复杂度，从而使我们简单有效地获取复杂信号中所蕴含的特征信息。但是构建惩罚函数的好坏会影响稀疏结果，若惩罚函数设计的不理想会导致函数在表达过程中失去物理意义，且获得的信号稀疏表示结果容易存在与原有信号脉冲不匹配的问题10。为使信号通过稀疏表示方法获得更准确的重构结果，近年来，学者提出了稀疏正则化方法，该方法的核心思想是把原始振动信号与待提取的故障脉冲看作一维矩阵或向量，引入正则化项来对稀疏过程进行约束，增强了模型的泛化能力和鲁棒性，并通过求解稀疏正则化的反问题，近似得到故障脉冲信号11。目前，稀疏正则化方法有 L0正则、L1正则、L2正则、Lp正则以及全变差正则（totalvariation，TV）。其中，L0正则可求解 x 中有多少个非零元素，但此求解方法是 NP 难问题（nonde-terministicpolynomial-hardproblem，NP-hardproblem）；L1正则表示各个参数的绝对值之和，L1范数不可导且是一个有偏估计，难以对较大的稀疏解实现精确估计12；L2正则即欧氏距离，规则化能力强但特征选择能力弱；Lp正则的构。上述稀疏正则化方法在故障诊断领域广泛应用，但仍存在难以优化求解的问题。TV 正则因其目标函数保持强凸性，且求解过程较为简单，为振动信号的稀疏重构提供了新的途径，TV 正则通常指凸惩罚全变分去噪方法（totalvariationdenoising，TVD），最早被应用于图像噪声去除，FIGGUEIREDO 等13提出构造 TVD模型对图像中的噪声进行去除，并利用 MM（majoriza-tion-minimization，MM）算法求解该模型。LAURENT14首次将 TVD 应用于一维信号降噪并取得了较好的滤波效果，YOU 等15为了减弱机械振动信号中背景噪声的干扰并准确提取时频谱中的特征脊线，引入 TVD 方法进行收稿日期：2023-02-14修订日期：2023-05-23基金项目：国家自然科学基金资助项目（62163020，62173168）；云南省基础研究计划项目（202202AD080005）作者简介：王凡，研究方向为旋转机械故障诊断。Email：通信作者：马军，博士，副教授，研究方向为机械设备混合智能故障诊断与预示和性能退化趋势预测。Email：第39卷第12期农 业 工 程 学 报Vol.39No.12302023年6月TransactionsoftheChineseSocietyofAgriculturalEngineeringJune2023降噪处理，数值仿真和实测结果表明该方法较好地增强了复杂信号的时频表示能力；JIANG 等16提出一种 VMD（variationalmodedecomposition，VMD）和 TVD 相结合的方法，利用信噪比选取参数，并证明该方法优于小波阈值去噪算法。虽然上述 TVD 方法的目标函数具有严格凸性且可以有效保留边缘特征，但在实际运用过程中易低估稀疏系数、丢失高幅值特征成分并难以选取正则化参数17。为了避免上述问题并有效提高信号特征的提取精度，一 些 学 者 提 出了 NCTVD（non-convex total var-iationdenoising，NCTVD）非凸正则方法能更准确地估计信号值并增强冲击成分的特征，如 LP(p1)方法18、重赋权 L2/L1方法19、对数惩罚函数、反正切惩罚函数、极小极大凹惩罚函数等。有学者通过加入新的惩罚函数项来提升 NCTVD 模型稀疏分解效果，如 LIN 等20将莫罗增强函数融合至非凸惩罚模型中，增强了轴承微弱故障特征，同时利用包络谱识别故障特征频率；HE 等21将可调小波基因子与广义极小极大凹函数相结合成功应用于旋转机械的微弱故障诊断；TRIPATHI22利用对数惩罚函数构造非凸正则化项，并证明了此方法优于其他惩罚函数项和小波阈值去噪；WANG 等23利用极小极大凹函数结合小波函数构造非凸小波全变分模型成功提取了滚动轴承的微弱故障特征，并应用于实测健康状态数据，验证了该方法的低误报率。还有学者通过构建新的非凸惩罚模型和改进稀疏系数的求解方法来解决原模型难以诊断复杂微弱故障的问题，如 WANG 等24利用k-稀疏性策略来求解 NCTVD 模型中的稀疏参数，通过仿真实验和实际测试证明了该方法可以显著提高轴承故障信号的估计精度，HE 等25将观测到的噪声信号建模为两个重复群稀疏分量与高斯白噪声的和，并采用非凸正则化重复瞬态提取算法对机车轴承的复合故障进行诊断；LI 等26提出交替方向乘子算法与二分量稀疏低秩矩阵分离方法，对减速机齿轮箱复合故障进行诊断；HUANG等27将稀疏表示和傅里叶变换融合构成一个紧凑框架，避免了高维逆矩阵的计算，之后通过分割增广拉格朗日收缩算法迭代求解得到两种混合分量的稀疏系数，从而有效地从齿轮箱振动信号提取出复合故障瞬态成分。虽然上述非凸惩罚稀疏正则化方法例如反正切惩罚函数模型28（arctannon-convextotalvariationdenoising）在故障诊断方面取得了良好的效果，但是在实际应用于电机轴承复合故障诊断时仍然存在着如下问题：稀疏后的数据原子复杂度较大，模型稀疏性能较差；不能充分反映信号的稀疏特征成分，无法提取复合故障特征。基于此，本文提出基于 NCFLM（non-convexfusedlassomodel，NCFLM）的电机轴承复合故障诊断方法，核心思想是将构造融合套索模型的思想应用到基于arctan 非凸惩罚函数的 NCTVD 模型中，构建对 L0范数逼近程度高且能保持较高稀疏性的信号分解模型，针对复合故障的振动信号需准确分离的工程需求，引入具有良好保幅值能力的 GMC（generalizedminimaxconcave，GMC）函数优化稀疏惩罚函数项，在使模型保持强凸性状态的正则化参数和凸性参数取值范围内，进一步利用遍历寻参方法确认最优的参数组合，并通过试验验证该模型对电机复合故障诊断的有效性。1基于 TVD 改进的 NCFLM 模型1.1TVD 的基本原理全变分去噪模型包含保真项和凸正则化项，可实现对原始信号的稀疏表示。定义一维信号为 x(n)(0nN1)，n 为信号中的第 n 个原子，N 为信号长度，该信号的一阶全变分为Dx1=N1n1|x(n)x(n1)|（1）|p式中 Dx 表示一阶微分，（p1）为 Lp范数，p 表示阶数，其中矩阵 D 的定义如下：D=1111.11（2）三对角矩阵 DDT表示为DDT=21121.12112（3）|x|p且为|x|p=(|x1|p+|x2|p+.+|xN|p)1p（4）当 p=1 或者 p=2 时，一阶和二阶范数分别定义如下：|x|1=(|x1|+|x2|+.+|xN|)（5）|x|2=(|x1|2+|x2|2+.+|xN|2)12（6）信号 x(n)加入高斯白噪声 w(n)，可得到合成的原始噪声信号 y(n)：y(n)=x(n)+w(n)（7）定义全变分去噪模型的目标函数为F(x)=12yx22+Dx1（8）yx22Dx1式中表示信号保真项，表示正则化项，为正则化参数，TVD 的目的是找到信号x 从而最小化目标函数：x=argminxF(x)（9）采用 MM 算法对式（9）进行求解，以 xk+1表示F(x)经 MM 算法而产生的第 k+1 个子序列，diag 表示对角矩阵，求解方程如下：xk+1=y DT(1diag(|Dxk|)+DDT)1Dy（10）式（10）迭代求解后得到经 TVD 模型处理的重构信号，但通过比较式（8）可以发现正则化参数 调控着正则化项的惩罚程度：越小，惩罚程度越小，重构信号x 可能会更接近原始信号 y，从而失去稀疏表示的意义；越大，惩罚程度越大，当 大于某个阈值后可能会使信第12期王凡等：基于非凸惩罚融合套索模型的电机轴承复合故障诊断31号失真。1.2NCTVD 与 NCFLM 的基本原理Dx1式（8）中正则化项本质上是 L1范数，L1范数在凸函数中有效地增强了稀疏性，但作为惩罚函数的 L1范数往往低估了较大的信号值。在诱导信号的稀疏性和估计信号值方面，非凸惩罚函数通常优于 L1范数，将变为非凸正则化项形式，式（8）转化为x=argminxF(x)=12yx22+n(Dxn)（11）式中 表示参数化非凸惩罚函数，正则化项用反正切惩罚函数（arctangentpenalty，arctan）来表示，即可得到arctan-NCTVD 模型：F(x;a)=12yx22+n(xn;a)（12）(x;a)=2a3(tan1(1+2a|x|3)6),a 0（13）式中参数a 控制模型的凸性程度，一般来说，非凸惩罚函数项还包括对数惩罚函数项（logarithmicpenalty，log）和一阶有理惩罚函数项（firstorderrationalpenalty，rat）如下所示：(x;a)=1alog(1+a|x|),a 0（14）(x;a)=|x|1+a|x|/2,a 0（15）SELESNICK 利用 MC 非凸惩罚函数和线性最小二乘 Huber 函数推导出 GMC 非凸惩罚函数，该模型能更精确地估计稀疏解的高振幅分量和诱导稀疏性29。本文以文献 28 中的 arctan-NCTVD 模型为原始模型，融合GMC 函数对模型进行套索化处理，此步骤的 GMC 是由卷积下定义的 Huber 泛化推导得到，设一元 Huber 函数s(x)的表达式为s(x)=12x2,|x|1|x|12,|x|1（16）设 b 为压缩尺度变量，若 b=0，则 s(x)=0；若 b0，则尺度 Huber 函数 sb(x)为sb(x)=12b2x2,|x|1b2|x|12b2,|x|1b2（17）设 A,BRMN，A、B、R 为实数矩阵，v 表示靠近 x两侧邻域内的点，M 和 N 为矩阵行数和列数，对式（17）进行变尺度处理，将其转化为变尺度 Huber 函数 sB(x)，表示为sb(x)=s(b2x)/b2,b,0sB(x)=minx|v|1+12B(xv)22（18）利用式（18）定义的 sB(x)进行泛化推导得到 GMC惩罚函数 PB(x)为PB(x)=x1sB(x)（19）(xopt,vopt)融合套索模型是非凸惩罚模型的扩展，将式（12）按式（20）的形式拓展后并代入式（19），此稀疏优化问题可转化为如式（21）的鞍点近似求解问题，此问题可通过 FBA 算法求解，该算法具体步骤见文献 29，其中 为数据原子，为迭代处理后得到的鞍点坐标，严格凸函数的参数取值范围如图 1 所示，可以看出，参数 需 在 三 角 形 内 部 取 值 才 能 保 证 模 型 为 严 格 凸。NCFLM 与常规非凸惩罚模型的区别在于它同时对信号数据原子本身及其差分的绝对值之和进行惩罚控制，减少了具有相同特征邻近原子之间的差值，并统筹兼顾了所有原子的顺序联系性，使得不同特征成分更容易区分。也可以说，融合套索模型处理后的原子不仅是稀疏的，原子之间的连续性差异也是稀疏的，因此在原子和连续性差异之间产生稀疏解，更能促进模型的稀疏性。x=argminx12yx22+1|1+2pi=2|ii1|（20）(xopt,vopt)=argminxF(x,v)F=12y A(x)22+1(|(x)|1|v|1)22B(x)v)22（21）1/421/100a2a1凸函数Convex function非凸函数Non-convex functiona11+4a22=1搜索范围Search range注：1为正则化项的第 1 个正则化参数，a1为正则化项的第 1 个凸性参数，2为正则化项的第 2 个正则化参数，a2为正则化项的第 2 个凸性参数。Note:1isthefirstregularizationparameteroftheregularizationterm,a1isthefirst convexity parameter of the regularization term,2 is the secondregularization parameter of the regularization term,and a2 is the secondconvexityparameteroftheregularizationterm.图 1强凸函数的参数取值范围Fig.1Valuerangeofparametersforstrongconvexfunction1.3NCFLM 与其他非凸惩罚函数的函数值变化曲线分析为验证本文模型在重构性能方面比常规非凸惩罚函数更具优势，将 NCFLM 模型与初始 L1范数模型、log模型、rat 模型、arctan 模型的函数值变化曲线进行对比分析。图 2a 为不同惩罚因子的惩罚函数值对比，L0范数虽稀疏特征明显但因其较难优化求解而被称为 NP 难问题，L1范数被称为 L0的最优凸近似并且比其更容易优化求解而得到了广泛应用，log、rat 以及 arctan 非凸惩罚因子作为 L1范数的改进，比 L1范数更能实现对 L0范数的逼近，以 x=3 为例，R1、R2、R3、R4、R5的惩罚函数值与 R0分32农业工程学报（http:/www.tcsae.org）2023年别相差 1.5、0.89、0.83、0.7、0.25，R5与 R0最为接近，即 NCFLM 函数曲线与 L0范数的函数曲线最为相近，逼近程度最高。图 2b 为不同惩罚因子的近端算子对比，惩罚因子(x,a)的近端算子 为(y;,a)=argminx12(yx)2+(x;a)（22）当 0a1/时，近端算子 变为连续的非线性阈值函数：(y;,a)=0,|y|（23）若 a=0，近端算子转化为软阈值函数，基于 L1范数的近端算子是软阈值函数，其低估了较大的非零奇异值。这些惩罚因子的近端算子都是固定阈值函数，sign 为符号函数，当阈值变化时 可转化为(y;,a)=min|y|,max(|y|)/(1a,0)sign(y)（24）a.不同惩罚因子的惩罚函数值a.Penalty function values for differentpenalty factors42024稀疏信号系数Sparse signal coefficient x01234惩罚函数值Penalty function value(x;a)R0R1R2R3R4R5b.不同惩罚因子的近端算子 b.Proximal operators for differentpenalty factors432101234原始信号系数Raw signal coefficient y42024近端算子惩罚函数值2.52.02.22.01.81.6R0R0R1R1R2R2R3R3R4R4R5R5Proximal operator function values 注：R0表示基于 L0范数的惩罚因子，R1表示基于 L1范数的惩罚因子，R2表示基于 log 函数的惩罚因子，R3表示基于 rat 函数的惩罚因子，R4表示基于 arctan 函数的惩罚因子，R5表示基于 NCFLM 的惩罚因子。Note:R0meanstheL0parametricpenaltyfactor,R1meanstheL1parametricpenalty factor,R2 means the log function penalty factor,R3 means the ratfunctionpenaltyfactor,R4meansthearctanfunctionpenaltyfactor,R5meanstheNCFLMpenaltyfactor.图 2基于不同惩罚因子的函数值及模型近端算子函数值对比Fig.2Comparisonoffunctionvaluesandproximaloperatorfunctionvaluesbasedondifferentpenaltyfactors由图 2 可知，在信号系数较大时，NCFLM 与 L0范数的曲线重合，而其他惩罚因子的近端算子曲线都与 L0范数所对应的=y 处存在一个固定的距离，证明在 y 较大时，NCFLM 的稀疏能力与 L0范数持平，由此可知，融合套索化后的 NCFLM 有更加优秀的稀疏性能。以斜率作为接近 L0范数程度的评判标准，NCFLM 的逼近性能比 arctan 惩罚函数提高了 15%。以 y=-3 为例，在 y 值相同时，NCFLM 具有最小的 值，由式（21）可知，此时在 argmin 条件下能取得更合适的 x 值；以=-3 为例，相同时，只需要取绝对值更小的 y 值就可以满足式（21）相同的稀疏重构结果。由上述分析可知，相比于其他模型，本文的 NCFLM 惩罚因子更接近理想的 L0范数，逼近程度更高，能更好地反映信号的稀疏特征。2模型对比试验2.1试验平台为验证基于 NCFLM 的电机轴承复合故障诊断方法的可行性，使用昆明理工大学旋转机械故障综合模拟试验平台对外圈和内圈轴承故障电机进行试验验证。图 3为试验平台，包括变频调速三相异步电机（型号为 101-19-01，额定转速为 3000r/min，最高转速为 5000r/min）、弹性联轴器（型号为 d14-e18+d18-e18）、磁粉制动器（额定扭矩 12Nm）、加速度传感器（型号为 JF2100）、电机控制仪和负载控制仪。故障电机右侧的旋转轴通过弹性联轴器与磁粉制动器左侧的制动器轴相连，故障电机电源线接在电机控制仪的“电机电源”孔位，磁粉制动器线缆接在负载控制仪的“磁粉制动器”孔位，加速度传感器安装于故障电机上的传感器接口位置，采集振动信号并传输至数据采集仪中，再通过数据采集仪传输至电脑终端进行数据分析。1243561.负载控制仪2.电机控制仪3.加速度传感器 4.故障电机5.弹性联轴器6.磁粉制动器1.Loadcontroller2.Motorcontroller3.Accelerationsensor4.Faultymotor5.Elasticcoupling6.MagneticPowderBrake图 3故障电机模拟试验平台Fig.3Faultymotorsimulationexperimentplatformfo=12z(1dDcos)fr=91.5 HzfI=12z(1+dDcos)fr=148.5 Hz故障电机滚动轴承型号为 6202-RZ，如表 1 所示，设置转速为 1800r/min，信号采样频率为 25.6kHz，采样间隔 10s，每次采样时长 1.28s，采样点数为 32768，施加扭矩为 2Nm，利用文献 30 中的轴承外内圈故障特征频率公式并结合表 1 计算得到外圈理论故障频率为，内圈理论故障频率为。表1电机轴承参数Table1Motorbearingparameters参数 Parameters值 Value滚动体直径 Rollingdiameterd/mm6轴承节径 BearingpitchdiameterD/mm25.26滚动体数 Numberofrollsz8接触角 Contactangle/()02.2基于 NCFLM 模型的复合故障诊断流程基于 NCFLM 的电机轴承复合故障诊断方法的流程图如图 4 所示，主要包括以下步骤：第12期王凡等：基于非凸惩罚融合套索模型的电机轴承复合故障诊断331）通过试验平台采集三相异步电机轴承复合故障的振动信号；2）对 arctan-NCTVD 模型中的惩罚函数项进行基于 GMC 非凸惩罚函数的融合套索化处理，构造新的NCFLM 模型；3）通过一系列稀疏性能指标评判 NCFLM 模型与arctan-NCTVD 模型的优劣性；4）将采集到的复合故障信号导入新模型中，并引入 FBA 算法进行求解，同时约束正则化参数和凸性参数，即可得到可准确识别复合故障的稀疏字典。NCFLM模型FBA算法求解约束参数可提取复合故障的字典集1.惩罚函数对比4.原子分布图评判模型2.阈值函数对比3.收敛曲线arctan-NCTVD模型GMC融合套索化5.重构误差6.稀疏度F(x,a)=|yx|22+f(xn;a)21p=max1,/(1)|AT A|2|yA(x)|22+1(|(x)|1|v|1)|B(x)v)|22212242024稀疏信号系数Sparse signal coefficient x01234惩罚函数值Penalty function value(x;a)R0R1R2R3R4R5432101234原始信号系数Raw signal coefficient y42024近端算子惩罚函数值Proximal operator 2.52.02.22.01.81.6R0R0R1R1R2R2R3R3R4R4R5R505101520迭代次数Number of iterations02 0004 0006 0008 00010 000函数值Function valueL1arctan-NCTVDNCFLM05 00010 000采样点Sampling points幅值Amplitude/(ms2)2024605 00010 000采样点Sampling points幅值Amplitude/(ms2)20246800.51.01.52.0正则化参数Regularized parameter 101重构误差Mean square errorNCFLMarctan-NCTVD0.20.40.60.8正则化参数Regularized parameter 201重构误差Mean square errorNCFLMarctan-NCTVD00.51.01.52.0正则化参数Regularized parameter 1024稀疏度Sparsity/104NCFLMarctan-NCTVD稀疏度Sparsity/10400.30.60.9正则化参数Regularized parameter 205NCFLMarctan-NCTVD1110相关峭度Correlational kurtosis CK21980.10.30.50.70.90.20.61.01.42.0760100200300400500频率Frequency/Hz3fo2fofo3fI2fIfI00.51.01.5 fI+fr fIfr 幅值Amplitude/(ms2)图 4基于NCFLM的电机轴承复合故障诊断方法流程图Fig.4FlowchartofmotorbearingcompoundfaultdiagnosismethodbasedonNCFLM2.3结果与分析图 5 为各模型对采集信号进行稀疏重构后的原子分布情况，为避免幅值较小的原子造成信息冗余，将幅值绝对值小于 0.2 的原子定义为零原子，图 5a、图 5b 和图 5c 中的零原子数目分别为 8600、9269 和 10125 个，NCFLM 模型处理后的结果更为稀疏，其原子压缩数目比 arctan-NCTVD 增大了 9.2%。NCFLM 的惩罚项在相邻原子之间进行相似估计，融合一些特征相同的原子，并将幅值绝对值较小的原子向原点压缩，在一定程度上减少了信息量较少的原子数目，降低运算复杂度。图 5a和图 5b 中的模型原子过于稠密，原子复杂度较大，难以满足解非凸优化的稀疏性要求。由图 6 中 3 种模型的收敛曲线对比可知，NCFLM 模型收敛速度快于其他模型，在函数值收敛时，arctan-NCTVD 和 NCFLM 的初始函数值分别为 10000 和9297，收敛函数值分别为 1482 和 174，NCFLM 的收敛速度比 arctan-NCTVD 提高了 6.6%。a.L1-TVD模型a.L1-TVD model02 000 4 000 6 000 8 000 10 000采样点Sampling points02 000 4 000 6 000 8 000 10 000采样点Sampling points02 000 4 000 6 000 8 000 10 000采样点Sampling points101234幅值Amplitude/(ms2)幅值Amplitude/(ms2)幅值Amplitude/(ms2)b.arctan-NCTVD模型b.arctan-NCTVD model20246c.NCFLM模型c.NCFLM model202468图 5经不同模型稀疏重构后的原子分布图Fig.5Atomicdistributiondiagramaftersparsereconstructionbydifferentmodels05101520迭代次数Number of iterations02 0004 0006 0008 00010 000函数值Function valueL1arctan-NCTVDNCFLM图 6不同模型的收敛曲线Fig.6Convergencecurvesofdifferentmodels图 7 为 2 种模型的重构误差 M 随正则化参数 1和2的变化曲线。随着 1从 0 增加到 2，arctan-NCTVD的 M 值从 0.154 增大到 0.903，NCFLM 的 M 值从 0 缓慢增加到 0.683 且一直比前者小；arctan-NCTVD 没有 2项因此其 M 值保持在 0.45，随着 2从 0 增加到 2，NCFLM的M值从 0.165 缓慢减小到 0.043，NCFLM 的重构误差更小。图 8 为 2 种模型的稀疏度 k 和正则化参数 1和 2的变化关系。信号的稀疏度是指信号向量中非 0 元素的个数，随着1从 0 增加到 2，arctan-NCTVD 的稀疏度从 32768 缓慢下降到 7277，而 NCFLM 从 32768 下降34农业工程学报（http:/www.tcsae.org）2023年到 1822，NCFLM 比 arctan-NCTVD 需要更少的元素来进行稀疏表示。同理，2相同时也可得到相同的结论。在重构误差为 01 时，分别计算图 7a、图 7b 在 1从 0到 2 和 2从 0 到 0.8 时各模型重构误差的变化值，结果取 平 均 值，可 得 NCFLM 的 重 构 准 确 度 比 arctan-NCTVD 提高了 10%；同上，在稀疏度方面 NCFLM 的性 能比 arctan-NCTVD 提 高 了 46.2%，由 上 可 知，NCFLM 的稀疏性能更优。00.51.01.52.0正则化参数Regularized parameter 101重构误差NCFLMarctan-NCTVDb.重构误差M和2的关系b.Relationship between mean square error M and 20.20.40.60.8正则化参数Regularized parameter 201重构误差NCFLMarctan-NCTVDMean square error Ma.重构误差M和1的关系a.Relationship between mean square error M and 1Mean square error M图 7不同模型的重构误差与正则化参数的关系对比Fig.7Comparisonofrelationshipbetweenreconstructionerrorsandregularizationparametersofdifferentmodels00.51.01.52.0正则化参数Regularized parameter 1024稀疏度Sparsity/10400.30.60.9正则化参数Regularized parameter 205NCFLMarctan-NCTVDNCFLMarctan-NCTVDa.稀疏度k和1的关系a.Relationship between sparsity k and 1b.稀疏度k和2的关系b.Relationship between sparsity k and 2稀疏度Sparsity/104图 8不同模型的稀疏度与正则化参数的关系对比Fig.8Comparisonoftherelationshipbetweensparsityandregularizationparametersofdifferentmodelss综上所述，NCFLM 的原子压缩数目、收敛速度、重构准确度、稀疏度和 L0范数逼近程度分别比 arctan-NCTVD 提高了 9.2%、6.6%、10%、46.2%和 15%，因此 NCFLM 模型更具优越性。3诊断结果与分析前面已证明 NCFLM 在稀疏性能指标方面比 arctan-NCTVD 更具优势，本节展示 NCFLM 的最优参数选取方法和复合故障诊断结果。3.1遍历寻找最优参数图 9 为电机外内圈复合故障轴承振动信号标准化处理后得到的时域及频域波形，可见频谱中识别不了 fo和fI，因此无法识别轴承复合故障特征频率及其倍频成分。在进行 NCFLM 处理前，需要对模型进行正则化参数选取。本文采用遍历寻参的方法来确定最优正则化参数 1和 2。对图 9a 的观测信号进行分析，试验中发现若 1选取较大值，会抑制冲击成分导致结果失真，本文选取1范围为 0,2，寻参过程中步长设置为 0.2，文献 29 算法中参数 2范围为 0,1)，步长设置为 0.1，通过相关峭度 CK刻画总体重构效果，如图 10 所示，最大相关峭度CK=10.2，此时 1=2，2=0.8。a.时域波形a.Time domain waveform00.20.40.60.81.01.2时间Time/s20020幅值Amplitude/(ms2)幅值Amplitude/(ms2)b.频域波形b.Frequency domain waveforms02 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000频率Frequency/Hz00.51.01.5图 9电机轴承复合故障信号波形图Fig.9Waveformdiagramofmotorbearingcompoundfaultsignal1110相关峭度Correlational kurtosis CK21980.10.30.50.70.90.20.61.01.42.076图 10遍历寻找最优参数过程Fig.10Traversaltofindoptimalparameterprocedurea1=c1(c(0,1),a2=1a1142(a2(0,1/42)a2(0,1/42)确定正则化参数后，结合图 1 对凸性参数 a1与 a2进行限制，设置，其中 a1决定奇异值的稀疏性，a2决定被估计矩阵元素的稀疏性，为保证惩罚程度并保持强凸性，在搜索范围中的强凸性临界处进行取值，a1取 0.34，a2取 0.1。3.2复合故障诊断结果arctan-NCTVD 模型和 NCFLM 模型的外内圈复合故障结果如图 11 所示，图 11a 表明 arctan-NCTVD 模型虽然可初步提取外圈故障冲击成分，但是会淹没内圈故障特征；并且在恢复信号特征的过程中大量衰减信号能量，从而导致故障特征不明显。图 11b 表明 NCFLM 可检测到外圈和内圈故障特征第12期王凡等：基于非凸惩罚融合套索模型的电机轴承复合故障诊断35频率以及转频的调制边频带，且幅值更大，噪声更少。综上，NCFLM 在处理轴承外圈和内圈复合故障信号时比 arctan-NCTVD 模型更具有优越性。a.arctan-NCTVD0100200300400500频率Frequency/Hzb.NCFLM0100200300400500频率Frequency/Hz00.20.60.4fo2fo3fo3fo2fofo3fI2fIfI00.51.01.5 fI+fr fIfr 幅值Amplitude/(ms2)幅值Amplitude/(ms2)注：fo为外圈故障特征频率，fI为内圈故障频率，fr为主轴转动频率。Note:foistheouterringfaultcharacteristicfrequency,fIistheinnerringfaultfrequency,fristhespindlerotationfrequency.图 11不同模型的复合故障诊断信号频域波形图Fig.11Frequencydomainwaveformdiagramofcompositefaultdiagnos