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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,一阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,(,一,),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第十二章,1/19,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键,:区分方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法 代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/19,例1.,求以下方程通解,提醒:,(1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3/19,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量地位,用线性方程通解公式求解.,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4/19,方法 1,这是一个齐次方程.,方法 2,化为微分形式,故这是一个全微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/19,例2.,求以下方程通解:,提醒:,(1),令,u=x y,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/19,令,y=u t,(齐次方程),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/19,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/19,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,)在(,+),内满足以下条件:,(1)求,F,(,x,)所满足一阶微分方程;,(03考研),(2)求出,F,(,x,)表示式.,解:(1),所以,F,(,x,)满足一阶线性非齐次微分方程:,9/19,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),由一阶线性微分方程解公式得,于是,10/19,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P326 题2,求以,为通解微分方程.,提醒:,消去,C,得,P327 题3,求以下微分方程通解:,提醒:,令,u=x y,化成可分离变量方程:,提醒:,这是一阶线性方程,其中,P326 题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/19,提醒:,可化为,关于,x,一阶线性方程,提醒:,为贝努里方程,令,提醒:,为全微分方程,通解,提醒:,可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12/19,原方程化为,即,则,故原方程通解,提醒:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13/19,例4.,设河边点,O,正对岸为点,A,河宽,OA,=,h,一鸭子从点,A,游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向一直朝着点,O,提醒:,如图所表示建立坐标系.,设时刻,t,鸭子位于点,P,(,x,y,),设鸭子(在静水中)游速大小为,b,求鸭子游动轨迹方程.,O,水流速度大小为,a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,关键点:,则鸭子游速,b,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/19,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子实际运动速度为,(求解过程参考P273例3),(齐次方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,15/19,思索:,能否依据草图列方程?,练习题:,P327 题 5 ,6,P327 题5.,已知某曲线经过点(1,1),轴上截距等于切点横坐标,求它方程.,提醒:,设曲线上动点为,M,(,x,y,),令,X,=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它切线在纵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/19,P327 题6.,已知某车间容积为,新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,含量不超出 0.06%?,提醒:,设每分钟应输入,t,时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同流量排出),得微分方程,(假定输入新鲜空气,输入,改变量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17/19,t=30,时,解定解问题,所以每分钟应最少输入 250,新鲜空气.,初始条件,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,k,=?,18/19,作业,P269,3,7;,P276,*4,(2);,P282,9,(2),(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/19,
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