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课后作业(十四)
一、选择题
1．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；
④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
3．(2013·广州模拟)设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－2 C．－ D.
4．(2013·湛江调研)曲线y＝x2ex＋2x＋1在点P(0，1)处的切线与x轴交点的横坐标是( )
A．1 B. C．－1 D．－
5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．(2013·佛山质检)函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝ex－e，则f′(1)＝________．
7．已知函数f(x)＝f′()cos x＋sin x，则f()的值为________．
8．(2013·云浮质检)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．
三、解答题
9．(2013·江门模拟)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
10．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．
11．已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲线Cn上的点(n＝1，2，…)．
(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
(2)若原点O(0，0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn)．
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】 ①(3x)′＝3xln 3；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝－＝－；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)．
【答案】 B
2．
【解析】 f′(x)＝2f′(1)＋2x, ∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
【答案】 D
3．
【解析】 ∵y′＝＝－，
∴y′|x＝3＝＝－，
∴－a＝2，即a＝－2.
【答案】 B
4．
【解析】 ∵y′＝2xex＋x2ex＋2，
∴y′|x＝0＝2，
∴曲线在点P(0，1)处的切线方程为y－1＝2x，
即y＝2x＋1，
令y＝0，得x＝－.
【答案】 D
5．
【解析】 ∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.
【答案】 D
二、填空题
6．【解析】 由切线方程可知切线的斜率为e，即k＝f′(1)＝e.
【答案】 e
7．【解析】 ∵f′(x)＝－f′()sin x＋cos x，
∴f′()＝－f′()sin ＋cos ，∴f′()＝－1，
∴f()＝(－1)cos ＋sin ＝1.
【答案】 1
8．【解析】 ∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
【答案】 －120
三、解答题
9．
【解】 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.
∴a的取值范围为(－∞，－)∪(－，＋∞).
10．【解】 设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.
∵P为切点，
∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝.
∵P在第一象限，
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.(舍去)
当k＝时，x1＝2，y1＝1.点(2，1)位于第一象限．
∴所求的斜率k＝.
故所求切线方程为y＝x.
11．
【解】 (1)∵y′＝2nx，∴y′|x＝xn＝2nxn，
切线ln的方程为y－n·x＝2nxn(x－xn)，即：2nxn·x－y－n·x＝0.
令x＝0，得y＝－nx，∴Qn(0，－nx)．
(2)设原点到ln的距离为d，则
d＝＝，
|PnQn|＝.
所以＝≤＝，
当且仅当1＝4n2x，即x＝(xn＞0)时，等号成立，
此时xn＝，所以Pn(，)．
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