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三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧

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三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角
观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一,或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tanx - tanx =
思路分析：本题的关键是角度关系：x=x -x,可作以下证明：

2．化函数
三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中,以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同(如化切为弦等)的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设+=1,求证：tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan2C = tanA·tanB，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂
应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin4α
思路分析：应用降幂公式,从右证到左：

4．化常数
将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多.如
1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α—cot2α=tanαcotα=sinαcscα=cosαsecα，1=tan450=sin900=cos00等等.如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证 =
思路分析:将左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”代替,问题便迎刃而解。

5．化参数
用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。
例5 已知acos2α+bsin2α=mcos2β，asin2α+bcos2α=nsin2β，mtan2α=ntan2β(β≠nπ)
求证：（a+b)(m+n)=2mn

6．化比
一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题,常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论,或简化条件，常常可以为解题带来方便。
例6 已知(1+cosα）(1-cosβ）=1-2(≠0，1)。求证：tan2=tan2
思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

7．化结构
观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。
例7设A+B+C=π，求证:sinA+sinB+sinC=4coscoscos
思路分析：这里等式左右分别为和积的形式,现将左边化成积。

8．化拆项
这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。
例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=
思路分析:左边同乘以sin,去括号，积化和差可得

9。数学归纳法
与自然数有关的命题,还可以用数学归纳法解决。
上述例题可用数学归纳法证明.
三角恒等式的证明
【考点回顾】
1．三角公式在恒等变形中的应用；
2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法。
例1．求证：

例2．求证：

例3．求证:

【基础训练】
1． 求证：（sinα+tanα）(cosα+cotα)=(1+sinα)（1+cosα).

2． 求证：(1－tanα)=（cos2α-cotα）(sec2α+1tanα).

3． 求证：

4． 求证：tan13x－tan8x－tan5x = tan13xtan8xtan5x。

【拓展练习】
1．条件甲:3sinαcos(α+β)=sin（2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tanα，则甲是乙的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
2．等于 ( )
A． B．sin2α C．－sin2α D．
3．已知α、β均为锐角，且α、β的大小关系是 （ ）
A．α>β B．α〈β C．α≤β D．α与β的大小不确定
4．求证：

5．求证：（cscA+cotA）（1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA－secA)[2－（1－cosA）（1－sinA）］.

6．求证：

7．求证：

8．求证:

9．求证：

10．求证：（1）

（2)

11．在矩形ABCD中，P为时间线BD上一点，AP⊥BD,PE⊥BC,PF⊥DC。
求证:

三角恒等式证明答案 ：
1.右式=== tanx - tanx。
2. ∵ sin2C= ，sin2A= ∴ = 由已知可得=1-=,
∴ = ∴=
即tan2C = tanA·tanB 命题成立。
3。 思路分析：应用降幂公式,从右证到左:
右边=8(）2=2（1—2cos2α+cos22α）= 2(1—2cos2α+)=cos4α-4cos2α+3=左边。
4. 思路分析：将左式分子中“1"用“sin2α+cos2α”代替，问题便迎刃而解。
左边====右边
5. 思路分析:消去参数，当m=0时，由mtan2α=ntan2β得n=0，显然成立。当m≠0时，只须消去α、β即可。由acos2α+bsin2α=mcos2β，asin2α+bcos2α=nsin2β得
=tan2β，再由mtan2α=ntan2β得=tan2α即可得=tan2α，解得tan2α=1，所以sin2α=cos2α=。
求得cos2β=，sin2β=,又由cos2β+sin2β=1不得。∴+=1 ，
即 （a+b）（m+n）=2mn
6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来,以结论中为向导，应用合比定理即可达到论证之目的. 由已知得1+cosα-cosβ—2cosαcosβ=1—2， 2(cosαcosβ—1)= (cosα-cosβ），∴ = 依合分比定理得
===
=tan2cot2 ∴ tan2=tan2
7. 思路分析:这里等式左右分别为和积的形式,现将左边化成积。
∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)］=sin（A+B) ∴左边=2sincos+ sin（A+B）= 2sin（cos+cos)=2sin2coscos
=4 coscoscos
8。 思路分析：左边同乘以sin,去括号,积化和差可得
左边=[(sin—sin)+（sin-sin）+…+（sin-sin)］
=(sin— sin)=cossin