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刚体绕汇交轴转动的角速度矢量的合成

图4-12 刚体绕汇交轴转动
在考察某刚体B的绕定点O运动时，如果有两个参考基，其中参考基为不动的惯性基，称为定基，另一个参考基为，它相对基作绕点O定点运动，称为动基。作定点运动的刚体的连体基为。连体基相对于定基的角速度矢量记为，称其为刚体B的绝对角速度矢量。连体基相对于动基的角速度矢量记为，称其为刚体B的相对角速度矢量。动基相对于定基的绝对角速度矢量记为，称其为刚体B的牵连角速度矢量。从瞬轴的角度，如果认为动基与定基瞬时固结，刚体绕沿的瞬轴转动；如果认为连体基与动基瞬时固结，刚体作绕沿的瞬轴转动。上述两瞬轴汇交于点O，刚体B在该瞬时同时绕两瞬轴转动，故称这种运动为刚体绕汇交轴转动。
由角速度矢量叠加原理式(4.1-22)，有

(4.1-34)
由此可得到如下结论：对于刚体绕汇交轴转动，刚体的绝对角速度等于该刚体相对动基的相对角速度与牵连角速度之和。它称为绕汇交轴转动合成定理。
角速度与欧拉角姿态坐标导数间的关系
本节将介绍定点运动刚体的角速度与姿态坐标导数间的关系。
在4.1.3节已经指出，时间t刚体的角速度矢量是平均角速度矢量的极限。后者的定义式(4.1-12)描述了在非常小的时间间隔内，由时刻t连体基绕一次转动矢量转过一次转动角到达时刻的连体基的变化过程。
根据4.1.2节关于描述姿态的欧拉角的定义，上述过程也可以认为连体基先绕基矢量转过有限角Dy，再绕基的基矢量转过有限角Dq，最后绕基的基矢量转过有限角Df，到达时刻的连体基。故平均速度的定义式(4.1-12)可表为

代入绝对角速度的定义式(4.1-13)

(4.1-35)
由定轴转动的角速度的定义式(3.3-2)和图4-4所示，基相对于基、基相对于基和基相对于基的角速度矢量分别为
，，
(4.1-36)
故由角速度叠加原理式(4.1-33)也可得到上式。由式(4.1-36)，式(4.1-35)也可表为

(4.1-37)
基矢量、和在各自连体基的坐标阵分别为
，，
(4.1-38)
由式(1.3-13) 与(1.1-18)，和在连体基上的坐标阵为
，
将式(4.1-38)和式(4.1-3)与(4.1-4)代入上式，有
， (4.1-39)

刚体定点运动的欧拉运动学方程
令角速度矢量在连体基的坐标阵记为

(4.1-40)
考虑到式(4.1-38)至 (4.1-40)，经整理，矢量式(4.1-37)在连体基的坐标式可表为

(4.1-41)
上式给出了角速度矢量在连体基的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系。由上式可解得

(4.1-42)
这是以欧拉姿态坐标为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程。在方程中，角速度矢量在连体基的三个坐标为方程的参变量。当它们的时间历程给定后，通过对方程组(4.1-42)进行积分，可得到欧拉姿态坐标的时间历程。由式(4.1-42)可知，章动角q 不能为零。
上述的推导过程同样可在参考基上进行。将角速度矢量在连体基的坐标阵记为

(4.1-43)
角速度矢量在连体基的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系为

(4.1-44)
相应的运动学方程为

(4.1-45)