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坐标系与参数方程大题练习

1．（2015届高三康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中四校联考）
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数.
（1）写出曲线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．

1.解:（1）由得：，， ………………2分
即，
所以曲线的参数方程：（为参数） …………………4分
（2）将代入圆的方程得，
化简得. 设、两点对应的参数分别为、,
则, …………………6分
,
,,或. ……………………10分

2．（忻州市一中2015届高三上学期期末）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线 θ=φ,θ = φ+,θ= φ- (-<φ<)与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.
(I)求证：；
(II)当时，B, C两点在曲线C2上，求m与α的值.
2．解：（1）依题意，
2分
则
5分
（2）当时，两点的极坐标分别为
化为直角坐标为 7分
是经过点倾斜角为的直线，
又经过的直线方程为 9分
所以 10分

3.（2013-2014学年第四次四校联考）
已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

3.解：(1)∵ρ=2cos(θ+)
∴ρ= cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ …………(2分)
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0 …………(3分)
∴圆心C的直角坐标为(,- ) …………(5分)
(2)法一： 由直线上的点向圆C引切线长为
==≥2,
∴直线上的点向圆C引切线长的最小值为2 …………（10分）
法二：直线l的普通方程为x-y+4=0, …………(6分)
圆心C到距离是， …………(8分)
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）

4．已知曲线： （为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，点的极坐标为，求中点到曲线上的点的距离的最小值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，消去参数得曲线普通方程为；由，得，故曲线的直角坐标方程为． 5分
（Ⅱ）点的直角坐标为，设，故，
为直线，到的距离，从而当时，取得最小值． 10分
【命题意图】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

5．已知曲线：，直线：（为参数）．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）最大值为；最小值为．
【解析】（Ⅰ）由曲线：，得曲线的普通方程为：，从而得曲线的参数方程为为参数）；直线：（为参数）消去参数得到：直线的普通方程为． 5分
（Ⅱ）设曲线C上任一点P的坐标为，则点P到直线的距离为

则，其中为锐角，且．
所以得到：当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为． 10分
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．
6．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）时，恒成立．（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为
2分
又，
所以曲线的直角坐标方程为c 4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 6分
令，得，即点的坐标为（2，0）．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为（1，0），半径，则 8分
所以 10分
【命题意图】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和基本运算能力．
7．已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的方程为普通方程；
（Ⅱ）若上的点的极坐标为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由得，
所以，
由得，所以 ． 4分
（Ⅱ）点的直角坐标为，故，
为直线，到的距离
=,
（其中，）,
从且仅当时，取得最小值． 10分
【命题意图】本题考查参数方程和普通方程的互化、点到直线距离公式等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

8．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过定点，倾斜角为．
（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A、B两点，求的值．

【答案】（Ⅰ），为参数；（Ⅱ）3
【解析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为，可得曲线C的普通方程为：，由直线经过定点，倾斜角为，可得直线的参数方程为：，为参数；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得，
设是方程的两个根，则，所以．
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．

9．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过定点，倾斜角为．
（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A、B两点，求的值．
【答案】（Ⅰ），（为参数）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为，可得曲线C的普通方程为：，由直线经过定点，倾斜角为，可得直线的参数方程为：，（为参数）；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得，
设是方程的两个根，则，所以．
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．

10．已知圆锥曲线 （是参数）和定点，，是圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求到直线距离的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（为参数）；
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）圆锥曲线 ，化为普通方程为，
∴，则直线的斜率，
∴经过点且垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是，
∴直线的参数方程是 （为参数），即（为参数）； 5分
（Ⅱ）直线的方程为，设，则到直线距离
，故到直线距离的取值范围为.^10分
【命题意图】本题考查椭圆的参数方程 、直线的参数方程、点到直线距离公式，意在考查数形结合思想和基本的运算能力．

11．已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程为，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，利用直线和圆相切的条件，列方程求的值；（2）利用圆的参数设，从而将用角表示，转化为三角函数的取值范围问题．
试题解析：（1）曲线C的直角坐标方程为
即 曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆.
直线l的方程为: 3分
∵直线l与曲线C相切 ∴
即 5分
∵ aÎ[0，π） ∴a= 6分
（2）设
则 = 9分
∴ 的取值范围是. 10分
考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.

12．已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）设曲线上任意一点的直角坐标为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程为，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，利用直线和圆相切的条件，列方程求的值；（2）利用圆的参数设，从而将用角表示，转化为三角函数的取值范围问题．
试题解析：（1）曲线C的直角坐标方程为
即 曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆.
直线l的方程为: 3分
∵直线l与曲线C相切 ∴
即 5分
∵ aÎ[0，π） ∴a= 6分
（2）设
则 = 9分
∴ 的取值范围是. 10分
考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.

13．已知平面直角坐标系,以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,曲线的极坐标方程为
（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程;
（2）若为曲线上的动点,求中点到直线（为参数）距离的最小值.
【答案】（1）点的直角坐标，曲线的直角坐标方程为；（2）点到直线的最小距离为.
【解析】
试题分析：本题考查极坐标和直角坐标的互化，参数方程和普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用极坐标与直角坐标的互化公式得出点的直角坐标和曲线的方程；第二问，先把曲线的直角坐标方程化为参数方程，得到点坐标，根据点到直线的距离公式列出表达式，根据三角函数的值域求距离的最小值.
试题解析：（1） 点的直角坐标
由得,即
所以曲线的直角坐标方程为 4分
（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为
设,则.那么点到直线的距离[
.
,所以点到直线的最小距离为 10分
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.点到直线的距离公式.

14．已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为
(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(Ⅱ)若为C上的动点,求中点到直线(t为参数)距离的最小值
【答案】（1）点的直角坐标，曲线的直角坐标方程为；（2）点到直线的最小距离为
【解析】
试题分析：本题考查极坐标和直角坐标的互化，参数方程和普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力 第一问，利用极坐标与直角坐标的互化公式得出点的直角坐标和曲线的方程；第二问，先把曲线的直角坐标方程化为参数方程，得到点坐标，根据点到直线的距离公式列出表达式，根据三角函数的值域求距离的最小值
试题解析：（1） 点的直角坐标
由得,即
所以曲线的直角坐标方程为 4分
（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为
设,则 那么点到直线的距离

,所以点到直线的最小距离为 10分
考点：1 极坐标与直角坐标的互化；2 参数方程与普通方程的互化；3 点到直线的距离公式

15.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若将圆向左平移一个单位，再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当为（）或 ，的最小值为1
【解析】（Ⅰ）圆的普通方程为，得化为极坐标方程为； 4分
（Ⅱ）将圆向左平移一个单位，得到圆的方程为，经过伸缩变换得到曲线的方程为： ， 设为： ，则 ，所以当为（）或 ，的最小值为1． 10分
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化，参数方程的应用等基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．