9上寒假练习——学生版.docx

全国中考数学压轴题精选1
1.如图：抛物线经过A (・3, 0)、B (0, 4)、C (4, 0)三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 已知AD = AB (D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段 AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度 从点B沿线段BC移动，经过1秒的移动，线段PQ被BD垂直平分, 求t的值；
(3) 在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。(注: 抛物线y = ax2 +bx + c的对称轴为x = _ 号)
如图，现有两块全等的直角三角形纸板【，II,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标 系中的△ AOB, △COD处，直角边。& QD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板I沿直尺边缘平行 移动.当纸板I移动至△PEF处时，设PE, PF与OC分别交于点N,与x轴分别交于点G, H .
（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：
① 点M到x轴的距离人与线段的长是否总相等？请说明理由；
② 两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在, 求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
G
（图2）
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要证
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段A/?的最小覆盖圆就是以线段/W
为直径的圆.
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作 图痕迹，不写作法）；明）；
（3）某地有四个村庄E, F, G, H （其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居 民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理 由.
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h）,两车之间的距 膏为y（km）,图中的折线表示），与工之间的函数关系.
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为km；
<2）请解释图中点B的实际意义；图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的），与x之间的函数关系式，并写出自变量工的取值范围：
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第•列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列 快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
已知双曲线y =-与直线v = -a相交于A、B两点.第一象限上的点M （w, 〃）（在A点左侧）是双曲线y = — ±的
x '4"x动点.过点B作BD//y轴交x轴于点D.过N （0, 一〃）作NC//x轴交双曲线y =-于点E,交于点C. x
（1）若点。坐标是（一8, 0）,求A、8两点坐标及R的值.
（2）若B是CD的中点，四边形的面积为4,求直线CM的解析式.
（3）设直线AM. BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP, MB=qMQ, 求p~q的值.
如图，。0的半径为1,正方形ABCD顶点8坐标为(5,0),顶点
。在。。上运动.
(1) 当点。运动到与点A、。在同一条直线上时，试证明直线CQ与0 0相切；
(2) 当直线与。。相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；
(3) 设点。的横坐标为X,正方形ABCD的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值.
3已知二次函数= ax2 + bx + c(a 0)的图象经过三点(1, 0), (-3, 0), (0,)<>
(1) 求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；
(2) 若反比例函数力=-U>0)图像与二次函数少=cW +* + c(q，0)的图像在第一象限内交于点A(xo,y°),x
X0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；
(3) 若反比例函数力=-(^>0,x>0)的图像与二次函数凹=ctx2 +bx + c(a^^的图像在第一象限内的交点x
为A,点A的横坐标为％满足2<XO<3,试求实数k的取值范围。
10. 如图，己知点A从(1,0)出发，以I个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O, A为顶点作菱形OABC，使点B, C在第一象限内，且ZAOC = 60\以P(0,3)为圆心，PC为半径作圆.设点A运动了 ［秒，求:
(1) 点C的坐标(用含，的代数式表示)：
(2) 当点A在运动过程中，所有使□ P与菱形OABC的边所在直线相切的，的值.

11. 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点 安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了几个边R 为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
()
18.如图，抛物线yt = -ax

18.如图，抛物线yt = -ax
2-0¥+1经过点2 ——，一，且与抛物线y2 = ax2 -ax-\相交于A, B两点.
(1)求〃值;
（2）设y,=-ax2-ax+\与工轴分别交于M, N两点（点M在点N的左边）, y2=ajc2-ax-\与工轴分别交于E, F两点（点E在点F的左边），观察M, N, E, F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明;
（3）设A, B两点的横坐标分别记为心，X"若在工轴上有一动点Q（x,O）,且心《工《心，过。作一条垂直于工轴的直线，与两条抛物线分别交于乙〃两点，试问当x为何值时，线段曲最大
值？其最大值为多少？
19. 如图1,正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1,点E,尸分别在线段AB AD上滑动，设点。到。。的距 离为X,到的距离为y,记ZHEF为a （当点、E, F分别与8, A重合时，记a = Oc ）.
（1）当a = （T时（如图2所示），求尤，），的值（结果保留根号）;
（2）当a为何值时，点G落在对角形AC ±?请说出你的理由，并求出此时加y的值（结果保留根号）;（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
a
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
X

0. 03
0

0. 29

y

0. 29
0. 13

0. 03

（4）若将“点反F分别在线段AB, A。上滑动”改为“点E, F分别在正方形ABCD边上滑动”.当滑动一周时, 请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形.
（参考数据：右5732,知5。=号1.。.259,血7"半.。.966.）

（参考数据：右5732,知5。=号1.。.259,血7"半.。.966.）
图1
图2
图3
图4

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4, 3).平行于对角线AC的直线m从原点。出发, 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的四以分别交于点M、N,直线m运动的时间
为t (秒).
(1) 点A的坐标是,点C的坐标是;
(2) 当七= 秒或 秒时，MN=」AC；2
(3) 设△()"的面积为S,求S与t的函数关系式：
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说 明理由.
20. (1)探究新知：如图1,己知AABC与AABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
(2)结论应用：①如图2,点M、N在反比例函数y=-(k>0)的图象上，过点M作ME±y轴，过点N作NF_Lx轴, x
垂足分别为E, F.试应用(1)中得到的结论证明：MN〃EF.
②若①中的其他条件不变，只改变点M, N的位置如图3所示，请判断MN与E是否平行.
21. 如图（1）,己知在[]ABC中，AB=AC=10, AD为底边BC上的高，且AD=6。将UACD沿箭头所示的方向平移，得到□ ACD'。如图（2）, 4。''交4日于£, AC分别交AB、AD于G、F。以D D为直径作口0,设的长为x, □ O 的面积为y。
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）连结EF,求EF与口0相切时x的值；
（3）设四边形ED DF的面积为S,试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？
图（2）

22. 在△人中，匕人= 9（）。，人8=4, AC=3, M是人8上的动点（不与A, B重合），过M点作MN//BC交人C于点 N.以MN为直径作G）。，并在。。内作内接矩形AMPN.令AM=x.
（1）用含x的代数式表示△"VP的面积S：
（2）当x为何值时，。。与直线相切？
（3）在动点M的运动过程中，记与梯形BCNM重合的面积为），，试求），关于工的函数表达式，并求x为何值时，），的值最大，最大值是多少？

值时，），的值最大，最大值是多少？
A
P

23. 已知ZMAN, AC平分匕MAN。
⑴在图 1 中，若ZMAN=120° , ZABC=ZADC = 90° ,求证：AB + AD=AC;⑵在图2中，若ZMAN=120° ,匕ABC+NADC=180° ,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成 立，请说明理由；
⑶在图3中：
① 若ZMAN=60° , ZABC+ZADC=180° ,贝ij AB+AD=AC;若 ZMAN= a (0° VaV18()° ), ZABC+ZADC= 180° ,贝0 AB + AD=AC (用含 a 的三角函数表示)，并
给出证明。

如图，已知抛物线与x轴交于A ( — 1, 0)、B (3, 0)两点，与y轴交于点C (0, 3)。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC是等腰 三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由；
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
24. 己知：如图①，在RtZkACB中，ZC = 90\ AC = 4cm, BC = 3cm,点P由8出发沿84方向向点人匀速运动，速度为lcm/s；点。由A出发沿人C方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ .若设运动的时间为，(s)
(0</<2),解答下列问题：(1)当/为何值时，PQ// BC 2 (2)设左AQP的面积为y (cm?),求y与，之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻，，使线段PQ恰好把RtAACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时，的 值；若不存在，说明理由；
(4) 如图②，连接PC,并把沿QC翻折，得到四边形PQP'C ,那么是否存在某一时刻L使四边形PQP'C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.
图②
P'

26.在等边△ ABC中，点。为AC上一点,
连结BD ,直线/与AB BD, 分别相交于点E, P, F ,且
Z.BPF = 60 .

（1）如图I,写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线/向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变）,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不 证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1,当8。满足什么条件时（其它条件不变），PF = -PE ?请写出探究结果，并说明理由.
2如图，点IS 川1）, Blm+3, D 都在反比例函数），= *的图象上.
X
（1）求/〃，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，/V为y轴上一点， 以点4, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线杨V•的函数表达式.
（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5, 0）,点。的坐标为（0, 3）,把线段国向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段AQ, 则点R的坐标为，点。的坐标为.
27. 如图，在梯形刀"中，AB：CD, AB=7, CD=\, AD=BC=5.点M A.分别在边也，BC上运动,并保持.侦V〃刀8,ME LAB, NFL AB,垂足分别为氏F.
(1) 求梯形的面积：
(2) 求四边形.阻订面积的最大值.
(3) 试判断四边形J好］V能否为正方形，若能, 求出正方形.阳W的面积；若不能，请说明理由.
28. 如图，抛物线4：），= 一亍一2工+ 3交工轴于A、B两点，交），轴于M点.抛物线心向右平移2个单位后得到抛物 线4，乙2交X轴于C、D两点.

的对称点Q是否在抛物线右上，请说明理由•
3.如图 II,在梯形 ABCD 中，AD〃BC, AB=AD=DC=2cm, BC=4cm,在等腰APOR 中，ZQPR=120° ,底边 QR=6cm, 点B、C、Q、R在同一直线I上，旦C、Q两点重合，如果等腰APOR以1cm/秒的速度沿直线1箭头所示方向匀速运 动，t秒时梯形ABCD与等腰APOR重合部分的面积记为S平方厘米
(1) 当t=4时，求S的值
(2) 当4</<10,求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
29. 把一副三角板如图甲放置，其中Z/\CB = ZDEC = 90\』A = 45°,匕。= 30°,斜边AB = 6cm, DC = 7cm .把三角板妣绕点。顺时针旋转15°得到△〃必（如图乙）.这时与必相交于点。，与。&相交于点R
(1)
求ZOFE,的度数;

求线段的长;若把三角形。•必绕着点C顺时针再旋转30°得△功您，这时点夕在必的内部、外部、还是边上？说明

理由.

30. 己知：抛物线y=ax^-bx^c与尤轴交于A、B两点，与），轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在），轴 的正半轴上，线段。B、0C的长（OBVOC）是方程x2-10a+16=。的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=~2.
（1）求人、8、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求ZXABC的面积；
（4）若点E是线段AB ±的一个动点（与点A、点B不重合），过点E 作EF//AC交BC于点、F,连接CE,设AE的长为〃?，△CEF的面枳为S, 求S与，〃之间的函数关系式，并写出自变量，〃的取值范围；
2
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时的形状；若不存在， 请说明理由.
已知：在矩形AOBC中，03 = 4, 0/1 = 3.分别以OB, Q4所在直线为x轴和)，轴，建立如图所示的平面直
角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与B,。重合)，过F点的反比例函数 y = -(k>0)的图象与AC边交于点
x求证：△AOE与左BOF的面积相等；
(1) 记S = S^0EF -S^ECF ,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
(2) 请探索：是否存在这样的点F,使得将沿EF对折后，C点恰好落在08上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，清说明理由.
31. 如图，直角坐标系中，己知两点O (0,0), A(2,0)，点8在第一象限且△为正三角形，/\OAB的外接圆交》轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D. (1)求正,C两点的坐标；(2)求直线CD的函数解析式；(3) 设E, F分别是线段A8, AD±的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长.试探究：4AEF的最大面积？
如图，在平面直角坐标系中，己知点人坐标为（2, 4）,直线x = 2与工轴相交于点连结Q4,抛物线y = x2
从点。沿0A方向平移，与直线工=2交于点F,顶点归到A点时停止移动.（1）求线段Q4所在直线的函数解析式;（2）设抛物线顶点M的横坐标为〃7,①用所的代数式表示点P的坐标；②当所为何值
时，线段P8最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点Q,使（第24题）

（第24题）
的面积与的面积相等，若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.
32. 己知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为0（（）, 0）, A（10, 0）, B（8, 2占），C（0, 2^3）,点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB ±（记为点A'），折 痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；（1）求ZOAB的度数，并求当点A'在线段AB±时，S关于t的函数关系式；（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时， 求t的取值范围；（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。
33. 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0), A(6,0), C(0,3).动点Q从点。出发以每秒1个单位长2
的速度沿。C向终点C运动，运动一秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点。运动.当其中一点到达终3
点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为，(秒).(1)用含，的代数式表示OP, OQ； (2)当，=1时，如图1,将△OPQ沿PQ翻折，点。恰好落在CB边上的点。处，求点Q的坐标；(3)连结AC,将△OPQ沿FQ翻折，
得到△EPQ,

得到△EPQ,
图1
图2
如图，在 RtA/ABC 中，ZA = 90\ AB = 6, AC = 8, D, E 分别是边人 3, 方向运动，过点P作PQLBC于Q,过点Q作QR 〃曲交AC于
R,当点。与点C重合时，点P停止运动.设BQ = x, QR = y.
（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
AC的中点，点P从点。出发沿DE
A
（第24题图）
（3）是否存在点P，使左PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
34. 如图，在直角坐标系xQy中，点P为函数y = -x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(0,1),直线4
/过8(0,-1)且与x轴平行，过P作)，轴的平行线分别交x轴，/于C, Q,连结AQ交 x轴于H,直线PH交y轴于R. (1)求证：H点为线段AQ的中点；(2)求证：① 四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；(3)除P点外，直线PH 与抛物线y = -x2有无其它公共点？并说明理由.
4如图，在平面直角坐标系中，点C（一3,0）,点4 8分别在x轴，），轴的正半轴上，且满足+=
（1）求点人，点B的坐标.
（2）若点尸从。点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CZ?运动，连结AP.设的面积为S,点P的运动时 间为，秒，求S与，的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（3）在（2）的条件下，是否存在点P,使以点A, B, P为顶点的三角形与 △AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4 .如图9,在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2 +bx + c(a>^)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交
于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0), OB=OC , tanZAC0=-. (1)求这个二次函数的表达式.(2) 3经过C、I)两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点， 且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度.(4)如图1(),若点G (2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P运动 到什么位置时，AAPG的面积最大？求 出此时P点的坐标和AAPG的最大面
积.
如图13,己知抛物线经过原点。和x轴上另一点0,它的对称轴x=2与工轴交于点C,直线尸-2E经过抛物线上
—*点8(-2,〃?)，且与y轴、直线x=2分别交于点。、E.
(1) 求，〃的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2) 求证：①CB=CE :②。是BE的中点：
(3) 若P(r)，)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存 在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
39. 将两块大小一样含30。角的直角三角板，叠放在-•起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8, BC=AD=4, AC与BD相交于点E,连结CD.
(1) 填空：如图9, AC=, BD=:四边形ABCD是梯形.
(2) 请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3) 如图1(),若以AB所在直线为X轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持AABD 不动，将MBC向X轴的正方向平移到AFGH的位置，FH与BD相交于点P,设AF=t, AFBP面积为S,求S 与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
如图19-1, OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴
的正半轴上，OA = 5,
OC = 4 . (1)在OC边上取一点D ,
将纸片沿AO翻折，使点。落在BC■边上的点E处，求

D, E两点的坐标;
(2) 如图19-2,若AE上有一•动点P (不与A, E重合)自A 点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位 长度，设运动的时间为，秒(0 ＜，v5),过P点作印的平 行线交于点归，过点归作AE的平行线交。E于点 N .求四边形PMNE的面积S与时间f之间的函数关系式； 当，取何值时，S有最大值？最大值是多少？
(3) 在(2)的条件下，当f为何值时，以人M, E为顶点 的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标.
42.己知抛物线y = 3心2+2取+ c, （I）若〃 = /，=】，c = -l,求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（II）若a = b = \,且当-1VXV1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围：
（III）若a + b +c = 0 ,且耳=0时，对应的月＞0;心=1时，对应的光＞。，试判断当Ovxvl时，抛物线与x轴是 否有公共点？若有，清证明你的结论；若没有，阐述理由.
40. 如图1,已知四边形Q4BC中的三个顶点坐标为0（0, 0）, A（0, 〃），C（m, 0）.动点P从点。出发依次沿线段OA, AB, 8C向点C移动，设移动路程为z, ZkOPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m, 〃是常数，m> 1, 〃>0.
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O, C的抛物线），=心2+弘+。的顶点，且在双曲线y=—上时，求这时四边形O4BC的5x
（第25题）
41. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长 为12m,抛物线拱高为5.6m.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式.
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装儿扇窗户，窗户的底边在上，每扇窗 户宽1.5n】，高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的 点到抛物线的水平距离至少为（）.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户？

42. 如图10,己知点A的坐标是（一 1, 0）,点B的坐标是（9, 0）,以AB为直径作。0、交y轴的负半轴于点 C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.
（1）求抛物线的解析式：
（2）点E是AC延长线上一点，ZBCE的平分线CD交于点D,连结BD,求直线 BD的解析式：
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P,使得ZPDB=ZCBD?如果存在，清 求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
43. (1)如图1,图2,图3,在△ABC中，分别以AB, AC为边, BE, CD相交于点0.
向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形,
D
D
H
G
A
°；如图 2, ZBOC
R2
图3
m
①如图1,求证：△ABE丝△AOC；②探究：如图1,』BOC =
如图 3, ZBOC =
(2)如图4,已知：AB, A。是以AB为边向△ABC外所作正〃边形的一组邻边；AC, AE是以AC为边向△ABC外所作正〃边形的一组邻边.BE, C。的延长相交于点0.
①猜想：如图4,匕BOC =。(用含〃的式子表示)；②根据图4证明你的猜想.
图11
如图11所示，在梯形ABCD中，己知AB//CD, AD如DB, AD=DC=CB, AB=4.以人B所在直线为X轴，过。旦 垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系.（1）求ZDAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、。、C三 点的抛物线的解析式及其对称轴（3）若P是抛物线的对称轴L上的点， 那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明 理由）
44. 如图，把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒 子（纸板的厚度忽略不计）.

第25题图
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm\那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的 边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个 有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请 你说明理由.
5.如图11,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形1/仃和〃G摆放在一起，K为公共顶点，伊匕AG&", 它们的斜边长为2,若商以固定不动，MFG绕点、I旋转,AF、力。与边必的交点分别为〃、夙点D不与点B重合，点E 不与点C重合），设仞＞m, CD=x\.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求ni与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以△刀死的斜边网所在的直线为x轴，彻7边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图12）.在边砂 上找一点〃，使BACE,求出〃点的坐标，并通过计算验证BD^CE1 =DE2.
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2 =DE2是否始终成立，若成立,请证明，若不成立,请说明理由.
图11
图12

45. 我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：眼毋飨审的.（或杪潭的）.皿何囹形便审招芳的概富那回理.（成首 根誓回理构璋图形?,.牙如以研务例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交''的概念；若增加第三条直线，则 可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质"等问题（包括研究的思想和方法）.
请你用上面的思想和方法对卜面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆0所在平面上，放置：条直线〃（/〃和圆。分别交于点A、B）,根据这个图形可以提出的概念或问 题有哪些（直接写出两个即可）？
（2）如图2,在圆0所在平面上，请你放置与圆。都相交且不同时经过圆心的两条直线农和〃（知与圆。分别交于点• •••••• ••
A、B, 〃与圆。分别交于点C、。）.请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.
⑶如图3,其中人B是圆。的直径，AC是弦，D^ABC的中点，弦DELAB于点F.请找出点C和点犬重合的条件, 并说明理由.

46. 如图，己知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC, O为坐标原点，AB//X轴，8（-3,JJ）,现将纸片按如图折叠，AD, £>£•为折痕，^OAD = 30\折叠后，点。落在点Q,点C落在线段人8上的G处，并且。Q与。0 在同一直线上.（1）求G的坐标；（2）求经过三点。，G，C的抛物线的解析式；（3） 若口户的半径为R,圆心P在（2）的抛物线上运动，口户与两坐标轴都相切时，求 □ P半径R的值.
47. 如图9,在平面直角坐标系中，以点C(l,l)为圆心，2为半径作圆，交工轴于A, B两点,开口向下的抛物线经过 点A, B,且其顶点P在DC上.
(1) 求匕4CB的大小；
(2) 写出A, B两点的坐标；
(3) 试确定此抛物线的解析式；
图9
(4) 在该抛物线上是否存在一点。，使线段0P与C。互相平分？若存在，求出点。的 坐标；若不存在，请说明理由.

48. 如图12,己知二次函数图象的顶点坐标为C（1,O）,直线y = x + m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3, 4）, B点在轴），上.
（1）求〃2的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个 二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h ,点P的横坐标为x,求力 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
图12
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点 P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存 在，请说明理由.
53o如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD, AB=10, AD=6, BD=8,沿对角线BD把这张纸片剪成△ABD和△CB,%两 个三角形(如图(2)所示)，将△ABD沿直线A0方向移动(点&始终在ABi上，A也与CI)2始终保持平行)，当点A与&重 合时停止平移，在平移过程中，ADi与B2D2交于点E, B1与BD交于点F,
(1)当△ABD平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD.E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离为x,四边形BIDE的面积为y,求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD,E的面积的最大值:
(3) 连结BC(请在图⑶中画出)。当平移距离BB的值是多少时，△ BBF与八B.CF相似？
如图(十七)，将含30。角的直角三角板ABC (ZB = 30°)绕其直角顶点A逆时针旋转。解(0°<qv90°),
得到RtZXAOE, AO与BC相交于点M,过点M作MN // DE交AE于点N ,连结NC.设BC = 4, BM =x, 4MNC的面积为Sy，△ABC的面积为S△心.
(1) 求证：△MNC是直角三角形；
(2) 试求用工表示S&hnc的函数关系式，并写出工的取值范围；
(3) 以点N为圆心，NC为半径作□ /V,当直线AO与日N相切时，试探求与Se之间的关系；
① 当S^ml'Smbc时，试判断直线人。与□ N的位置关系，并说明理由.
54. 如图(18),在平面直角坐标系中，△ABC的边48在x轴上，且。4＞。们 以AB为直径的圆过点C.若点C 的坐标为(0,2), AB = 5, A、B两点的横坐标心，心是关于工的方程尸一(〃? + 2口+〃一1 = 0的两根.
(1) 求贞、n的值；
(2) 若平分线所在的直线/交x轴于点。，试求直线/对应的一次函数解析 式；
(3) 过点。任作一直线/'分别交射线CA、CB (点C除外)于点M、N .则—+ — 的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
CM CN图(18)

图(18)
解：(1) 以AB为直径的圆过点C,如图，AB是（DO的直径，点C在。0上，NB00108° ,过点C作直线CD分别交直线AB和。0于点D、E,连接0E,
DE=-AB, 01）=2。
2
（1）求ZCDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36。的等腰三角形称为黄金三角 形。它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比曳己。①写2
出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上 是否存在点P （点C、I）除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P,简要说明 画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由如图，矩形1网9中，AB = 8, BC=10,点户在矩形的边ZT上由〃向。运动.沿直线"翻折归 形成如下四 种情形.设DP= x, △/〔泌和矩形重叠部分(阴影)的面积为y.
D'
BC
乙
甲

(1) 如图丁，当点〃运动到与。重合时，求重叠部分的面积y；
(2) 如图乙，当点P运动到何处时，翻折昭后，点〃恰好落在边上？这时重叠部分的面积*等于多少？
(3) 阅读材料：己知锐角。夭45° , tan2a是角2a的正切值，它可以用角。的正切值tana来表示，即tan 2a =

tan 2a =
2 tan。
1-(tan ar)2
(好45° ).

根据上述阅读材料，求出用*表示y的解析式，并指出x的取值范围.(提示：在图丙中可设/DAP= a )
6. 己知抛物线y=ax+bx^c的顶点4在x轴上，与*轴的交点为8(0, 1),且 Hac.
(1) 求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在--点G使以及'为直径的圆经过抛物线的顶点4?若不存在说明理由：若存在，求出点。 的坐标，并求出此时圆的圆心点夕的坐标；
(2) 根据(2)小题的结论，你发现所P、「三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

第28题图
(第24题图②)
如图①，正方形函中，点、A、〃的坐标分别为(()，10), (8, 4),点6?在第一象限.动点P在正方形ABCD的边 上，从点』出发沿A-B-C-D匀速运动，同时动点。以相同速度在x轴上运动，当〃点到〃点时，两点同时停止运动, 设运动的时间为广秒.
⑴当户点在边/忻上运动时，点。的横坐标x (长度单位)关于运动时间1 (秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q
开始运动时的坐标及点尹运动速度；求正方形边长及顶点。的坐标；
(2) 在(1)中当［为何值时，△。用的面积最大，并求此时P点的坐标.
附加题：如果点R Q保持原速度速度不
变，当点〃沿A-B-C-D匀
速运动时，泌与国能否相等，若能，写出所有符合条件的「的 值；若不能，靖说明理由.
如图，六边形ABCDEF内接于半径为技常数)的。0,其中AD为直径，且AB=CD二DE二FA.
(1) 当ZBAD=75°时，求陇的长；
(2) 求证：BC〃AD〃FE；
(3) 设AB=n求六边形ABCDEF的周长L关于*的函数关系式，并指出x为何值时, L取得最大值.
⑴连结 OB、0C,由ZBAD=75°, OA=OB 知/AOB=30。，
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这 条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12,点A、B、C、O分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，己知点。的坐标为(0, -3), A8为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的