广东省饶平二中2011届高考数学第一轮-不等式的证明学案.doc

广东饶平二中2011高考第一轮学案：不等式的证明
一、知识归纳
1．证明不等式的常用方法：
（1）比较法
①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号
②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系
（2）分析法：从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件代替前面的不等式，可简称为“执果索因”。
（3）综合法：由已知条件出发，根据不等式的基本性质或基本不等式，逐步推理，推导出要求证的不等式。 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用。
几个重要不等式：
①（当且仅当时，等号成立）
②若，则（当且仅当时，等号成立） 等价变形：
③若，则 （当且仅当时，等号成立）
④
⑤若，则（当且仅当时，等号成立）
2．不等式证明的其他方法：反证法，放缩法，数学归纳法，判别式法，构造法等。
二、练习题：
1．已知，求证：

2．求证

3．已知函数，对任意的，
求证：

4．设函数
（1）用单调性的定义证明在上是增函数；
（2）设，证明：

5．已知不全相等的正数，求证：

6．设函数,、，
（Ⅰ）用分析法证明： ；
（Ⅱ）设，求证：中至少有一个大于.

7．已知且，求证中至少有一个小于2.

8．已知是不全相等的正数，且，求证：
（1）； （2）

9．设，求证：
（1）；

（2）

10．（1）已知，且求证：
（2）已知是互不相等的正数，设函数，且
求证：

11．设a，b，c为正实数，求证：．

12．设，求证：
（1）
（2）

（3）

（4）

13．已知 求证：

不等式的证明
一、知识归纳
1．证明不等式的常用方法：
（1）比较法
①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号
②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系
（2）分析法：从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件代替前面的不等式，可简称为“执果索因”。
（3）综合法：由已知条件出发，根据不等式的基本性质或基本不等式，逐步推理，推导出要求证的不等式。 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用。
几个重要不等式：
①（当且仅当时，等号成立）
②若，则（当且仅当时，等号成立） 等价变形：
③若，则 （当且仅当时，等号成立）
④
⑤若，则（当且仅当时，等号成立）
2．不等式证明的其他方法：反证法，放缩法，数学归纳法，判别式法，构造法等。
二、练习题：
1．已知，求证：
1．证明：，，又，，则
2．求证
证明1：（比较法）

证明2：（分析法）要证原不等式成立，只需证明：，
即证 因为成立，故原不等式成立。
3．已知函数，对任意的，
求证：
证明：
又，

4．设函数
（1）用单调性的定义证明在上是增函数；
（2）设，证明：
证明：（1）设
则

，又
，，故在上是增函数。
（2）
，即是奇函数
，
又在上是增函数
，，

故
5．已知a、b、c不全相等的正数，求证：
证明1：（基本不等式），，
又a、b、c不全相等，则上述三式的等号不同时成立。
故有
证明2：（柯西不等式）

又，故
6．设函数,、，
（Ⅰ）用分析法证明： ；
（Ⅱ）设，求证：中至少有一个大于.
6．（Ⅰ）欲证
即证 只要证
、， 只要证 3（）
即， 因为 显然成立，故原不等式成立。
（Ⅱ）假设
由于、, ∴,
两式相加得: ,即, 与条件矛盾,
故中至少有一个大于.
7．已知且，求证中至少有一个小于2.
证明：（反证法）假设且，
，， ，则
于是，这与题设矛盾。故命题成立。
8．已知是互不全相等的正数，且，求证：
（1）；（2）
证明：（1）是互不全相等的正数，且

（2）
或：
9．设，求证：
（1） （1）； （2）
（1）证法一：（基本不等式）由，有
则，故
证法二：（排序不等式）不妨设，则，
则有（乱序和反序和）
证法三：（柯西不等式）由，
有
又
（2）分析：原不等式可化为等价的：
法一： （基本不等式）：，，
三式相加可得：
法二：（用排序不等式）：不妨设，则，两边乘以得
，故
10．（1）已知，且求证：
（2）已知是互不相等的正数，设函数，且
求证：
证明：（1）分析法：由得
且
故原不等式成立。
（2）综合法：
由，且，得
又是互不相等的正数，故
，
由，得
又，则有
得，所以有成立。
11．设a，b，c为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即 所以，
而 所以 。
12．设，求证：
（1）
放缩法：
（2）
法一：放缩法：
法二：数学归纳法。
（3）
放缩法：
（4）
法一：放缩法：
，即
则
法二：数学归纳法。

13．已知 求证：
法一：构造法：
恒成立
法二：（柯西不等式）

故，即

用心 爱心 专心