走下神坛的-抽象代数.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,走下神坛的,抽象代数,李尚志,北京航空航天大学,2024/11/26 周二,抽象代数课程教什么,?,考什么,?,微积分,线性代数有计算,抽象代数没有,?,既然叫抽象,就是没有例子,?,有证明。太难,课时不够,删去,!,还剩什么,？,死记硬背！,九阴真经,:,努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔,小学程度就可以背诵和考试,!,谁是山寨版,?,2024/11/26 周二,抽象代数一定要从公理开始,?,公理是什么,?,许多不同东西的共同点,.,公理化方法,:,描述性,(,非构造性,),定义,样板,:,几何,(,欧几里德,)-,代数,(,抽象代数,),群,环,域的公理内容,:,1.,对加、减、乘、除的封闭性,2.,解释什么是加、减、乘、除,加法：,向量空间前,4,条公理,=,交换群的运算,乘法：,结合律,(,群的公理,),对加法的分配律,(,环的公理,),Prof.zhang,教学法,:,通过有招学无招,无招胜有招,:,案例,公理,案例,2024/11/26 周二,案例,1,.,三阶幻方以一变多,旋转,轴对称,共有多少个？,按,2,的位置分,4,组,.,每组,2,个,.2,4=8,正方形的,对称群,2024/11/26 周二,正多边形与正多面体,正三角形的对称群,三角形数谜一变多,2,3=6,S,3,正方体的旋转群,3,8,个顶点,=24,4,6,个面,=24,2024/11/26 周二,公理化,:,群,子群,陪集分解,以正方体旋转群,G,为例,.,G,按,6,个面,1,6,分组,第,i,组,G,i,=g|g1=i,g,a,在同一组,g1=a1,a,-1,g1=1,a,-1,g,G,1,g,a,G,1,.,G,i,=aG,1,.,由,a,可逆得,:,h,1,h,2,ah,1,ah,2,|G,i,|=|,G,1,|,i=1,6,.|G|=6|G,1,|.|G,1,|,整除,|G|.,推广,:,G,对除法封闭,总可,计算,a,-1,g,“,同组,”,等价性,=G,1,含,1,对求逆,乘法封闭,群,G,分为子群,G,1,的陪集,aG,1,|,G,1,|,整除,|G|,.,2024/11/26 周二,案例,2.,复数的几何与矩阵模型,i,2,=-1:,左转两番朝后方,平面向量,v,(-1)v,后转,(180,o,),记,viv,为左转,(90,o,).,则,i,2,=-,1.,域同构,:,复数,平面线性变换,矩阵,i,左转变换,i,a+bi a,1+,b,i,2024/11/26 周二,案例,3.,平面旋转群,R,旋转,a,:v(cos,a,)v+(sin,a,)(iv),(cos,a+,isin,a),n,=,cosn,a+,isinn,a,(,棣美弗公式,),f:,R,R,a,e,i,a,=,cos,a+,isin,a,f(a+b)=f(a)f(b):,(,群同态,),K,er,f=f,-1,(1)=2pZ.,R,/2pZ,R,(,群同构,),2024/11/26 周二,案例,4.,单位根群,单位根,:,1,的,n,次方根,.,x,n,=1,的根,.,f(a),n,=1,n,a=2,k,p a=2,k,p/,n,1,w,w,2,w,n-1,w=,cos(,2p/,n,)+,isin(,2p/,n),n,阶循环群,w,=,1,w,w,2,w,n-1,f:Z,w,k,w,k,f(k+r)=f(k)f(r),Ker,f,=nZ,Zn=Z/nZ,w,2024/11/26 周二,案例,5.,x,n,-1,的,因式分解,复数范围,:,x,n,-1=(x-1)(x-,w,)(x-,w,n-1,),有理数范围,:,以,x,15,-1,为例,1,w,w,2,w,14,在乘法群中的阶,d|15,同阶,d=1,3,5,15,复因子相乘得,F,d,(x),F,1,(x)=x-1.,F,3,(x)=(x,3,-1)/(x-1)=x,2,+x+1.,F,5,(x)=(x,5,-1)/(x-1)=x,4,+x,3,+x,2,+x+1,F,15,(x)=(x,15,-1)/(,F,1,(x),F,3,(x),F,5,(x),分圆多项式,F,d,(x),2024/11/26 周二,有限域,:5,最,PK,3,最,1,抽象代数最后一课,2,最难,3,最不应当考,1,最有用,:,信息安全大显身手,2,最有味,:,抽象代数味道,3,最易懂,:,小学生可以懂,!,4,最先讲,:,可在第一课第一分钟,!,5,最应当考,:,首选第一题,!,2024/11/26 周二,案例,6.,三阶幻方全推导,各行和,=,(1+9)/3=15,中心,=(154,45)/(4,1)=5,奇偶按角边,:,第一行和,=,第一列和,:,a1+a2+a3,a1+b1+c1,a2,b1,边,=,奇,:,a1+a2+a3,1,a2,1,边,=,奇,角,=,偶,2024/11/26 周二,案例,7.,奇与偶的算术,-,二元域,曾肯成问题,:,随机整数行列式等于奇数与偶数的概率,.,奇偶数加减乘公式,:,偶,偶,=,偶,偶,奇,=,奇,奇,奇,=,偶,;,整,偶,=,偶,奇,奇,=,奇,.,用,0,1,表示,:0,0=0,0,1=1,1,1=0;,a,0=0,1,1=1.,二元域,Z,2,=0,1.,注意,1+1=0,a-b=a+b.,2024/11/26 周二,D=ad-bc,为奇数的概率,情况,1.,ad=1,bc=0,a=d=1,(b,c)=(0,0),(0,1),(1,0),情况,2.,ad=0,bc=1,b=c=1,(a,d)=(0,0),(0,1),(1,0),共,6,种可能,概率,=6/16=3/8,D,为偶数的概率,=1-3/8=5/8,Z,2,上的,2,阶行列式,2024/11/26 周二,GL(2,2):,Z,2,上,2,维空间,V,共,3,个非零向量,v,1,(1,0),v,2,(0,1),v,3,(1,1),任何两个线性无关,每个置换都是可逆线性变换,上述矩阵右乘分别得,(1),(23),(12),(123),(13),(132).,GL(2,2),S,3,Z,2,上可逆矩阵群,2024/11/26 周二,数域上的线性代数定理,:,detA=1,A,可逆,行线性无关,茅台换矿泉,:,也适合于二元域,Z,2,第,1,行,:A,1,0,2,n,-1,个选择,第,2,行,:A,2,l,A,1,2,n,-2,个选择,第,k+1,行,:A,k+1,l,1,A,1,+,l,k,A,k,2,n,-2,k,个选择,共有,(,2,n,-1)(2,n,-2,2,)(2,n,-2,n-1,),个,概率,=(1-1/2,n,)(1-1/2,n-1,)(1-1/2),Z,2,上,n,阶行列式,2024/11/26 周二,案例分析：,“,假零”性质,a,b,ab,的奇偶性只与,a,b,奇偶性有关,:,a,b=(r+,偶,),(s+,偶,)(,结合,交换）,=(r,s)+,(,偶,偶,)=(r,s)+,偶,ab=(r+,偶,)(s+,偶,),（分配,),=rs+(r,偶,+,偶,s+,偶,偶,)=rs+,偶,“假零”性质,:,O,1.,偶,偶,=,偶,O,2.,整,偶,=,偶,真零性质,:,0,0=0,数,0=0,只考虑奇偶性,:,可以将偶数当作,0.,2024/11/26 周二,公理化：环,理想,商环,环,D,：,对加、减、乘封闭,加、减、乘的合法性条件：,加法,:,结合律,交换律,零,负元,减法,:,a-b=a+(-b),(a-b)+b=a.,乘法,:,结合律,对加法的分配律,理想,Q,:,D,的子集,满足,“,假零,”,性质,O,1,O,2,记,a-b,Q,为,a,b(mod,Q,),可按等式计算,商环,:,D/,Q,=,同余类集合,a=a+,Q,定义加,减,乘,:,a,b=a,b,ab=ab.,2024/11/26 周二,案例,8.,Z,n,-,单表密码,Z,n,=,Z/nZ=r+nZ|r=0,1,n-1.,加法密码,:,Z,26,:f(x)=x+b.,仿射密码,:,f(x)=ax+b,a,可逆,.,可逆元与反函数,.,例,:,y=3x+5,9,3=27=1,9=3,-1,x=9(y-5).,可逆条件,:(a,n)=1,存在,au+nq=1,au=1,u=a,-1,.y=ax+b x=a,-1,(y-b),Z,n,中可逆元组成乘法群,Z,n,*,2024/11/26 周二,案例,9.,p,元域,Z,p,上可逆阵,素数,p:Z,p,*,=,Z,p,0.,Z,p,是域,.,Z,p,上的,n,阶可逆方阵个数,|GL(n,p)|=(p,n,-1)(p,n,-p,k,)(p,n,-p,n-1,),随机整数,n,阶行列式模,p,余,r,概率,r=0:P,0,=1-|GL(n,p)|/p,n2,r,0,f:GL(n,p),Z,p,*,AdetA.,案例分析,正规子群,同态基本定理,2024/11/26 周二,案例,10.,极限与微分,博士生,2010,考题,.,在一点,a,连续的全体实函数构成环,C,O(,D,x)(,无穷小,),与,o(,D,x)=O(,D,x),D,x,都是,C,的理想,.,lim,xc,f(x)=A,f(x),A(mod,O(,D,x),f(x),f(a)+f(a),D,x,(mod,o(,D,x),和差积商极限,:,f(x),A,g(x),B,加减乘除,幂的导数,:,(x+,D,x),n,x,n,+nx,n-1,D,x (x,n,),=nx,n-1,积的导数,:,f(x)g(x),f(a)g(a)+(f(a)g,(a)+g(a)f,(a),D,x,商的导数,:,2024/11/26 周二,案例,11.,分数化小数,-,循环节长度,数学聊斋,:,商家打折,:1428,元,?,a=1/7=0.142857,循环节,D=10,6,a-a=142857=(10,6,-1)/7.,q/p=a,的循环节,D=(10,d,-1)q/p=,整数,.,最小的,d,使,10,d,q,q(mod p),当,p,是素数,(,2,5),10,d,1,(mod p),D,是,10,在乘法群,Z,p,*,中的阶,整除,p-1,混循环,:(10,d,-1)10,k,q,0(mod p),.,2024/11/26 周二,案例分析,乘法群元素的阶,例,:q/7.10,k,(k=1,2,),模7,余,3,2,6,4,5,1,，,d=6.,循环节,D=q(10,6,-1)/7=142857q.1/7=a=142857,对,k=1,2,5,10,k,a-q,k,=(10,k,-7q,k,)/7=r,k,/7,。,将,D,前,k,位移到末尾,得到,D,的,r,k,(=3,2,6,4,5),倍。,推广：,1/a,的循环节轮换排列都得到,D,的,r,k,倍。,仅当,d=n-1,时得到所有各倍,循环群的生成元,另例,:1/17=0.0588235294117647,。,1/19=,更多性质：,142+857=999,，,14+28+57=99,。,2024/11/26 周二,案例,12,.,复数的代数模型,域扩张,2024/11/26 周二,案例,12,.,复数的代数模型,域扩张,环同态基本定理,已经找到矩阵,J,满足,J,2,+I=0,。,环同态,f,:RxRJ,f(x)f(J).Ker,f,=,f,-1,(0)=(x,2,+1).,每个,aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x,2,+1)|q(x),Rx,商环,C=Rx/,(,x,2,+1)=a+bx|a,b,R,0=x,2,+1=x,2,+1 x,2,=-1,。,a+bx,0,与,x,2,+1,互素,在,C,中可逆,.C,是域,.,记,1=1,x=i,则,i,2,=-1.C=a1+bi|a,b,R=,复数域。,直接为,x,2,+1,造根,:,不需先猜,J,2,+I=0,。,在,Rx,中强制规定“假零集合”,Q,=,0=,x,2,+1.,则,Q,=,(x,2,+1),由,x,2,+1,的所有倍式组成,.C=Rx/(x,2,+1),线性变换,:a+bxxa+bx,在基,1,x,下的矩阵,满足条件,J,2,=-I.,2024/11/26 周二,推广,.,域的代数扩张,无中生有,:,为域,F,上多项式,f(x),造根。,强制规定,f(x)=0:,在,Fx,中生成理想,(f(x).,同余类环,E=Fx/(f(x),中,f(x)=0,x,是根,.,f(x),在,Fx,中不可约,:,E,是,F,的代数扩域,.,设,d=deg f(x),则,E,是,F,上,d,维空间,E:F=d.,造矩阵根,:,F,上线性变换,g(x)xg(x),在基,1,x,x,d-1,下的矩阵,J,是,f(x),的根。,f(x),可约,:,不可约因子,h(x),在扩域,E=Rx/(h(x),中有根,也是,f(x),的根。,同构,:,h(x),在扩域,M/F,中有根,w,则,s,:EM,g(x)g(w),为域同构,.,自同构：,s,Gal(E/F)g(w)g(u),w,与,u,为,h(x),的任意两个根。,2024/11/26 周二,案例,13.,m,序列,有限域的扩张,Z,2,上线性移位寄存器序列,u,1,u,2,u,m,满足条件,u,k+n,=c,1,u,k+n-1,+c,n,u,k,.,m,序列,:,选,c,1,c,2,c,n,达到最大周期,N=2,n,-1.,(u,k+1,u,k+n,)=(u,k,u,k+n-1,)A,状态转移矩阵,A=,A,的最小多项式,m(x)=x,n,-c,1,x,n-1,-c,n-1,x-c,n,.,(u,k+1,u,k+n,)=(u,1,u,n,)A,k,取遍非零状态,.,如果,B=f(A)=a,1,A,n-1,+a,n-1,A+a,n,I,不可逆，,2024/11/26 周二,如果,B=f(A)=a,1,A,n-1,+a,n-1,A+a,n,I,不可逆,则有,U,k+1,=(u,k+1,u,k+n,),0,使,U,k+1,B=0,0=U,k+1,BA,m,=U,k+1,A,m,B=U,k+1+m,B,对所有,m.,U,k+1+m,包括,Z,2,上所有的非零,n,维行向量,.,这迫使,B=0.,说明,Z,2,A,中非零元都可逆。,Z,2,x/(m(x),Z,2,A,是域,包含元素,2,n,个。,反过来,找,2,n,元有限域,其乘法群的生成元的最小多项式,m(x)=x,n,-b,1,x,n-1,-b,n-1,x-b,n,.,取,(c,1,c,2,c,n,)=(b,1,b,2,b,n,),即得,m,序列。,案例分析,:,(1),q,元有限域存在,q,是素数幂,p,n,。,(2),有限域的乘法群是循环群。,更多案例,数学聊斋,:,指路为马之幼儿版,-,构造纠错码,-,二元域上的线性方程组,正,17,边形作图,-Galois,理论,实数域的代数扩张,-,代数基本定理,2,次、,3,次、,4,次方程的求根公式,n,次方程的求根公式。,教学录象,1.,教育部,2006,线性代数,2.,精品课程,高等数学,教学录像,数学大观,教学录像,1-9(,共,9,小时,),3.,李尚志,:,教育人生,线性代数,教学成果奖申请视频材料,博 客,高教社,