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第 44 卷第 3 期2023 年 6 月喀什大学学报Journal of Kashi UniversityVol.44 No.3Jun.2023非线性分数阶m点边值问题正解的存在唯一性胡华书，古传运(四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000)摘要：运用广义凹算子的不动点定理和格林函数的相关性质，得到一类非线性分数阶微分方程m点边值问题正解的存在唯一性，并构造一个迭代序列去逼近这个正解.关键词：非线性分数阶；m点边值问题；存在唯一性；广义凹算子；格林函数中图分类号：O175.8文献标志码：A文章编号：2096-2134（2023）03-0022-040引言近些年来，分数阶微分方程的研究成果非常丰富.如Zhang S1主要采用Leray-Schauder理论，获得了分数阶微分方程边值问题正解的存在性与多解性；Hashim I和Abdulaziz O等2利用同伦分析方法解决线性和非线性分数阶初值问题，获得了其精确和近似解析解.非线性分数阶微分方程多点边值问题也被广泛研究，得到很多结果3-7.Wang和Xiang等8人探讨了耦合系统的分数阶微分方程的非零三点边值问题的存在性和唯一性.Ahamad和Nieto9利用一些不动点理论，考虑分数阶三点边值问题中函数无奇点的情形，得到正解的存在性和多解性.王和香等10运用Leary-Schauder 非线性抉择定理和锥上的不动点定理，研究了一类具有p-Laplacian 算子的m点边值问题，得到多重正解的存在性.Hussein A.H.Salem11探讨了非线性m点边值问题分数阶情形下pseudo解的存在性:D0+u(t)+q(t)f(t,x(t)=0,(n-1,n,n 2,x(0)=x(0)=x()n-1=0,x(1)=i=1m-2ix(i),其 中，012m-20,i=1m-2i-1i1;假设q是实值连续函数，f是非线性 Pettis 可积函数.上述文献大多研究的是多点边值问题的存在性，很少有考虑用广义凹算子的不动点理论来研究分数阶m点边值的存在性与唯一性.因此，受上述文献的启发，本文将在此基础上利用广义凹算子的不动点定理研究如下m点边值问题：D0+u(t)+f(t,u(t)=0,0 t 1;u(0)=0,u(1)=i=1m-2iu(i).（1）其 中，1 2,0 i 1(i=1,2,m-2);0 1 2 m-2 1,i=1m-2ii-1 0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为I0+f(t)=1()0t(t-s)-1f(s)ds，其中：等式右端在(0,)上有定义，()是Gamma函数.定义 212-13连续函数f:()0,+R的 0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为收稿日期：2022-12-16基金项目：四川文理学院科研启动基金资助项目“中立型微分方程及分数阶微分方程的研究”；数据恢复四川省重点实验室项目“具有广义内核的分数阶神经网络动力学分析及在图像增强中的应用”(DRN2101).作者简介：胡华书（1993-），女，四川雅安人，硕士，助教，主要从事微分方程与动力系统研究.通讯作者：古传运（1982-），男，河南周口人，博士，副教授，主要从事应用泛函分析与微分方程研究.DOI：10.13933/ki.2096-2134.2023.03.005第 3 期胡华书，古传运：非线性分数阶m点边值问题正解的存在唯一性D0+f(t)=1(n-)(ddt)n0tf(s)(t-s)-n+1ds，其中：n=+1，表示的整数部分；等式的右端在(0,)上是逐点定义的.引理114给定y C()0,1，且1 2,下列问题 D0+u(t)+y(t)=0,0 t 1,u(0)=0,u(1)=i=1m-2iu(i)（2）等价于u(t)=01G(t,s)y(s)ds，其中:G(t,s)是边值问题（2）的Green函数，且G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)；（3）t(1-s)-1-1t-1(1-s)-1-(t-s)-1(1-11-1)(1-11-1)(),0 s t 1,s 1,t(1-s)-1-(t-s)-1(1-1-11)(1-1-11)(),0 1 s t 1,t(1-s)-1-1t-1(1-s)-1(1-1-11)(),0 t s 1 1,t(1-s)-1(1-1-11)(),0 t s 1,1 s.（4）G2(t,s)=H(s)t-1,H(s)=M0i=2m-2Ki1-K1qi(s)+K1Ki1-K1pi(s)，其中Ki=i-1i,M0=1()(1-i=1m-2i-1i),qi(s)=01(1-s)-1ds-0i(1-si)-1I0 s ids,I0 s i=1,s 0,i,0,s 0,i.引理214边值问题（2）的格林函数G(t,s)有如下性质：（1）H(s)0;（2）Mt-1s(1-s)-1()(1-1-11)+H(s)G(t,s)t-1 H(s)+(1-s)-1()(1-1-11)(t,s0,1).其 中0 M=min 1-1-11,1-21(1-1)(-1),1-11 1.文中用到的Banach空间中的一些基本概念和不动点定理可参见文献11-19.设E是实Banach空间，Q为E中的非空闭凸子集，为E中的零元素，若Q满足x Q,0 x Q；x Q,-x Q x=.则称非空闭凸集Q E为E中的一个锥.由锥Q引出E中的偏序关系：（1）若x y E x y，等价于y-x Q;（2）若x y，且x y，则记x 0,使得对x,y E,xy，都有 x N y，其中，N叫做锥Q的正规常数，则锥Q称为正规的.若x y,就有Ax Ay(Ax Ay)，则称算子A:E E为递增的(递减的).对x,y E,定义关系:若 0,0,使得x y x,则称x y.显然，是一个等价关系.给定 ,记Q为所在的等价类:Q=x E|x,易知对 Q,有Q Q.上述有关锥的概念详细讨论可见文献17.引理317设E是实Banach空间，Q为E中的正规锥，.算子A:Q Q为递增的且满足A(tx)t(t)Ax,t(0,1),xQ(0(t)0,t 0,1，则边值问题（1）在Q中存在唯一的23喀什大学学报第 44 卷正 解u*,其 中(t)=t-1,t 0,1,对 任 意 的u0 Q,作迭代序列：un(t)=01G(t,s)f(s,un-1(s)ds(n=1,2,)，有un(t)u*(t)(n )，t 0,1).证明由引理1，问题（1）的解可以等价于一个算子方程的解:Au(t)=01G(t,s)f(s,u(s)ds,其中G(t,s)如式（3）所示.由于G(t,s)0(t,s 0,1),由 假 设 条 件(G1)知，Au(t)0(t 0,1),且A:Q Q是递增的.由假设条件(G2)可知，对 (0,1),有A(u)(t)=01G(t,s)f(s,u(s)ds()01G(t,s)f(s,u(s)ds=()Au(t)，所以A(u)()Au(u P,(0,1).令(t)=ln(t)lnt(t (0,1),则(t)(0,1),A(u)()Au(u P,(0,1).下证：A:Q Q.令r=minf(t,0):t 0,1,R=maxf(t,1):t 0,1,则有0 0,()01(1-s)-1M()ds+01H(s)ds R 0,即A Q,A:Q Q.所以引理3的条件满足，算子A在Q中存在唯一的正解u*,即Au*=u*.因此，边值问题（1）在Q中唯一的正解是u*,其中:(t)=t-1(t 0,1),且对任意的u0 Q,作迭代序列un(t)=01G(t,s)f(s,un-1(s)ds(n=1,2,),有un(t)u*(t)(n ，t 0,1).例1考虑边值问题:D320+u(t)+u13(t)+u12(t)+12t16=0,0 t 1;u(0)=0,u(1)=i=1212iu(1-1i)（5）证明边值问题（5）在Q中存在唯一的正解.证明在此例中，由于m=4,0 i=12i 1,i=1-1i(i=1,2),i=12ii12=24 0(t (0,1).满足假设条件(G2).则由定理1可知，边值问题（5）在Q中存在唯一的正解u.参考文献：1 Zhang S.The existence of a positive solution for nonlinearfractional differential equation J.J Math Anal Appl，2000，252:804-812.2 Hashim I，Abdulaziz O，Momani S.Homotopy analysismethod for fractional fIVPs J.Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2009，14（3）:647-84.3 Bai Z.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem J.Nonlinear Anal，2010，72:916-924.4 Salem H A H.On the fractional order m-point boundaryvalue problem in reflexive Banach spaces and weak topologies J.J Comput.Appl.Math，2009，224:565-572.5 Liang S，Zhang J.Existence of multiple positive solutionsfor m-point fractional boundary value problems on an infi24第 3 期胡华书，古传运：非线性分数阶m点边值问题正解的存在唯一性nite interval J.Math Comput Model，2011，54:1334-1346.6 Moustafa E-S Shammakh W M.Existence of positive solutions for m-point boundary value problem for nonlinearfractional differential equation J.Abstr Appl Anal，2011，Article ID 986575(2011).7 Lv，Z-W.Positive solutons of m-point boundary valueproblems for fracttial equations J.Adv Differ Equ，2011，Article ID 986575(2011).8 Wang J，Xiang H，Liu Z.Positive solution to nonzero boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations J.Int.J.Differ.Equ，2010，Article ID 186928(2010).9 Ahmad B，Nieto J J.Existence results for a coupled systemof nonlinear fractional differential equations with three-point boundary conditions J.Comput.Math.Appl，2009，58:1838-1843.10 王和香，阿里米热.阿布拉.具p-Laplacian算子的m点边值问题多重正解的存在性J.喀什大学学报，2020，41（3）:6-11.11 Salem H A A.On the fractional order m-point boundaryvalue problem in reflexive Banach spaces and weak topologies J.J.Comput.Appl.Math，2009，224:565-572.12 郭晓珍，王文霞.无穷区间上分数阶积分边值问题正解的存在唯一性J.华中师范大学学报(自然科学版)，2022，56（5）:752-757.13 孙文超，苏有慧，孙爱.一类非线性分数阶积分微分方程解的存在性与模拟仿真J.吉林大学学报(理学版)，2021，59（4）:828-836.14 Xu X J，Zhang H N.Multiple positive solutions to singularpositone and semipositone m-point boundary value problems of nonlinear fractional differential equations J.Boundary Value Problems，2018，34.15 古传运，郑凤霞.非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性与唯一性J.西华大学学报(自然科学版)，2014，33（4）:44-48.16 古传运，郑凤霞，钟守铭.一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性J.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，13（1）:72-76.17 古传运.非线性分数阶两点边值正解的存在唯一性J.乐山师范学院学报，2014，29（5）:5-7.18 王文霞，梁展东.一类非线性算子的不动点定理及其应用J.数学学报，2005，48（4）:789-800.19 翟成波，王文霞，张玲玲.一类凹与凸算子的推广J.数学学报，2008，51（3）:529-540.Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Nonlinear Fractionalm-Point Boundary Value ProblemsHU Hua-shu，GU Chuan-yun(College of Mathematics，Sichuan University of Arts and Sciences，Dazhou 635000，Sichuan，China)Abstract:Based on the fixed point theorem of the generalized concave operator and the related properties ofGreen s function，the existence and uniqueness of positive solutions of m-point boundary value problems of aclass of nonlinear fractional differential equations are obtained，and an iterative sequence is constructed to ap-proximate the positive solutions.Key words:nonlinear fractional order；m-point boundary value problem；existence and uniqueness；generalizedconcave operator；Green s function25