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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,平面问题有限单元解法,第1页,12/5/2024,有限单元法基本思想,有限单元法思想是将物体（连续求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起单元组合，来模拟或迫近原来物体，从而将一个,连续无限自由度,问题简化为离散,有限自由度问题,求解一个,数值分析法,。物体被离散后，经过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体分析。,有限单元法分析步骤以下：,物体离散化,单元特征分析,单元组集，整体分析,求解未知节点位移,由节点位移求解各单元位移和应力,第2页,12/5/2024,有限元单元模型中几个主要概念,单元,网格划分中每一个小块体,节点,确定单元形状、单元之间相互联结点,节点力,单元上节点处结构内力,载荷,作用在单元节点上外力,（集中力、分布力）,约束,限制一些节点一些自由度,弹性模量,（杨式模量）E,泊松比,（横向变形系数）,密度,单元,单元,载荷,节点,节点力,约束,第3页,12/5/2024,1.研究内容,内容：,弹性体在外力或温度作用下应力、变形、位移等分布规律。,任务：,处理弹性体强度、刚度、稳定性问题。,弹性力学内容及基本假定,2.研究对象,普通弹性实体结构：,三维弹性固体、板状结构、杆件等,第4页,12/5/2024,弹性力学内容及基本假定,3.研究方法,由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析,4.数学理论基础,偏微分方程（高阶，二、三个变量）,数值解法,：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。,第5页,12/5/2024,弹性力学内容及基本假定,5.基本假定,（1）.连续性假定,整个物体体积都被组成物体介质充满，不留下任何空隙。,作用：,使得,、,、,u,等量表示成坐标连续函数。,第6页,12/5/2024,弹性力学内容及基本假定,（2）.完全弹性假定,假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性百分比关系。,脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性；,塑性材料 百分比阶段，可视为线弹性。,（3）.均匀性假定,假定整个物体是由同一个材料组成，各部分材料性质相同。,作用：,弹性常数（,E,、,）等不随位置坐标而改变；,取微元体分析结果可应用于整个物体。,第7页,12/5/2024,弹性力学内容及基本假定,（4）.各向同性假定,（5）.小变形假定,假定物体内一点力学性质在全部各个方向都相同。,作用：,弹性常数（,E,、,）不随坐标方向而改变；,假定位移和形变是微小，即物体受力后物体内各点位移,远远小于物体原来尺寸。,作用：,建立方程时，可略去高阶微量；,可用变形前尺寸代替变形后尺寸。,使求解方程,线性化,。,第8页,12/5/2024,基本概念：,外力、应力、形变、位移。,1.外力：,体力、面力,(1)体力,分布在物体,体积,内力,体力分布集度,（矢量）,x,y,z,O,单位：,N/m,3,kN/m,3,说明：,f,是坐标连续分布函数,；,弹性力学中几个基本概念,p,第9页,12/5/2024,(2)面力,分布在物体表面力,面力分布集度（矢量）,x,y,z,O,单位：,1N/m,2,=1Pa(帕),1MN/m,2,=10,6,Pa=1MPa(兆帕),说明：,弹性力学中几个基本概念,是坐标连续分布函数,；,p,第10页,12/5/2024,2.应力,(1)一点应力概念,A,F,内力,(1)物体内部分子或原子间相互作用力;,(2)因为外力作用引发相互作用力.,(不考虑),P,截面上,P,点应力,应力矢量.,极限方向,应力分量,n,(法线),应力法向分量,正应力,应力切向分量,切应力,单位:,MPa(兆帕),应力关于坐标连续分布,弹性力学中几个基本概念,第11页,12/5/2024,(2)一点应力状态,经过一点,P,各个面上应力情况集合,称为一点应力状态,x,面应力：,y,面应力：,z面应力：,弹性力学中几个基本概念,第12页,12/5/2024,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,切应力互等定理,应力,正负号,要求：,正应力 拉为正，压为负。,切应力 坐标,正面,上，与坐标正向一致时为正；,坐标,负面,上，与坐标正向相反时为正。,x,y,z,O,弹性力学中几个基本概念,第13页,12/5/2024,3.形变,形变 物体形状改变,x,y,z,O,（1）线段长度改变,（2）两线段间夹角改变。,P,B,C,A,用正应变,度量,切应变,度量,（切应变两垂直线段夹角,（直角）,改变量）,三个方向正应变：,三个平面内切应变：,(1)一点形变度量,应变正负：,正应变,：,伸长时为正，缩短时为负；,切应变,：,以直角变小时为正，变大时为负；,弹性力学中几个基本概念,第14页,12/5/2024,(2)一点应变状态,其中,应变无量纲；,4.位移,注：,一点位移,矢量,S,应变分量均为位置坐标函数,x,y,z,O,S,w,u,v,P,位移分量：,u,x,方向位移 分量；,v,y,方向位移 分量；,w,z,方向位移 分量。,量纲：,m 或 mm,弹性力学中几个基本概念,第15页,12/5/2024,工程力学问题建立,力学模型,过程中，普通从三方面进行简化：,结构简化,如空间问题向平面问题简化，向轴对称问题简化，实体结构向板、壳结构简化。,受力简化,如：依据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。,材料简化,依据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。,第16页,12/5/2024,平面问题基本理论,任何一个实际弹性力学问题都是空间问题，不过假如所考查弹性体含有某种,特殊形状，,而且承受是一些,特殊外力和约束,，就能够把空间问题简化为近似,平面问题,。,两种经典平面问题,平面应力问题,平面应变问题,第17页,12/5/2024,平面应力问题,(1)几何特征,x,y,y,z,t,b,a,一个方向尺寸比另两个方向尺寸小得多。,平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁腹板等,(2)受力特征,外力,（体力、面力）和,约束,，仅,平行于板面作用,，沿,z,方向不改变。,第18页,12/5/2024,x,y,y,z,t,b,a,(3)应力特征,如图选取坐标系，以板中面为,xy,平面，垂直于中面任一直线为,z,轴。,因为板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿,z,轴方向不变。,可认为,整个薄板各点,都有：,由切应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,x,y,应变分量、位移分量也仅为,x,、,y,函数，与,z,无关。,第19页,12/5/2024,平面应变问题,(1)几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向尺寸比另两个方向尺寸,大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不改变。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力,（体力、面力）,平行于横截面,作用，且,沿长度,z,方向不改变,。,约束 沿长度,z,方向不改变,。,(3)变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为,xy,面，任一纵线为,z,轴。,设,z,方向为无限长，则,沿,z,方向都不改变，,仅为,x，y,函数。,任一横截面均可视为对称面,第20页,12/5/2024,水坝,任一横截面均可视为对称面，则有,全部各点位移矢量都平行于,x y,平面。,平面位移问题,平面应变问题,注：,平面应变问题中,不过，,第21页,12/5/2024,如图所表示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,第22页,12/5/2024,三大基本方程,依据,静力学,、,几何学,和,物理学,三方面条件，建立三套方程。,平面问题中，依据微分体平衡条件，建立,平衡微分方程,：,(1-1),依据微分线段上形变与位移之间几何关系，建立,几何方程,：,(1-2),依据应力与形变之间物理关系，建立,物理方程,：,(1-3),(1-3),第23页,12/5/2024,平衡微分方程,从弹性体中取出一个微分体，依据平衡条件导出应力分量与体力分量之间关系式，也就是平面问题,平衡微分方程,。,从弹性体中取出一个微小正平行六面体，它在,x,和,y,方向尺寸分别为,d,x,和d,y,，在,z,方向尺寸为一个单位长度。,以,x,为投影轴，列出投影平衡方程：,约简以后，两边除以,dxdy,，得：,同理，以,y,为投影轴，列出投影平衡方程，化简得,：,第24页,12/5/2024,几何方程,经过弹性体内任意一点,P,，沿,x,轴和,y,轴正方向取两个微小长度线段,PAdx,和,PBdy,。假定弹性体受力后，,P,A,B,三点分别移动到,P,A,B.,线段,PA,正应变是：,注:因为位移微小，,y,方向位移,v,引发,PA,伸缩，是高一阶微量，略去不计。,线段,PB,正应变是：,线段,PA与,PB,之间直角改变，即切应变,线段,PA,转角是,：,线段,PB,转角是：,第25页,12/5/2024,物理方程,在理想弹性体中，形变分量和应力分量之间关系，在材料力学依据胡克定律导出以下：,在平面应力问题中，,式变为：,在平面应变问题中，,只要将上式中,E,换为 ，,换为 就得到平面应变问题物理方程。,第26页,12/5/2024,假定已知任一点,P,处坐标面上应力分量,x,，,y,，,x y,=,y x,。求经过该点，平行于,z,轴而倾斜于,x,轴和,y,轴任何倾斜面上应力。,在,P,点附近取一个平面,AB,，它平行于上述斜面，并经过,P,点划出一个微小三棱柱,PAB,。当,AB,无限小而趋于,P,点时，平面,AB,上应力就成为斜面上应力。,平面问题中一点应力状态,设斜面,AB,长度为,d,s,，则,PB,面及,PA,面长度分别为,l,d,s,及,m,d,s,，而,PAB,面积为,l,d,sm,d,s/2,，棱柱厚度设为1。,由,x,轴平衡条件，得：,其中，,f,x,为体力分量。将上式除以d,s,，并令d,s,趋于0（斜面,AB,趋于,P,点），,即得：,由,y,轴平衡条件，得：,用,n,表示斜面,AB,外法线方向，其方向余弦为：,第27页,12/5/2024,边界条件,若在,s,u,部分,边界上给定了约束位移分量 和 ，则对于此边界上每一点，位移函数,u,和,v,应满足条件：,其中,（,u,）,s,和,（,v,）,s,是位移边界值，和 在边界上是坐标已知函数。,边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间关系式。它能够分为,位移边界条件,、,应力边界条件,和,混合边界条件,。,位移边界条件,：,应力边界条件,：,若在,s,u,部分,边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题应力(或面力）边界条件为：,其中，,l,m,是边界面外法线方向余弦。,第28页,12/5/2024,圣维南原理,在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内,三套基本方程,，还必须满足边界上,边界条件,。不过，要使边界条件得到完全满足，往往碰到很大困难。,圣维南原理,可为简化局部边界上应力边界条件提供很大方便。,圣维南原理,表明，假如把物体一小部分边界上面力，变换为分布不一样但,静力等效,面力（,主矢相同，对同一点主矩也相同,），那么，近处应力分布将有显著改变，不过远处所受影响能够不计。,第29页,12/5/2024,圣维南原理应用,例，设有柱形构件，在两端截面形心受到大小相等而方向相反拉力,F,（,a,）,。假如把一端或两端拉力变换为静力等效力，则只有虚线划出部分应力分布有显著改变，而其余部分所受影响是能够不计。,因为（,d,）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力轻易求得。其它三种情况，应力难以求得。把,d,情况下应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端应力边界条件，但依然能够表明离杆端较远处应力状态，没有显著误差。,图,e,，构件右端有位移边界条件，,d,情况解答，不能满足位移边界条件，但,e,图右端面力，一定是合成为经过截面形心力,F,。所以把图,d,情况解答应用于图,e,时，依然只是在靠近两端处有显著误差，而在离两端较远之处，误差能够不计。,第30页,12/5/2024,圣维南原理应用,例，厚度,=1,梁中，左右两端,x=,l,，边界面是正、负,x,面，其上作用有普通分布面力,。按照严格应力边界条件，应力分量在边界上满足：,上式要求在边界上,y,值不一样各点，应力分量与对应面力分量必须处处相等，这种严格条件是较难满足。,当,lh,时，,x=,l,是梁边界一小部分，能够应用,圣维南原理，利用静力等效条件来代替，即，使,应力主矢量,和,主矩,分别等于,对应,面力主矢量,和,主矩,。,第31页,12/5/2024,圣维南原理应用,应力主矢量和主矩绝对值分别等于面力主矢量和主矩绝对值；,面力主矢量和主矩方向就是应力主矢量和主矩方向。,第32页,12/5/2024,按位移法求解平面问题,以上几节已经建立了弹性力学平面问题 基本方程和边界条件，即：,平衡微分方程、几何方程,和,物理方程,，以及,位移边界条件,和,应力边界条件,。,求解弹性力学平面问题即求解,3个应力分量,、,3个形变分量,及,2个位移分量,未知函数。通常采取类似于代数方程中消元法进行求解。,按位移求解方法，称为,位移法,。它以位移分量为基本未知函数。,按应力争解方法，称为,应力法,。它以应力分量为基本未知函数。,第33页,12/5/2024,按位移法求解平面问题,平面问题中，取位移分量,u,和,v,为基本未知函数。,从方程中消去形变分量和应力分量：,将几何方程代入上式,利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示平衡微分方程：,第34页,12/5/2024,按位移法求解平面问题,利用应力边界条件,得到用位移表示应力边界条件,其中：,位移边界条件如（1-4）不变,按位移法求解平面应力问题时，要使位移分量在区域内满足平衡微分方程，在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。,第35页,12/5/2024,按位移法求解平面问题（例题）,设有如图所表示杆件，在,y,方向上端为固定，而下端为自由，受自重体力,f,x,0，,f,y,g,作用。试用位移法求解此问题。,解：将这个问题简化为一维问题处理。,设,u=,0,v=v(y),，泊松比0。代入位移表示平衡微分方程，得：,第一式自然满足，第二式成为：,解出：,第36页,12/5/2024,按位移法求解平面问题（例题）,设有左图所表示杆件，在,y,方向上端为固定，而下端为自由，受自重体力,f,x,0，,f,y,g,作用。试用位移法求解此问题。,解出：,上下边边界条件分别要求：,将（a）式代入（b）式得：,B0,，,再代入（c）式，即得：,得到解答：,第37页,12/5/2024,有限元单元法分析步骤（一）,结构离散化,将结构分成有限个小单元体，单元与单元、单元与边界之间经过节点连接。结构离散化是有限元法分析第一步，关系到计算精度和效率，包含以下三个方面：,单元类型选择,。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。,单元划分,。网格划分越细，节点越多，计算结果越准确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提升就不显著，对应应力改变平缓区域无须要细分网格。,节点编码,。,注意：,有限元分析结构,已不是,原有物体或结构物,，而是由一样材料、众多单元以一定方式连接成离散物体。用有限元分析计算所取得结果是近似（满足工程要求即可）。,平面问题有限单元法基本概念,第38页,12/5/2024,有限元单元法分析步骤（二）,单元特征分析,选择未知量模式,选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；,选节点力作为基本未知量时，称为力法；,取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混正当。,分析单元力学性质,依据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移方程式，从而导出单元刚度矩阵。,计算等效节点力,作用在单元边界上表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替换全部作用在单元上力。,第39页,12/5/2024,有限元单元法分析步骤（三）,整体分析,集成整体节点载荷矢量,F,。结构离散化后，单元之间经过节点传递力，作用在单元边界上表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将全部节点载荷按照整体节点编码次序组集成整体节点载荷矢量。,组成整体刚度矩阵,K,，得到总体平衡方程：,引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。,经过上述分析能够看出有限单元法基本思想是“,一分一合,”，分是为了进行单元分析，合是为了对整体结构进行综合分析。,第40页,12/5/2024,有限单元法中基本量矩阵表示,有限单元法,(FEM),中，为了简练清楚地表示各个基本量以及它们之间关系，也为了便于编制程序利用计算机进行计算，广泛采取矩阵表示和矩阵运算。,平面问题中,，物体受体力，可用,体力列阵,表示：,(1),物体受面力，可用,面力列阵,表示：,(2),3个应力分量,应力列阵,表示：,(3),3个形变分量,应变列阵,表示：,(4),2个位移分量,位移列阵,表示：,(5),第41页,12/5/2024,弹性力学中基本方程矩阵表示,几何方程,矩阵表示为：,(6),物理方程,矩阵表示为：,(7),利用应力列阵和应变列阵（3）、（4）得：,(8),其中矩阵,(9),只与弹性常数,E,及,相关，称为,平面问题弹性矩阵,。,第42页,12/5/2024,虚位移原理,用,u*,和,v*,表示虚位移，用 表示与该虚位移对应虚应变。,依据,虚功方程,：处于平衡状态变形体，,外力,在,虚位移,上所做,虚功,等于,应力,在,虚应变,上所做,虚功,。,对于厚度为,t,薄板，虚功方程可用矩阵表示为：,其中，分别为,体力列阵,，,面力列阵,和,应力列阵,。,为,虚位移列阵,有限单元法中，作用于弹性体各种外力常以作用于一些点等效集中力来代替。在厚度为,t,薄板上，设作用于,i,点集中力沿,x,及,y,方向分量为,F,ix,F,iy,作用于,j,点力为,F,jx,F,jy,等。这些集中力以及它们对应虚位移用列阵表示为：,为,虚应变列阵,第43页,12/5/2024,虚位移原理(续),代入虚功方程，得：,上式为,集中力作用下虚功方程,。,集中力列阵,（13）,虚位移列阵,（14）,外力在虚位移上所做功为：,第44页,12/5/2024,（1）取三角形单元节点位移为基本未知量：,(a),其中，,称为单元,节点位移列阵,；,（2）应用插值公式，由,单元节点位移,求出单元,位移函数,：,(b),其中，,N,称为,形函数矩阵,；,（3）应用几何方程，由,单元节点位移,求出,单元应变,：,(c),其中，,B,是表示 与 之间关系矩阵；,三角形单元离散化结构分析步骤,第45页,12/5/2024,(f),其中，,F,e,是单元节点力，,k,称为,单元劲度列阵,；,对三角形板单元，节点力为：,(e),（5）应用,虚功方程,，导出单元节点力与,节点位移之间关系。对右图中,i,节点：,节点对单元作用力为节点力，作用于单元上。,三角形单元离散化结构分析步骤(续）,（4）应用,物理方程,，由单元节点位移,求出单元应力：,(d),其中，,S,称为,应力转换矩阵,；,F,e,是作用于单元外力，另外，单元内部还作用有应力。依据虚功方程，从而得到节点力公式：,第46页,12/5/2024,（7）,列出各节点平衡方程，组成整个结构平衡方程组。因为节点,i,受有围绕节点单元移置而来节点载荷 和节点力 因而,i,节点平衡方程为：,（i=1,2,n）,(h),三角形单元离散化结构分析步骤(续）,（6）应用虚功方程，将单元中外力载荷向节点移置，化为,节点载荷,（即求出单元节点载荷）：,(g),将（f）代入（h），整理得：（j),其中，,K,称为,整体刚度矩阵,，,F,L,是,整体节点载荷列阵,，,是,整体节点位移列阵,。,在上述求解步骤中，（2）至（6）是针对每个单元进行，称为,单元分析,；,（7）是针对整个结构进行称为,整体分析,。,第47页,12/5/2024,对三角形,i,j,m,三个节点，位移函数应该等于该节点位移值，即：,三角形单元位移模式,对每个单元，只要求得单元中位移函数，就能够应用,几何方程,求得应变，再应用,物理方程,求得应力。有限单元法中常取节点位移为基本未知量，由,单元节点位移,求出,单元中位移函数,是首先必须处理问题。,能够假定一个位移模式，来表示单元中位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元中，能够假定位移分量只是坐标线性函数，即假定：,6个方程解出,1-6,，代入,u，v,式整理得：,其中：,第48页,12/5/2024,三角形单元位移模式,N,i,也能够写成为：,其中系数,a,i,b,i,c,i,是：,其中,A,就等于三角形,ijm,面积：,按照解析几何学，在图示坐标系中，为了得出面积,A,不致成为负值，节点,i，j，m,次序必须是逆时针转向。,N,i,，N,j,，N,m,这三个函数，表明了单元,ijm,位移,形态（也就是位移在单元内改变规律），因而称为,形态函数,，简称,形函数,。,第49页,12/5/2024,三角形单元位移模式,位移模式表示式可用矩阵表示为：,简写为：,其中,是单元,节点位移列阵,。,是,形态函数矩阵,或,形函数矩阵,。,有限单元法中，,应力转换矩阵,和,劲度矩阵,建立以及,载荷移置,等，都,依赖于,位移模式,。,第50页,12/5/2024,简写为：,其中,应变转换矩阵,B,可写成份块形式：,其子矩阵为：,单元应变列阵和应力列阵,利用几何方程和物理方程，求出单元中应变和应力，用节点位移表示：,将位移函数(16)和(18)代入几何方程(6)，得出用节点位移表示单元应变。,第51页,12/5/2024,将D表示式(9)和B表示式(27)代入上式，并写成份块形式，即得到平面应力问题中,应力转换矩阵,：,单元应力列阵（续）,再将单元应变式(26)代入物理方程(8)，得出用节点位移表示单元中应力表示式。,其中子矩阵为：,简写为：,其中，,第52页,12/5/2024,由式(26)引发虚应变为：,因为,节点力在虚位移上虚功,应该,等于,应力在虚应变上虚功,，即：,单元结点列阵与劲度矩阵,对于任一单元，均假设所受外力载荷已经被移置到节点上，而且单元已经切开，如右图所表示：,单元只受到结点对单元作用力，即结点力：,假想在结点,i,j,m,处发生了虚位移，即：,对单元而言，这些节点力是外力，使单元内部产生应力。,第53页,12/5/2024,从而建立了,单元节点力,和,节点位移,之间关系。对于三角形单元，,B,中元素为常量。,而且 ，所以，,k,可简写为：,k,称为单元,劲度矩阵,。,单元结点列阵与劲度矩阵（续）,因为 中元素是常量，而且虚位移值能够是任意：,则,将B和D表示式代入上式，得：,令,则式能够简写为,第54页,12/5/2024,载荷向节点移置，单元载荷列阵,设单元,ijm,在坐标为,（,x，y,）,任意一点,M,，在单位厚度上,受有集中载荷,f,P,，其坐标方向分量为,f,Px,和,f,Py,，用矩阵表示为,f,P,=,（,f,Px,f,Py,）,T,，将此集中力移置到单元节点处，转换为节点载荷，而且,单元节点载荷列阵,表示为：,假想单元各点发生了虚位移,：,由位移模式，对应于集中力,f,P,作用点（,x,y,）虚位移为：,集中载荷,移置,第55页,12/5/2024,载荷向节点移置，单元载荷列阵（续）,因为虚位移能够是任意，所以：,把,N,表示式（25）代入上式，上式改写为：,其中，,N,i,N,j,N,m,，为它们在,M,点函数值,：,依据静力等效标准，,节点载荷在节点,虚位移上虚功等于原载荷集中力在其作用点虚位移上虚功,，即：,第56页,12/5/2024,载荷向节点移置，单元载荷列阵（续）,例，设单元,ijm,密度为,，试求自重等效节点载荷。,分析：因为,fx=0,，,fy,=-,g,，故由式（43）得：,由设上述,单元受有分布体力,f=,（,fx,fy,）,T,，可将微分体积,tdxdy,上体力,ftdxdy,看成集中力，利用（40）式积分，得到：,体力,移置,注意单元自重为,-,gtA,，可见移置到每个结点载荷均为1/3自重。,第57页,12/5/2024,载荷向节点移置，单元载荷列阵（续）,设上述单元某一边上受有,分布面力,，可将微分面积,tds,上面力 看成集中载荷，利用（40）式积分，得到：,面力,移置,例，设在,ij,边上受有沿,x,方向均布面力,q,，试求等效节点载荷。,分析：因为,，故由式（45）得：,第58页,12/5/2024,注意：,式(46)和(48）中编码,i,j,m,仅是每个单元局部编码，对于整个结构，则将节点平衡方程按整体结点编码,1，2，n,排列起来，就组成整个结构节点平衡方程组：,整体结构分析 节点平衡方程组,所以，节点,i,平衡方程是,：,以上几节分析都是针对单元进行，即将单元上外力载荷都向节点移置而成为节点载荷；另首先求出节点载荷与单元之间相互作用力，如图所表示。结点对单元作用力是节点力，相反，单元对节点作用力。于是，作用于节点,i,上力，有节点载荷,F,Li,，和单元对节点作用力。即：,其中，是对围绕节点,i,单元求和，写成标量形式：,第59页,12/5/2024,由整体平衡方程组，解出节点位移，便可由式(23)和(30)求出,每个单元位移函数,、,应力,和,应变,。,整体结构分析 节点平衡方程组,其中，,整体节点位移列阵,：,整体节点载荷列阵,：,K,是整体刚度矩阵,，其元素是：,整个结构节点平衡方程组,即整体劲度矩阵元素,Krs,就是按整体节点编码、同下标,rs,单元劲度矩阵元素,叠加而得到。,第60页,12/5/2024,平面有限元解法（例）,设有对角受压正方形薄板（如上图所表示），载荷沿厚度均匀分布，为2N/m。试对该结构进行分析，建立单元刚度矩阵、整体刚度矩阵和整体节点载荷列阵，建立整体节点方程组，经过编程求解出节点位移，并从而求出各单元应力。（为简单起见，取板厚度,t,=,1,弹性常数,E,=1,泊松比,0）,第61页,12/5/2024,平面有限元解法划分单元,因为平面薄板沿,xz,面和,yz,面均对称，所以只取1/4之一部分作为分析和计算对象。将对象划分成4个单元，共有6个节点，单元和节点上均编上号码，其中节点整体编码1至6，以及个单元节点局部编码,i,j,m,均示于上图中。,单元号,局部编码,整体编码,i,3,5,2,6,j,1,2,5,3,m,2,4,3,5,第62页,12/5/2024,平面有限元解法整体劲度矩阵,每个单元，节点局部编码和整体编码对应关系已经确定，每个单元劲度矩阵中任一子矩阵在整体劲度矩阵中位置及其力学意义也就明确了。如单元,k,ii,，即,k,33，,它四个元素表示当结构节点3沿x或y方向有单位位移时，在节点3x方向或y方向引发节点力。,暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构整体节点平衡方程组列出：,整体劲度矩阵写成66矩阵，它每个子块是22矩阵，实际它是一个1212矩阵。如,K,23，,它四个元素表示当结构节点3沿x或y方向有单位位移时，在节点2x方向或y方向引发节点力。,第63页,12/5/2024,平面有限元解法整体劲度矩阵续,因为节点3和节点2在结构中是经过和这两个单元相联络，因而,K,23,应是,单元,k,23,和单元,k,23,之和。同理，能够找到各单元劲度矩阵中全部子矩阵在整体劲度矩阵,K,中位置，得到整体劲度矩阵。,式中k上标1,2,3,4表示是哪一个单元劲度矩阵中子矩阵，空白处是22零矩阵。,第64页,12/5/2024,平面有限元解法整体劲度矩阵续,对于单元、，依据公式，可求得,A,=0.5m,2,，,将上式中各子块详细数值代入,整体刚度矩阵,K,表示式中，得出整体刚度矩阵。,对于单元，依据公式，可求得,A,=0.5m,2,，,把,0，,t,1m，代入单元劲度矩阵，得两种,单元劲度矩阵,k,都是：,(37),第65页,12/5/2024,平面有限元解法整体劲度矩阵续,整体刚度矩阵K,(38),第66页,12/5/2024,平面有限元解法位移边界条件,位移边界条件为：,(39),所以，整体结点位移列阵就简化为：,与这6个零位移分量对应6个平衡方程无须建立，所以，将整体刚度矩阵中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序号各行划去，因而整体劲度矩阵K简化为：,第67页,12/5/2024,平面有限元解法整体节点载荷列阵,确定了每个单元节点载荷列阵：,(38),依据各单元节点局部编码与整体编码关系，确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中位置。,因为该结构只是在节点1受有向下1N/m载荷，因而，非零元素子块，只有,在考虑了边界条件后，整体载荷列阵为：,第68页,12/5/2024,平面有限元解法求解整体节点载荷列阵,求解化简后整体刚度矩阵：,(39),求解以后，得节点位移：,第69页,12/5/2024,平面有限元解法求解应力转换矩阵,应用单元应力转换矩阵S，求出各单元中应力：,依据0，以及已求出A、b和c值，再由式(21)和(22)得出应力转换矩阵以下，对于单元,、,：,对于单元,第70页,12/5/2024,平面有限元解法求解各单元中应力（续）,应用单元应力转换矩阵S，求出各单元中应力：,Pa,单元,单元,Pa,第71页,12/5/2024,平面有限元解法求解各单元中应力,应用单元应力转换矩阵S，求出各单元,、,中应力：,Pa,单元,单元,Pa,第72页,12/5/2024,平面有限元解法计算机编程解题步骤,划分单元格，并按照一定规律将全部结点和单元格分别编上号码，需要注意单元编码和整体编码对应关系。,选定一个直角坐标系。按照计算程序要求，填写各种输入信 息有：每个结点坐标值，即,x,1,y,1,x,2,y,2,等；材料弹性常数值；各种载荷信息，即载荷点点号及载荷大小等；约束信息，即哪些结点哪个方向上位移为零或为某个已知值。将这些信息按照计算机程序要求格式输入。,计算程序中对输入各种信息进行加工、运算，普通都有以下几步：输入初始数据，形成整体刚度矩阵,K,；形成整体载荷列阵,F,L,；求解线性代数方程组，解得结构整体结点位移阵列,；计算各单元应力分量及主应力、主向；打印计算结果。,第73页,12/5/2024,平面有限元解法计算机程序界面,第74页,12/5/2024,平面有限元解法计算机程序计算结果,第75页,12/5/2024,通用有限元计算程序ANSYS计算结果,第76页,12/5/2024,通用有限元计算程序ANSYS计算结果,第77页,12/5/2024,THE END,第78页,12/5/2024,
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