由学生学习勾股定理所想到的.doc

如何构建学生数形结合的数学思想 摘要：本文首先介绍了勾股定理的产生以及对当今数学领域乃至其他领域的贡献，再从勾股定理的运用条件、公式、证明、具体运用四方面深入介绍了勾股定理的相关内容。从而结合初中生的实际情况，从数学兴趣的培养，思维模式以及学习方法，基础理论知识和实际生活相结合等方面阐述了如何使初中生深刻理解勾股定理，并从中感受到数形结合和转化等的数学思想。关键词：勾股定理； 初中生； 数学； 方法； 学习把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，西方称为毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。1.勾股定理的简单介绍勾股定理的介绍是从传说故事讲起的，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c21.1勾股定理的产生勾股定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”1。在中国，周髀算经记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远?”他们解此题就是用了勾股定理，如图设AB=CD=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=-h=5-1米=4米 =3米，三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。1.2勾股定理的作用勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍路史后记十二注中就有这样的记载：禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间距离是否是50cm.如果超出一定误差,则说明墙角不是直角. 1.3勾股定理的内容勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是直角三角形的性质。勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么就可以判定此三角形为直角三角形。1.4勾股定理的证明勾股定理的发现至今有5000多年的历史。5000多年来，世界上九个文明古国相继发现和研究这个定理，并给出了许多证明的方法，其证明的方法可能是众多数学定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。先来看看下面这一种证明方法：设ABC为一直角三角形, C=90（看附图）. 从点C作CHAB，交AB于H。显然，ABCACHCBH设BC=a,AC=b,AB=c从而和即，所以A H C B2勾股定理及逆定理的应用在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，设两直角边分别为a和b，其斜边为c，则据勾股定理的意义可得 a2+b2=c2 ，进而可得a2=c2-b2或b2=c2-a2。勾股定理的应用：（1）已知直角三角形两边的长，求出第三边的长；（2）作出长为（n为大于1的自然数）的线段；一般应用勾股定理时，可分为直接应用和间接应用。在图形中存在直角，如矫形、正方形等，就可以利用直角三角形；或实际生活中的“高度”“距离”等包含着垂直的图形位置关系，可考虑利用勾股定理求作。若题中没有直角，可通过作垂线构造直角三角形来间接应用勾股定理。如：台风过后，一希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部在离旗杆底部8M处，已知旗杆原长16M，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试。 解：设折断了xM，则没断裂的有（16-x）米解得x=616-x=16-6=10(M)答：旗杆在离底部10M处断裂。 3. 提高初中生对勾股定理领悟能力的策略勾股定理是初中几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活中的用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。因此为了使初中生能够很好的掌握勾股定理的意义，灵活运用勾股定理，我们将从以下几个方面讨论如何加强初中生对勾股定理的接受程度。3.1培养初中生学习几何的兴趣学生“进得来，留得住，学得好”这里有一个很重要的课题值得我们研究，就是如何培养学生学习的兴趣。“兴趣是学习的强大动力，兴趣愈浓，注意力愈集中，观察力愈细致，反映也愈清晰，思维，记忆等智力活动就最有成效”2，本节就数学学习兴趣的培养，谈一些看法。数学是比较抽象的一门学科，学生的学习积极性能否持久，这里牵涉到学生学习数学自我需求观念的形成问题，这就要求我们引导，帮助学生变“厌学”为“乐学”，变学生在外力强迫下的“刻苦”，为依靠内在的学习动机，自觉的“刻苦”，从而通过勤奋学习，刻苦钻研来学到知识，获得乐趣。初中数学是数学学习的一个新的开始，小学算术重在运算能力的培养，计算量大，但较具体。而初中数学平面几何证明逻辑性强，难度大，这就要求教学者根据教学目标，创设不同情景，在教案中引入一些直观性强的案例，如讲勾股定理时可以先讲解其产生的背景以及在现在社会的广泛运用，同时尽可能运用启发式教学，增强教学的趣味性，使学生的注意力最集中，思维最积极，诱发学生的学习动机，增强学生学习的乐趣。教师应根据教学目标教学内容的需求，尽可能的创设表面上浅显，但赋予思考的问题，让每位学生都参与教学活动，都能听懂，有自己的观察，分析，判断能力，有自己的见解，对学生的见解，凡是有一点正确的，教师持肯定态度，增强学生的自信心，真正体现到教师的主导作用和学生的主体作用，在平时的教学中，教师要突出教学思想方法的教学。把方法教给学生，基本的数学思想方法是人人能懂，处处有用，如数形结合的思维方法，转化的思维方法，分类讨论的思维方法，让学生掌握并能运用数学思想方法解题，提高学生学习数学的兴趣。与勾股定理有关的背景知识很丰富，除正文介绍的有关内容，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明”3中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。3.2通过勾股定理的学习来加强学生的数学思维数学思维是数学教学的灵魂,指导学生阅读课本是学生获取知识的重要手段之一,我在课堂教学中进行了以下一些尝试。1、着眼于“疑”,是读与思的前提与基础。2、着力于导,是读与思的关键与重点。3、着手于“练”,是读与思的巩固与升华数学思维是数学教学的重点, ,只有优化教与学的各个环节,才能使读与思有机地结合,而课堂中有目的阅读和积极的思维又能促进学生学得扎实、学得灵活。数学思维思想方法是知识、技能转化为能力的桥粱，是数学结构中强有力的支柱，在中学数学课本里渗透了数形结合的思想，逻辑划分的思想，等价转化的思想，介绍了反证法等证明方法，在学好数学知识的同时，要下大力气理解这些思想和方法的原理和依据，并通过大量的练习，掌握运用这些思想和方法解决勾股定理相关问题的步骤和技巧。3.3夯实基础理论知识“知识是能力的基础，要切实抓好基础知识的学习”4。勾股定理的基础知识学习包括概念学习，定理公式学习以及解题学习三个方面。学习勾股定理的概念，要善于抓住它的本质属性，也就是区别于这个概念和其他概念的属性；“学习其定理公式，要紧紧抓住定理方向的内在联系，抓住定理公式适用的范围及题型，做到得心应手地应用这些定理公式，数学解题实际上是在熟练掌握概念与定理公式的基础上解决矛盾，完成从“未知”向“已知”的转化”5。“要着重学习各种转化方式，培养转化的能力”6。总而言之，在学习勾股定理基础知识中，要注意把握知识的整体精髓， 悟其中的规律和实质，形成一个紧密联系的整体认识体系，以促进各种形式间的相互迁移和转化。同时，还要注意知识形成过程无处不隐含著人们在教学活动中解决问题的途径、手段和策略，无处不以数学思想、方法为指南，而这也是我们学习知识时最希望要学到的东西。3.4重视勾股定理的实际运用在对勾股定理的学习中，要特别重视运用知识解决实际问题能力的培养。数学社会化的趋势，使得“大众数学”7的口号席卷整个世界，有人认为未来的工作岗位是为已作好数学准备的人才提供的，这里所说的“已作好了数学准备”并不仅指懂得了数学理论，更重要的是学会了数学思想，学会了将数学知识灵活运用于解决现实问题中。培养勾股定理应用能力，首先要养成将实际问题数学化的习惯；其次，要掌握将实际问题数学化的一般方法，同时，还要加强数学与其他学科的联系，除与传统学科如物理、化学联系外，可适当了解数学在经济学、管理学、工业等方面的应用。下面我们介绍一个关于勾股定理在实际生活中的运用。下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在想知道旗杆的高度,你能想个办法吗?请你与同伴交流并提出一个设计方案。这只是一个小小的运用，生活中这种利用勾股定理解决实际问题的案例是多之又多，在教学中可以积极地引进，这样不仅提高了课堂的氛围，又使学生形象化的接受勾股定理的理论知识。4.总结勾股定理是几何中一个十分重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质。在生产和生活实际中用途很大，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。而我国古代的学者们能在2000多年前独立发现它，是非常了不起的，还使用了许多巧妙方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献 希望通过本文的探讨，使学生在勾股定理的学习中能感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利；感受人类文明的力量，了解勾股定理的重要性。参考文献1 （美）帕帕斯（Pappas,T）. 发现数学:原来数学这么有趣.电子工业出版社.2008年04月2 李国华.浅谈初中几何教学中学生学习兴趣的培养 , 教育实践与研究,2005,023 南秀全. 龙门专题：初中数学-三角形（最新修订）. 龙门书局.2006.074 期刊论文 数学课程中能力培养的探讨 - 北京广播电视大学学报2007(1)5 张萍, 平面几何教学中学生逻辑推理能力的培养 期刊 课程教材教学研究（中教研究）。 2004年 第05期6 齐应仙.浅谈初中平面几何教学中能力的培养 ,晋中师范高等专科学校学报2001年 第01期7 张奠宙，沈文选. 中学几何研究高等教育出版社2006,01- 8 -