2014年全国120份中考数学试卷分类解析汇编7：一元二次方程及其应用.doc

一元二次方程及其应用
一、选择题
1. （2014•海南,第10题3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）

A．
100（1+x）2=81
B．
100（1﹣x）2=81
C．
100（1﹣x%）2=81
D．
100x2=81

考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：
增长率问题．
分析：
若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．
解答：
解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
故选B．
点评：
本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
2．（2014•宁夏，第3题3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（　　）

A．
x1=x2=1
B．
x1=1+，x2=﹣1﹣
C．
x1=1+，x2=1﹣
D．
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣

考点：
解一元二次方程-配方法．
专题：
计算题．
分析：
方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．
解答：
解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，
配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=1+，x2=1﹣．
故选C．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．(2014•陕西,第8题3分)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）
　 A． 1或4 B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1或﹣4
考点： 一元二次方程的解．菁优网
分析： 将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选B
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
4．（2014•湖北黄冈,第6题3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（　　）

A．
﹣8
B．
32
C．
16
D．
40
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
解答：
解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
5. （2014•湖北荆门,第5题3分）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（　　）
　 A． 0＜α＜1 B． 1＜α＜1.5 C． 1.5＜α＜2 D． 2＜α＜3

考点： 解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．
分析： 先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
解答： 解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a=，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，
∴＜＜2，
故选C．
点评： 本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
6．（2014•攀枝花，第8题3分）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（　　）

A．
α+β=﹣1
B．
αβ=﹣1
C．
α2+β2=3
D．
+=﹣1

考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．
解答：
解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；
+===1．
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
7.（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：
果园从2011年到2013年水果产量问题，是典型的二次增长问题．
解答：
解：设该果园水果产量的年平均增长率为，由题意有
，
故选D．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做本题的关键．
8．（2014•浙江宁波，第9题4分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）

A．
b=﹣1
B．
b=2
C．
b=﹣2
D．
b=0

考点：
命题与定理；根的判别式
专题：
常规题型．
分析：
先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
解答：
解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．
故选A．
点评：
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．

9. （2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．
m＞1
B．
m=1
C．
m＜1
D．
m≤1
考点：
根的判别式．
分析：
根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
解答：
解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，
∴△≥0，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1．
故选D．
点评：
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

10．（2014•呼和浩特，第10题3分）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（　　）

A．
x1+x2＞1，x1•x2＞0
B．
x1+x2＜0，x1•x2＞0

C．
0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0
D．
x1+x2与x1•x2的符号都不确定

考点：
根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
根据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再根据x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．
解答：
解：∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，
∴a＞0，c＞0，
∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，
∴b＜0，c+1＜0，
∴c＜﹣1，
∴x1•x2=＞0，0＜x1+x2＜1，
故选C．
点评：
本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．
11.（2014•菏泽，第6题3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）

A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
﹣2
考点：
一元二次方程的解．
分析：
由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选A．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
12．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．
解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选A．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

13. （ 2014•广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
根的判别式．
专题：
计算题．
分析：
先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解答：
解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

14. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第9题3分）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（　　）

A．
m=0时成立
B．
m=2时成立
C．
m=0或2时成立
D．
不存在

考点：
根与系数的关系．
分析：
先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．
解答：
解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．
假设存在实数m使+=0成立，则=0，
∴=0，
∴m=0．
当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，
∴m=0符合题意．
故选A．
点评：
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．

15．(2014年天津市，第10题3分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=28

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
分析： 关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．
故选B．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

16．（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）
　 A． x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2

考点： 解一元二次方程－因式分解法．
分析： 直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
解答： 解：x2﹣x﹣2=0
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
故选：D．
点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

17．（2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根

C．
只有一个实数根
D．
没有实数根

考点：
根的判别式．
分析：
把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
解答：
解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4aC．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18.（2014·云南昆明，第3题3分）已知、是一元二次方程的两个根，则等于（ ）
A. 　　 B. 　　 C. 1 D. 4
考点：
一元二次方程根与系数的关系.
分析：
根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答．
解答：
解：由题可知：，
故选C．
点评：
本题考查一元二次方程根与系数的关系．
19．（2014•广西来宾，第10题3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（　　）

A．
x2﹣6x+8=0
B．
x2+2x﹣3=0
C．
x2﹣x﹣6=0
D．
x2+x﹣6=0

考点：
根与系数的关系．
分析：
首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，继而求得答案．
解答：
解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为﹣2，3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选：D．
点评：
此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．
20．(2014年广西钦州，第7题3分)若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
　 A． ﹣10 B． 10 C． ﹣16 D． 16

考点： 根与系数的关系．
分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
解答： 解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选：A．
点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．
二.填空题
1. （ 2014•广西贺州，第16题3分）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　0　．

考点：
根的判别式．
专题：
计算题．
分析：
根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．
解答：
解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，
解得m＜，
所以m的最大整数值为0．
故答案为0．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．（2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为　 　．
考点：
解一元二次方程－因式分解法
分析：
根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
解答：
解：因式分解得，x（x﹣3）=0，
解得，x1=0，x2=3．
点评：
本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

3. （2014•扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．
考点：
因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得
2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．
解答：
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，
∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，
∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5
=2a2﹣2a+17
=2（a+3）﹣2a+17
=2a+6﹣2a+17
=23．
故答案为23．
点评：
本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．

4.（2014•呼和浩特，第15题3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　8　．

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．
专题：
常规题型．
分析：
根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．
解答：
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
且一元二次方程的求根公式是
解得：m=﹣1，n=﹣1﹣或者m=﹣1﹣，n=﹣1，
将m=﹣1、n=﹣1﹣代入m2﹣mn+3m+n=8；
将m=﹣1﹣、n=﹣1代入m2﹣mn+3m+n=8；
故答案为：8．
点评：
此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．

5.（2014•德州，第16题4分）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为　1　．
考点：
根与系数的关系
分析：
由x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
解答：
解；x12+x22=4，
即x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，
又∵x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，
解得k=1．
故答案为：1．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
6．（2014•济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=　4　．
考点：
解一元二次方程－直接开平方法．
专题：
计算题．
分析：
利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．
解答：
解：∵x2=（ab＞0），
∴x=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，
∴=2，
∴=4．
故答案为4．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．

7. （2014•丽水，第15题4分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　（30﹣2x）（20﹣x）=6×78　．

考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：
几何图形问题．
分析：
设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
解答：
解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
8. （2014•湖南永州,第10题3分）方程x2﹣2x=0的解为　x1=0，x2=2　．

考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程．.
专题：
计算题．
分析：
把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可．
解答：
解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0或 x﹣2=0，
x1=0 或x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
点评：
本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
9. （2014•随州，第14题3分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．

考点：
一元二次方程的应用
专题：
增长率问题．
分析：
本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：
解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）
故答案为：20%．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
10、（2014•江西，第10题3分）若是方程的两个实数根，则_______。
【答案】 x＞。
【考点】 根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值．
根据一元二次方程根与系数的关系，若任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1，x2，则x1+x2=－,x1•x2= ,根据完全平方化公式对化数进行变形，代入计算即可.
【解答】 解：∵a、b是方程x2－2x－3＝0的两根，
∴a+b=2，ab=－3，
a2＋b2=（a＋b）2--2ab＝22-2×(-3)=10.
【点评】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2=－,x1•x2=.也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用．
11．（2014•黑龙江哈尔滨,第15题3分）若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为　1　．

考点：
一元二次方程的解．
专题：
计算题．
分析：
根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值．
解答：
解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，
解得：m=1．
故答案为：1
点评：
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

12. (2014•黑龙江牡丹江, 第18题3分)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　x2﹣70x+825=0　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．
解答： 解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
整理得：x2﹣70x+825=0，
故答案为：x2﹣70x+825=0．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．
13．（2014•莱芜，第15题4分）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．

考点：
根与系数的关系．.
分析：
根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．
解答：
解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，
∴k2=1，
解得k=1或﹣1；
∵方程有两个实数根，△＞0，
∴当k=1时，△＜0，舍去，
故k的值为﹣1．
点评：
本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．
三、解答题
1. （2014•湖北宜昌,第22题10分）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

考点：
一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
分析：
（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；
（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；
②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2014年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．
解答：
解：（1）由题意，得
2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，
∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；

（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得
1100（x+1）=1000x+1700，
解得：x=6．
答：2012年全校学生人均阅读量为6本；
②由题意，得
2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，
2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，
2014年全校学生的读书量为6（1+a）本，
80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%
2（1+a）2=3（1+a），
∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．
答：a的值为0.5．
点评：
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．
2. （2014•湖南衡阳,第24题6分）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解答： 解：设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，
开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，
解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．
答：这两年的年平均增长率为20%．
点评： 考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3. （2014•河北，第21题10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2++bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第　四　步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是　x=　．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．

考点：
解一元二次方程-配方法
专题：
阅读型．
分析：
第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答：
解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．
故答案是：四；x=；

用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0
解：移项，得
x2﹣2x=24，
配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，
开方得x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
4、（2014•随州，第23题8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）

考点：
一元二次方程的应用；分段函数
分析：
（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
解答：
解：（1）由题意，得
当0＜x≤5时
y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y=；

（2）当0＜x≤5时，
（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，
当5＜x≤30时，
x=25，
解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．
答：该月需售出10辆汽车．
点评：
本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．
5、（2014衡阳，第24题6分）
已知某校去年年底的绿化面积为平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到平方米，求这两年的年平均增长率。
【考点】一元二次方程、直接开方法解方程

【点评】本题考查一元二次方程增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，同类型的问题还有降低的问题，根据题意去列方程即可.
6、（2014•无锡第20题8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；
（2）解不等式组：．

考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．
专题：
计算题．
分析：
（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答：
解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，
解得：x1=6，x2=﹣1；

（2），
由①得：x≥3；
由②得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2014•四川成都,第26题8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

考点：
二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性得出答案．
解答：
解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m；

（2）由题意可得出：S=x（2