上海高考数学近年命题导向研究.doc

数学学科上海高考近年命题导向研究

一、2009-2012年数学各章节高考题分布（以理科为例）：
年份
章节
2009
2010
2011
2012
填空选择
解答
填空选择
解答
填空选择
解答
填空选择
解答
集命不
2

1

2,4,5

2

函数
11,14
20,22
8,17
22
1,13,16
20
7,9,13
20,21
三角
6

15,18
19
6,8

3,18

数列
12
23
10,11
20
14,18
22
6
23
解几
9,13，18
21
3,5,13
23
3
23
4,16
22
立几
5,8
19
12
21
7
21
8,14
19
排二概
无

14

12

5,11

向量
无

无

11,17

12

复数
1,15

2

无
19
1,15

统计
17

无

无

无

矩行算
3,4

4,7

10

无

分岔
7,10,16

6,9,16

5,9

10,17

二、近年数学高考各章节命题热点：
（一） 集合、命题、不等式
1. 集合的运算（11（理）2，12（文，理）2）
[例]（2011（理）2.）2. 若全集，集合，则 .
2. 根据集合运算结果求参数的值或范围（08（理）2,09（理）2,10（文）1）
[例1.]（2010（文）1.）已知集合，，则 。
[例2.]（2009（理）2.）已知集合，，且，
则实数a的取值范围是______________________ .
3. 解不等式多考解分式分等式（10（理）1,11（理）4,11（文）6）
[例]（2011（理）4.）不等式的解为 .
4. 不等式的性质，基本不等式常在选择中通过判断是否恒等考核（07（理）13,11（理）15）
[例1.]（2007（理）13.）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A、 B、 C、 D、
[例2.]（2011（理）15.） 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
（二） 函数
1.求定义域为春考热点，秋考中多年未曾直接考
2.求代数值域秋考中近10年从不在填空中直接考核，而是在求反函数中，考函数思想中，压轴题中间接考核，而求三角函数值域是近年高考在填空中的热点问题
3.求反函数是近年秋考的热点问题（07（理）3,08（文）4,09（文）1,11（理）1），而反函数图象与原函数图象的关系今年也频频考核（11（文）3,10（文）9,10（理）8）
[例1.]（2011（理）1．）函数的反函数为 .
[例2.]（2011（文）3.）若函数的反函数为，则
[例3.]（2010（理）8．）对于不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标为_______________．
4.春、秋考中考函数性质以考奇偶性为多，基本以其定义为突破口，不考复杂的恒等变形
（08（春）15,11（理）16,10（春）2,08（文）9）
[例1.]（2007（春）5．）设函数是奇函数．若，则 ．
[例2.]（2011（理）16.）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
5.函数图像的对称性，图像形状的识别是近年春考选择题的热点（11（春）16,10（春）18,07（春）14,09（春）15），秋考不曾涉及。
6.解指数方程是近年春、秋考的热点（07（文）1,07（理）4,12（春）6,12（文）6）
[例]（2012（文）6.）方程的解是 .
7. 数形结合是秋考的热点问题（08（理）8,09（理）11，12（理）17）
[例1.]（2012（理）7.）已知函数，为常数. 若在区间，上是增函数，则的取值范围是 .
[例2.]（2009（理）11.）当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.
8. 近年秋考考函数的填空压轴题考空间想象力为多（11（理）13,08（理）11,09（理）14）
[例1.]（2011（理）13. ）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 .
[例2.]（2009（理）14.）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9. 近年考函数的解答题在基础题位置出现多为考函数思想，函数奇偶性、单调性的证明及应用，以及函数背景的应用题（07（理）19,08（理）19, 09（理）20,11（理）20，12（理）20, 12（理）21），在压轴题位置出现多为学习型题（09（理）22,10（理）22），与模考中传统的考函数的压轴题考核证明单调性，考函数思想差别较大
[例1.]（2008(理) 19．）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.
已知函数。
(1) 若，求的值；
(2) 若+≥0对于恒成立，求实数的取值范围。
[例2.]（2009（理）20.）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
[例3.]（2009（理）22.）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。
（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

（三） 三角
1. 判断角的集合的包含关系是近年高考选择的热点（10（理）15,11（文）17）
[例]（2011（文）17.）若三角方程与的解集分别为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.判断三角形的形状是近年高考选择的热点（10（文，理）18,12（文）17）
[例1]（2012（文）17.）在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
[例2]（2010（理）18．）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将 （ ）
A．不能作出满足要求的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
3. 求三角函数最值是填空的热点（08（理）6,09（理）6,11（理）8,11（文）4,12（理）3）
[例]（2009（理）6．）函数的最小值是_____________________ .
4.三角背景的解答题多在基础题出现，解斜三角形是热点问题（07（理）17,09（文）20,08（理）17）
[例1]（2010（理）19．）（本题满分12分）
已知，化简：
[例2]（2009（文）20．）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，
（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积
[例3]（2008（理）18.）（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分.
已知函数，,直线与函数的图像分别交于M、N两点。
(1) 当 时，求值；
(2) 求在时的最大值.

（四） 数列
1. 数列问题在模考中传统考核的与的关系高考中近年除10（理）20外从未考过
2. 求数列在几何背景的极限是近年秋考填空的热点（03（理）11,10（理）11，11（理）14）
[例1]（2010（理）11．）将直线l1：nx+y-n=0、l2：x+ny-n=0(nÎN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则=_______________．
[例2]（2011（理）14.）已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足.依次下去，得到，则 .
3. 无穷等比数列各项和是近年秋考填空选择的热点（08（理）14,12（理）6）
[例]（2012（理）6.）有一列正方体，其棱长组成以为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，，，，，则 .
4. 数列问题近年常在填空中通过整体求和考对称性(09（理）12，10(理）10，11（春）14)
[例1]（2009（理）12．）已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=____________时，.
[例2]（2010（理）10．）在n行n列矩阵中，记位于第i行第j列的数为aij(i,j=1,2,···,n)．当n=9时，a11+a22+a33+···+a99=_______________．
5. 数列的解答题除10年，近年秋考中为压轴题，多为面目新颖的学习型题，注重归纳、求值域、分类讨论、等式恒成立等代数基本方法的考核，知识起点很低，思维要求较高，考察数学素养（07（理）20,08（文、理）21,09（理）23,11（理）22,12（理）23）
[例1]（2008（理）21．）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。
已知为首项的数列满足: .
(1)当时，求数列的通项公式；
（2）当时，试用表示数列前100项的和；
（3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列，
，，成等比数列当且仅当。

[例2.]（2011（理）22.）（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）写出；
（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式.
[例3.]（2009（理）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
（1） 若，是否存在，有说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

（五） 解析几何
1. 直线与曲线的基本量计算常考（11（文）5,07（理）2，09（文）15,08（文）6， 11（理）3），其中直线的位置关系是热点问题
[例1]（2007（理）2.）已知与，若两直线平行，则的值为
[例2]（2008（文）6．）若直线经过抛物线的焦点，则实数　　　　　．
2. 图形运动的空间想象常在填空选择中作为压轴题考（07（文）11,07（理）11,08（理）15,09（理）18）
[例1]（2007（文）

11．）如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积的取值范围是 ．
[例2]（2009（理）18.）过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
3. 解析几何中的距离常与函数的最值相联系（08（文）11,08（春）12,09（文）22)
[例]（2011（文）22.）（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为
（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；
（2）若，求的最大值与最小值；
（3）若的最小值为，求实数的取值范围.
4.解析几何的解答题近年秋考多为后三题，字母运算、基本量控制、学习型题、图形想象都有涉及
[例1]（2009（理）21．）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线设过点的直线l的方向向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。
[例2]（2012（理）22.）在平面直角坐标系中，已知双曲线.
①过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
②设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；③设椭圆，若、分别是、上的动点，且，
求证：到直线的距离为定值.
[例3]（2011（理）23.）（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）
已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分.
①.
②.
③.
（六） 立体几何
1. 立体几何位置关系的判定是2001年至2004年秋考选择题年年必考的，近年只在春考中出现
2. 立体几何问题近年高考填空中常在第5题至第9题考1至2题，秋考中以考立几基本度量问题（09（理）5,10（文）6），公式简单变形（09（理）8,11（理）7）等为多；春考中则以考折叠、拼接、不规则几何体度量等较为复杂的问题为多（11（春）13,10（春）13,07（春）8）
[例1]（2010（文）6.）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。
[例2]（2009（理）8.）已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3. 立体几何的解答题前几年多出现在前两题，多为用几何法立几度量，近年有向第3题后移的趋势，考一些应用类问题和较为复杂的立几度量
A
B
C
P
D
E
[例1]（2012（理）19.）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点. 已知，，.
①求的面积；
②求异面直线与所成的角的大小.
[例2]（2010（理）21．）（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
(1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
4.高考中的立几问题多以几何法首选

（七） 排列组合、二项式定理、概率
高考中的排列组合问题多为在第10题左右考一题填空，秋考中考基本问题识别较少，借助分类、枚举解决代数、几何背景的原创计数问题为多（07（理）7,08（理）7,10（理）14），二项式定理极少考。
[例1]（2008（理）7．）在平面直角坐标系中，从六个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）.
[例2]（2007（理）7.）有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为
[例3]（2010（理）14．）从集合的子集中选出4个不同的子集，
需同时满足以下两个条件：
(1) 都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有或．
那么，共有___________种不同的选择．

（八） 向量与复数
1. 向量问题在填空选择中出现为多，近年有向填空选择压轴题后移的趋势，热点为几何背景的问题
[例1]（2011（理）11.）在正三角行ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，则 .
[例2]（2011（理）17. ）设是平面上给定的5个不同点，则使成立的点的个数为（ ）
（A）. （B）1. （C）5. （D）10.
2.复数问题在填空选择基础题位置出现为多，除法运算（08（理）3,09（理）1,12（理）1）和实系数一元二次方程根的情况（07（文，理）12,09（理）15,12（理）15）是2个热点问题
[例1]（2008（理）3．）若复数满足 (是虚数单位)，则= .
[例2]（2012（理）15.）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
3. 复数的解答题多为第1题，设z=a+bi是通用策略
[例]（2011（理）19．）（本大题满分12分）
已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，求．
（九） 统计
统计问题近年文科卷常考，分层抽样法是热点问题；理科卷基本不考
[例]（2011（文）10.）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，丙组中应抽的城市数为

（十） 矩阵、行列式、算法
1. 行列式常作为填空中求值、解不等式的“外壳”出现，考二阶、三阶行列式展开
[例]（2009（理）3.）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ . W.w.w.k.s.
2. 算法问题是2009年以来填空中的热点问题
[例]（2010（理）7．）2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个开始
T←9,S←0
输出T,S
T≤19
T←T+1
输入a
结束
否
是
小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．

（十一） 文理分岔
文理分岔内容一般每年在填空选择中考2-3题，数学期望是理科的热点问题

三、 近年数学高考试卷整体特征：
2009年以来，上海高考数学在命题思路上完成了一个大的变革。从知识立意转向能力立意，淡化知识结构的完整性与系统性，强调数学创新能力和解决实际问题的思维能力。其特征如下：
起点从低：从最基本的定义，最原始的性质作为切入点，基本不涉及生僻知识和复杂引申。
坡度从大：前后考题、前后问项难易跨度较大，避免在较前位置、第1问给过多学生造成入题障碍，但较后位置，第2,3问能充分区分学生的能力层次。
问题从实：几乎每年都有一道应用类解答题，涉及函数、不等式、立体几何、三角等多个背景，是学生能在实际背景下把数学问题抽象出来。
方法从源：近年高考中所考查的方法都是解决高中数学问题最原始的方法。如求值列方程、有参数要分类、数列先归纳、比大小作差、计数枚举、立几平面化、求最值建函数、多个变量统一变量或整体抵消等。避免了记忆情境的思维定式，不涉及复杂的、无意义的偏法，考察数学素养。
视角从新：学习型题是上海高考数学近年压轴题的热点题型，考验学生的迁移能力，即在一个全新的视角中用学过的知识解决问题。我们可以在判定、证明、求解的典型问项设置中整体把握问题，识别其问项递进、分岔、连环的关系，选择解题策略。

本人分章节研究了2007-2012年春考卷、秋考文科卷、秋考理科卷共18套上海高考真题，并结合2001-2006年上海高考的命题特点，总结了上海高考的命题导向，并以上述5个自创视角归纳上海高考近年的整体特征。由于本人能力有限，资质尚浅，若研究成果有不周之处，还望谅解。本人诚惶诚恐，望本人之愚见能给明年乃至今后多年的上海高考考生在数学学科的复习上提供帮助和参考。

上海市宜川中学2012届毕业生 王志超
2012年8月8日