利用图象(形)的平移解决对称问题.doc

利用图象的平移解决对称问题
410014 湖南省长沙市26中 彭向阳
关于函数图象的自对称和互对称，在考试中经常遇到，也有很多结论，由于这些结论比较多，又抽象，容易混淆，所以同学们记不住它们，在解决对称问题时往往力不从心，畏惧函数图象的对称问题.
一、函数图象的自对称
先理解两个复合函数的结论：
若函数是偶函数，当且仅当；
若函数是奇函数，当且仅当.
偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称. 即如果函数对定义域内的任意，都有，则函数图象关于轴对称；若有，则函数图象关于原点对称. 函数图象的轴对称与中心对称问题都可以通过函数图象的平移转化为奇偶函数的图象对称问题.
1. 函数满足（为常数）当且仅当函数的图象关于直线对称.
证明 函数的图象关于直线对称函数的图象关于轴对称函数是偶函数，即.
2. 函数的图像关于点对称当且仅当函数满足.
证明 函数的图像关于点对称函数的图像关于原点对称，即，也就是.
例1 设函数的图象关于直线对称，则的值为( ).
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
解析 由于原函数含有两个绝对值符号，直接利用对称性不好解决. 考虑到函数图象关于直线对称，则将原函数图象向左边平移1个单位，得到的图象，则是偶函数，即，也就是，即对任意都成立，所以必须，所以. 选择A.
点评 通过图象平移化非坐标轴对称为坐标轴对称，再利用坐标轴对称的特殊性来解决，关于轴对称即原函数是偶函数，有.
例2 求函数的对称轴.
解析 原函数即，它的图象可以看作是由函数的图象向右平移1个单位得到.
而是偶函数，图象关于轴对称，所以原函数的图象关于直线对称，从而原函数的对称轴为.
例3 函数的定义域为，且为奇函数，当时，，那么当时，的递减区间是（ ）.
A． B. C. D.
解析 一般地解法是转化，由题意可得，即.
当时，，则，于是
.从而当时，的递减区间是.选择C.
也可以利用对称性来解决，由于为奇函数，说明函数关于点中心对称，由于时，，在上单调递减，在上单调递增，关于中心对称，所以在上单调递增，在上单调递减.
例4 已知定义在上的函数的图象关于点成为中心对称图形，且满足，则的值为 .
解析 的图象关于点成为中心对称图形，说明函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，，
所以，说明函数是偶函数，所以有.
又由得，说明函数的周期是3，于是，，从而.
故.
点评 函数的图象关于点成为中心对称图形，实质是，也就是，利用图象平移就好理解多了. 所以一般的形如，就说明函数成中心对称；形如，就说明函数是周期函数. 其中怎么求出对称中心、周期等，关键是抓住几个关系式，适当地代式计算.
二、函数图象的互对称
先理解两个函数图象间的关系结论：
若函数与函数的图象关于轴对称，当且仅当；
若函数与函数的图象关于原点对称，当且仅当.
利用函数图象的平移变换可以将两个函数图象的对称问题转化为关于轴或原点的对称问题.
1. 函数与的图象关于直线对称.
证明 函数平移后得到的图象，它关于轴的对称图象的函数解析式为，再反向平移，得到，即的图象. 所以曲线关于直线对称的曲线为.同理可证关于直线对称的曲线为.
点评 先平移后转化为关于轴对称的问题，求出关于轴对称的曲线方程，再利用平移反移过去，得到题意要求的方程.
2. 函数与的图像关于点成中心对称.
证明 函数的图象平移后得到函数的图象，它关于原点对称的函数图象的解析式为，再反向平移得到，即. 所以函数关于点对称的函数图象为. 同理可证关于点对称的函数图象为.
例5 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心.
解析 （Ⅰ），依题意有，故． 由于，所以或.
又，所以函数的解析式为.
（Ⅱ）由于，它可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，而是奇函数，关于原点对称，所以是中心对称图形，对称中心为.
点评 通过图象平移化中心对称为原点对称，再利用原点对称的特殊性来解决，即原点对称的函数是奇函数，有.
例6 设函数的图象关于点对称，且存在反函数，，则=　　.
解析 由于的图象关于点对称，所以函数的图象关于原点对称，即是奇函数，故，即，令得，所以，从而.
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