2018年兰州市诊断考试理科数学试题解析.docx

兰州市2018年高三诊断考试
数学（理科）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. .回答问题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。问答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后。将本试卷和答题目卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1．设全集，集合，集合，则
. . . .
解：因为，，∴
2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是
. 复数的实部为5 .复数的虚部为
.复数的共轭复数 .复数的模为
解：复数的实部为，虚部为12，模为13，共轭复数为，选D
3．已知数列 为等比数列，且，则
. . . .
解：，，，选A
4．双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为
. . . .
解：解方组得，，，
A
B
C
M
P
5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于
. . . .
解：如图
6．数列中，，对任意，有，令，则
. . . .
解：，
，，，
7．若的展开式中各项系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为
. . . .
解：因为的展开式中各项系数之和为，，，
所以对任意的，的点所在矩形的面积为
满足的图形的面积为，所以
O
A
B
C
D
P
M
8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理，如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为

正视图
1

侧视图
俯视图
第8题图
.
.
.
.

开始
i=1,s=0

S=S+ai
i＜2018?
输出s
结束
i=i+1
是
否
第9题图
解：如图，，
，
9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是
. . . .

解：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1

1
-1
1
5
1
-5
1
9
1
-9
1
13
1
-13
1
17

1
0
1
6
7
2
3
12
13
4
5
18
19
6
7
24
显然当时，，而，所以时，，
10．设：实数，满足；
：实数，满足，则是的
. 必要不充分条件 . 充分不必要条件
.充要条件 .既不充分又不必要条件
解：如图因为圆与约束条件中三条直线都相切，且在可行域内部，所以是的充分不必要条件.
M
C
E
F
N
11.已知圆：和点，若圆上
存在两点，，使得，则实数的取值范围是
. . . .
解：如图若存在，使，则
当时，，，，
即.
12.定义在上的函数，已知是它的导数，且恒有成立，则有

解：设，则，所以，
在上递减，，，
，，.选
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若则 .
解：.
14.已知样本数据的方差是，如果有（），那么数据的均方差为 .
解：因为，所以样本数据的方差也为4，故均方差为2，均方差是标准差.
15.设函数（）向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则 .
解：的 图像向左平移个单位后所得函数为，又因为它是奇函数，
，，.
16.函数，若函数，且函数的零点均在（）内，则的最小值为 .
解：，，递增，递减
又因为，，
的零点在上，零点在上，
的零点在上，零点在上
零点在上，所以的最小值为10.
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知向量，，函数.
（1） 求的最小正周期；
（2） 当时，的最小值为5，求的值.
解：（1），，

，即函数的最小正周期为.
（2）,,,
,.
18.（12分）
F
A
B
C
D
G
E
如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
(1)证明：，又

又，是矩形，，
，， 又，且，
所以平面.
（2），又因为平面，，
又，，
是等边三角形，又因为是的中点，所以，又
所以是二面角的平面角，
在三角形中，，，
，所以平面与平面所成角的余弦值为.
19.(12分)
某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量（单位：）与该地当日最高气温（单位：℃）的相关数据，如下表：
x
11
9
8
5
2
y
7
8
8
10
12
（1）试求与的回归方程;
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量;
（3）假定该地12月份的日最高气温，其中近似取样本平均数，近似取样本方差，试求.

附：参考公式和有关数据
，，若，则，且.
解：（1）由已知知：
x
11
9
8
5
2

y
7
8
8
10
12

xy
77
72
64
50
24

x2
121
81
64
25
4

所以，
所以与的回归方程是
（2）当︒C时，
所以预测这天该商品的销售量为.
（3）又，
，

0.8185.
20.（12分）
已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.
（1）求点的轨迹的方程；;
（2）设过点的直线交曲线于、两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（为不同的四个点）.
①设，证明：
②求四边形的面积的最小值.

21.(12分)
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：当时，①；②；
（2）证明：对任意，有
（1）证明：①令，则，时，
在上递减，
又，，，.
②令，则，又因为是增函数，且.
时，，在上递增，又，所以.
.
（3） 要证，只需证
，只需证，即只需证
，
所以对任意，有成立.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，如果多答，则按所答第一题评分）
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角从标系，以坐标原点为极点，轴为正半轴建立极坐标系.
已知直线的参数方程是（是参数）.
圆的极坐标方程为.
（1）求圆的直角坐标方程;
（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.

23.【选修4——5：不等式选讲】（10分）
设函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若时，恒有，求的取值范围.

高三诊断 数学（理） 第9页 （共4页）