分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究.pdf

数学之友2023年第10 期分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究马艳华（常州市武进区剑湖实验学校，江苏常州，2 13 0 0 0）摘要：在初中数学解题教学中引进分类讨论思想，可有效增强学生的解题能力.科学引用分类讨论思想，不仅有助于学生理解复杂问题的水平增长，促使其进一步增强解题的成效，还有利于学生思维能力的进一步增强，对其未来的学习与成长均有着十分重要的价值.本文将分类讨论思想作为研究目标，并与其在初中数学解题教学中的运用准则与价值相结合，将苏科版九年级数学作为研究案例，对其应用实践进行了探究.关键词：分类讨论；初中数学；解题教学；苏科版分类讨论思想是指解答数学题时，因问题的复杂性与数学的自身规律,情形并非是唯一的,此时则需要根据问题特点分成多个类别,挨个分析与题目要求相符的所有情况.利用分类讨论，能很好地把数学问题“去繁就简”.在初中数学解题教学中融入分类讨论思想，可有助于学生通过更直观的形式去领会题目，推动其对较复杂题目的分析水平，在增强学生学习成效的同时，也可以培养其触类旁通的思维能力.1分类讨论思想在初中数学解题教学中运用的原则1.1同一性和相称性原则教师应该发挥引导的效能，带动学生明确出分类对象.同时，教师还必须抓得住重点，在分类时应始终坚守认真态度,绝不疏漏任何类别.唯有如此，才可以在初中数学解题中有效运用分类思想.例如,对平面和立体图形展开分类时，教师应先让学生知道平面与立体两种图形的不同之处，由此，学生在分类过程中才能够根据统一的分类要求，将正方体、长方体及圆柱等界定为立体图形，将长方形、圆形、三角形等界定为平面图形.1.2多层性与互斥性原则多层性指的主要是复杂化的问题，解答此类问题时应首先对其展开逐层分类，让各层之间的关系直观明了地体现出来,以有助于学生更正确地解题.互性是指分类完成后，不同组成部分之间应该并无关联,是彼此独立的.50_数学之友2分类讨论思想在初中数学解题教学中运用的重要意义2.1降低问题理解难度初中阶段的学生在最初接触初中数学的时候，通常会因个人知识量的储备能力相对欠缺，难以适应初中数学难度的增高.在学习数学时将面临较高的困难与壁垒，部分学生遭受多次打击之后，极易对数学学科的学习心生退意，觉得该学科是“枯燥”“无趣”和“困难”的.教师应该主动引入分类讨论思想为学生提供帮助，使其学会正确的数学问题思考模式，培养其思维能力，进而让他们突破僵化的数学学习模式.科学应用分类讨论思想，在促使学生更好地理解数学题目的同时，还可以帮助学生在对自我的持续突破中,在数学学习上由被动参与学习变成自主学习,从而锻炼了学生的探索能力，进一步提升了其求知欲,对于增强初中数学的教学成效及质量有着十分重要的意义.2.2简化分类讨论用法教师要以适当的模式，带领学生对分类讨论法展开简化处理，增强他们理解数学题的能力，来促使学生更好更容易地解决数学题目的办法.就初中生而言,数学分类讨论思想属于一种蕲新的数学理念，因此,在运用中会存在一定的困难,学生在最初运用时通常会产生不同的问题.所以，为促使学生进一步学会对分类讨论的运用，且帮助其尽早接受该数学解题理念，教师需要带领学生对分类讨论思想展开简化，进而在问题运用实践过程中，利用分类讨论思想来对题目开展各类状况及前提下的探讨与验证,防EB数学之友止因题目的复杂化影响到学生对题目的分析过程，从而产生其他问题.2.3提高学生领悟能力开展初中数学解题教学时，教师应该对分类讨论思想的科学化应用模式进行主动的研究与探索，来提升学生对问题的解决能力.同时，教师还应该能对数学的教学内容进行适当地选取，并科学、明确提出教学的目标,基于对学生学习的现状和能力的掌握，确保数学课堂教学计划更合理、更科学，适当总结与整理数学教材中的某些公式和数学定理,同时帮助学生将其用于解决数学题目的实践过程中，并对其展开验证与推断.学生在这个过程中可以对通过分类讨论思想来解题的方便与全面有所了解.另外，教师还必须确保学生的学习成效，促使其对分类状况进行归纳，对分类讨论的思维和准则进行梳理，从而增强学生对数学题目的整体解决能力,进一步拓展数学学习方法，同时也能增强教师的初中数学教学水平.3分类讨论思想在初中数学解题教学中的具体运用案例3.1注重对学生识图能力的培养,从图中找寻分类的条件例1已知AB是0 的直径,AB=2,AC=/2,在图1中画出弦 AD,使AD=1,并求ZCAD的值.CA0图1该题属于极具代表性的以圆的对称性来分类的题型.学生所画出来的更多是图3，却对图2 的情况未加注重.教师不仅应带领学生找出就直径AB来说,弦AC和弦AD在相同侧或是不同侧，还更应要求学生不可循环的求解.解决好一种情况后，对于另外的一种情况,则不用再求解，仅直接写出答案即可.因为图2 中ZCAD=ZDAB-ZCAB,而图 3 中ZCAD=ZDAB+ZCAB.两2023年第10 期张图中的ZDAB、ZC A B 是一样的.所谓数学识图能力，说到底就是对于几何知识的掌握.教师在日常课堂教学过程中,应更多地带领学生正确画出图形，使概念不再抽象难懂，以助于学生能对概念的含义与外延有更好的领会.3.2培养学生的合作互助精神，增强学生对分类讨论思想的掌握就初三的学生来说，面对综合程度较高的题目时，有时候会无从下手，难以找出破题思路.此时应依靠集体力量，让学生自主寻求伙伴帮助共同解决，既能使学生成为课堂主体，切实突显新课程思想，还能使学生的解题能力在分类讨论思想上的掌握得到锻炼.例2 如图4 所示，设抛物线y=ax+bx-2和轴相交于A（-1,0）,B（4,0)两个不同点,和y轴相交于点C.（1）求抛物线的解析式和ZACB的大小；(2）已知点D(1,n)在抛物线上,经过点A的直线y=x+1与抛物线相交于另一点E,如果点P在x轴上,以P,B,D为顶点的三角形相似于AEB,求点EBAJ4D图4BP坐标.该题第（2)问是难点，教师可先让学生进行尝试,多数学生分6 种情况来讨论，解题过程逐渐复杂直至无法进行下去.教师问“大家认为难点在什么地图2方？”学生答“题目当中并未给出对应点”教师说“可以试着几个人共同商量，看能否找到题目中的对应C点”学生自主建立了2 人或者3 人学习小组，不久就有学生开始举手，逐渐更多学生举手表示解决了问BOD图3题.教师让一个学生代表发言,指出只存在2 种可能性,原因在于AE与BD是平行的,从中可以知道tanZEAB=1,得到ZEAB=45,而求出点D的坐标（1,-3）后很容易得出ZDBA=45所以ZEAB=ZDBA,点A和B是一对对应点，三角形相似就只有两种可能：ABEB P D 或者ABEB D P,通过对应线段成比例求出BP的长，得到点P（2,0）或P(4.4,0).2023.10_51数学之友4结语总而言之，初中学生数学解题能力的培养不仅是一个数学教育研究的热点，同时还是中学数学整个教育机制的关键所在.分类讨论思想作为重要的数学思想之一，已逐步融进了整个初中教学机制中.教师应基于将分类思想在概念性内容中的融入，引导初中学生清楚运用分类讨论思想解决数学问题，使其对数学思想模式的理解得以巩固,为未来对教学问题的高效解决给出凭据，最终使学生的解题能力得以增强.参考文献：1刘美.浅析分类思想在初中数学教学中的运用 J.2023年第10 期科技视界,2 0 2 1(6)：16 7-16 8.2路咏祯.关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用J.科学咨询（教育科研），2 0 2 0（7）：2 2 3.3姜琳琳.初中数学教学对学生数学思想的培养 J.华夏教师,2 0 19(2)：9-10.4 张思涵，王亚娟.分类讨论思想在初中数学解题中的应用 J.农家参谋,2 0 17（16）：4 7.5朱冬文.数学解题过程中分类讨论思想的运用探讨 J.教育现代化,2 0 17,4(2 9）：14 5-14 6.【6 孟宁.初中数学解题中分类讨论思想的运用 J.教育现代化,2 0 17,4(2 9):2 9 9-3 0 0.7 姬梁飞.分类讨论思想方法在数学解题中的应用 J.教学与管理,2 0 18(2 8）：4 0-4 2.【8 孙芸.从一道高考题的解答谈分类讨论思想 J.数学通报,2 0 0 6(1):5 4-5 6.（上接第4 9 页）山望烽火，黄昏饮马傍交河”一句便蕴含着“将军饮马”这个历史上经典的数学问题.【问题分析】这是一个基本的解析几何问题,用代数的方法解决几何问题通常会成为首选.设点P(x,y），则有IPAI+IPBI=V(x+1)*+(y-1)+V(x-2)*+(y-5).由于x-y+1=0,即y=+1,则有1PAI+1PB/=/2x2+2x+1+/2x-12x+20.设函数f(x)=2x+2x+1+2x-12x+20,欲求f(x)的最小值十分复杂,因此用纯代数的方法解决这个几何问题并非易事，此时不妨尝试回到几何，通过几何中对称关系的转化简化复杂的代数运算.【问题解答】设点P（x,y）,其中y=+1,易知点A关于直线l的对称点为点O，即IPAI=(x+1)*+(y-1)=/2x*+2x+1=/x+y=IPO1,由两点O,B之间直线段最短，则有IPAI+IPBI=IPOI+IPBIIOBI=V29,当且仅当O,P,B三点共线时取等号，此时(25),故1PAI+IPBI的最小值为2 9.（3 3）【问题反思】本题是典型的解析几何的应用问题，从纯数学问题中引人西方“将军饮马”和古代李顾的诗古从军行的实例，从古到今、从西方到东方的时空交替，“时空情境”将学生困惑的几何问题从代数的“瓶颈”中找到突破口,将A和B看成两个点，河看成52_数学之友直线，就可以将实际问题转化成数学问题，将问题转B化为数学问题后要求学生能在图形中建立数学模型，抽象出函数关系和几何关系，借助其几何意义来解决实际问题，找到对应的模型和方法进行分析和解决。从“时空情境”的创设中，学生不经意间经历数0学建模的全过程，也对解决实际应用问题的步骤有了更深入的理解,第一步是建立数学模型,使生活中的问题变为数学问题,第二步是利用已有的数学知识解决问题.在解题过程中，学生的数学建模素养得到了发展,同时培养了学生主动思考的习惯，让学生感悟到了数学的应用价值。“时空情境”只是“情境教学”中的一个方向，教师在教学设计中充分发掘出数学发展中时间和空间两个维度出发的情境，使学生得到一定的情感体验，培养他们勤于动脑、独立思考、善于想象的能力，使学生在课堂情境中享受到了学习的乐趣,有效地帮助学生的心理机能得到发展.针对会用数学的语言表达现实世界中两大核心素养的特征，即数学建模和数据分析与实际生活紧密联系的特征，教师在教学中应充分利用其本质属性，创设适当的“时空情境”能对学生的认知进行合理冲击，进一步激发学生探究、讨论的兴趣，促使学生在“时空情境”中进行科学严谨的探索，提高学生数学语言表达世界的能力.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）S.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2 史宁中,王尚志.普通高中数学课程标准解读 M.北京：高等教育出版社，2 0 2 0.