2015高考真题——课标Ⅰ卷理科.doc

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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标Ⅰ卷
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数满足，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：由得，，故，故选A.
考点：1.复数的运算；2.复数的模.
（2）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：原式=，故选D.
考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式
（3）设命题N，，则为
（A）N， （B）N，
（C）N， （D）N，
【答案】C
【解析】
试题分析：:N，，故选C.
考点：特称命题的否定
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为，故选A.
考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式
（5）已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点．若，则的取值范围是
（A） （B） （C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】
试题分析：由题知，，所以
，
解得，故选A.
考点：向量数量积；双曲线的标准方程
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
【答案】B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为，则，即，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B.
考点：圆锥的体积公式
（7）设为所在平面内一点，，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：由题知=，故选A.
考点：平面向量运算
（8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为
（A）Z （B）Z
（C）Z （D）Z
【答案】D
【解析】
试题分析：由五点作图知，解得，，所以，
令，Z，解得＜＜，Z，故单调减区间为（，），Z，故选D.
考点：三角函数图像与性质
（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
【答案】C
【解析】
试题分析：执行第1次，,，，，，，，＞？是，循环，
执行第2次，，，，＞？是，循环，
执行第3次，，，，＞？是，循环，
执行第4次，，，，＞？是，循环，
执行第5次，，，，＞？是，循环，
执行第6次，，，，＞？是，循环，
执行第7次，，，，＞？否，不循环，故选C.
考点：程序框图
（10）的展开式中，的系数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：在的5个因式中，2个取因式中，剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.
考点：排列组合；二项式定理
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
【答案】B
【解析】
试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为

解得，，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
（12）设函数=，其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】
试题分析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.
因为，所以当时，＜，当时，＞0，所以当时，.当时，=，，直线恒过斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
【解析2】
由题意知不等式有且只有一个整数解，当时，所以为的解，则，即，故，当时，由知，，即当时，；当时，，所以在上为减函数，故当时，，故仅当时，有且仅有一个整数解，故选D.
考点：导数的综合应用
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若函数为偶函数，则___________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题知是奇函数，所以，解得.
考点：函数的奇偶性
（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________________.
【答案】
【解析】
试题分析：设圆心为，则半径为，则，解得，故圆的方程为.
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
（15）若满足约束条件则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为.
考点：线性规划解法
（16）在平面四边形中，∠∠∠°，，则的取值范围是________.
【答案】（，）
【解析】
试题分析：如图所示，延长，交于，平移，当与重合与点时，最长，在△中，∠∠，∠，，由正弦定理可得，即，解得=，平移，当与重合时，最短，此时与交于，在△中，∠∠，∠，由正弦定理知，，即，解得，所以的取值范围为（，）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为数列的前n项和.已知＞，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用裂项相消法求其前项和.
试题解析：
（Ⅰ）由，可知.
可得 ，即
因为，所以.
又 ，因为，所以=3，
所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，通项公式为. ……6分
（Ⅱ）由可知，，
设数列{}前n项和为，则

． …12分
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；裂项相消法
（18）如图，四边形为菱形，∠°，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，.
（Ⅰ）证明：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】见解析（Ⅱ）
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）连结，设，连结
在菱形中，不妨设由，可得
由⊥平面，，可知又，所以，且
在Rt中，可得，故
在Rt中，可得
在直角梯形中，由，，，可得 ……6分
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得，，，，所以，. ……10分
故.
所以直线与所成的角的余弦值为. ……12分
考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中，.
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率与的关系为.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，.
【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型
（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.…2分
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程.由于
，
，
所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为. ……6分
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值
，
年利润的预报值
……9分
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值

所以当，即时，取得最大值.
故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大. ……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点．
（Ⅰ）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有∠∠？说明理由.
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N处的切线方程 .
（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0，即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为
，即.
在处的导数值为，在点处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或. ……5分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设为复合题意得点，，，直线的斜率分别为.
将代入得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故∠=∠，所以点符合题意. ……12分
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）.
（Ⅰ）当a为何值时，轴为曲线的切线；
（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即
，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分
（Ⅱ）当时，，从而，故在（1，+∞）无零点.
当时，若，则，,故是的零点；若，则，,故不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点.
（ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取得最小值，最小值为.
①若＞，即＜＜，在无零点.
②若，即，则在有唯一零点；
③若＜，即，由于，，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点. ……10分
综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ……12分
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22）（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，交⊙于点.
（Ⅰ）若为的中点，证明：是⊙的切线；
（Ⅱ）若，求∠的大小.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）°
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）连结，由已知得，，.
在Rt中，由已知得，，故.
连结，则.
又，所以，故，是⊙的切线.…5分
（Ⅱ）设，，由已知得，.
由射影定理可得，，所以，即.
可得，所以∠.
考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线:，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（R），设与的交点为,，求的面积.
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ……5分
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，故，即.
因为的半径为1，则的面积. ……10分
考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得.
所以的解集为.
（Ⅱ）由题设可得，
所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为.
由题设得，故.
所以的取值范围为.
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法

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