资源描述
2.3 函数的单调性与最值
一、填空题
1．函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调增区间为________．
解析 由题意知x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5，即函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数u＝x2－4x－5＝(x－2)2－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞).
答案 (5，＋∞)
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．(填所有正确的编号)
①y＝－x＋1；②y＝；③y＝x2－4x＋5；④y＝.
解析 y＝－x＋1在R上递减；y＝在R＋上递增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y＝在R＋上递减．
答案 ②
3．定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝________.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)
∴f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)
又∵f(x)单调递增
∴a＝1－b即a＋b＝1.
答案 1
4．若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是________．
解析 因为f(x)是二次函数且开口向上，
所以要使f(x)在(－∞，1]上是单调递减函数，
则必有－≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.
答案 [1,3]
5．下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．
解析 y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上是减函数．
答案 ②
6．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．
解析 由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
及f(1－x)＋f(1－x2)＜0
得f(1－x)＜－f(1－x2)．
所以f(1－x)＜f(x2－1)．又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以
故原不等式的解集为(0,1)．
答案 (0,1)
7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．
解析 由题意，得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，从而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只能①是正确的．
答案 ①
8.设a=logloglog则a，b，c的大小关系是_____．
解析 因为0<logloglog所以b<a<c.
答案 b<a<c
9．如果对于函数f(x)的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f(m1)＝f(m2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g(x)的定义域、值域分别为A，B，A＝{1,2,3}，B⊆A且g(x)为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g(x)共有________个．
解析 分B中元素为1个，2个，3个讨论．B中只有一个元素，此时各有一个函数；B有两个元素，此时各有两个函数；B有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数．
答案 9
10．已知函数f(x)＝1－，x∈[0,1]，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：
①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；②x2f(x1)＜x1f(x2)；③f(x2)－f(x1)＞x2－x1；④＞f.
其中正确结论的序号是________．
解析 函数f(x)＝1－，x∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为
，即f(x)在x∈[0,1]上是单调递增函数，结合图象可知，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足＞f，所以命题④正确．
答案 ②④
11.若函数f(x)=a|x-b|+2在上为增函数,则实数a,b的取值范围为 .
解析 由f(x)=a|x-b|+2知其图象关于x=b对称,且在上为增函数,所以.
答案
12．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的判断：
①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③y＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f＝0.其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)．
解析 ①由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即①正确．②由f(1－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝f(1＋x)知②正确．③由偶函数在[－1,0]与[0,1]上具有相反的单调性知③不正确．④在f(x＋1)＝－f(x)中令x＝－，得f＝－f＝－f，所以f＝0.
答案 ①②④
13．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜
.
其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．
解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，
由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不
是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在
上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；
由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0
且x1≠x2，恒有f＜成立，
故④正确．
答案 ①③④
【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.
二、解答题
14.已知t为常数,函数y=||在区间上的最大值为2，求t的值.
解析 显然函数y=||的最大值只能在x=1或x=3时取到,
若在x=1时取到,则|1-2-t|=2,得t=1或t=-3.
t=1,x=3时,y=2;t=-3,x=3时,y=6(舍去);
若在x=3时取到,则|9-6-t|=2,得t=1或t=5.
t=1,x=1时,y=2;t=5,x=1时,y=6(舍去),所以t=1.
15. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解析 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.
又对任意实数x均有f(x)≥0成立，∴a>0且Δ＝b2－4a≤0恒成立，即a>0且(a－1)2≤0恒成立，
∴a＝1，b＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在x∈[－2,2]时是单调函数，
∴[－2,2]⊆或[－2,2]⊆.
∴2≤或≤－2，解得k≥6或k≤－2，
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
16．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解析 (1)证明 法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，
而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
法二 设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，
∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2) ∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
17．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解析 (1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．
所以f(x)为偶函数．
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)①
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组：
或
或
所以3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.
故x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}．
18．在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”，已知函数f(x)＝1－.
(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；
(2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，证明：|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|；
(3)当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立，求实数a，b的取值范围．
解析 (1) 显然f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为f(x)＝·＝·＝·
＝，所以f(x)为减函数，因此f(x)是“弱增”函数．
(2)证明 |f(x1)－f(x2)|＝＝＝.
因为x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，所以··(＋)＞2，所以|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
(3) 当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立．所以当x＝0时，不等式显然成立，当x∈(0,1]时，等于恒成立由(1)知f(x)为减函数，1－≤f(x)＜，所以a≥且b≤1－.
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