“数学与思维”（续6）.pdf

概率论初步前面所讲的逻辑推理适用在确定性的环境中，如果怎样就必然怎样.而我们所处的世界中充满着不确定性，而且在许多情况下这种不确定性变得不能够被忽视.研究这种不确定性环境下的认知就变得越来越重要.就我们现在的观点看，概率论在许多情况之下比确定性的因果论更加重要.中学数学中我们应该已经接触了概率的基本概念，这里我们要更进一步.我们还是从中学里讲过的古典概型开始.古典概型指的是这样一种随机试验，它一共会有n个不同的结果出现，而且每一种结果的出现是等可能的，也就是说每种结果出现的概率是一.例如掷殷n子，它的六个面上分别有1到6 个点，殷子掷出落到桌面上停下来之后，向上一面的点数就是掷殷子的结果.如果殷子做得很标准的话，每1一面向上的机会是相等的，概率都等于图1般子的六个面为了简单起见，我们研究的问题只有有限多种可能的结果，我们用Q表示由所有可能的结果组成的有限集合，它被称为问题的基本事件空间,其中的每一个元素E代表的是可能出现的结果，它们也叫作基本事件.所关心的事件E是的一个子集，而事件E发生指的是结果落在这个子集中.我们将事件E发生的概率定义为#EP(E)#2这个定义保证了每一个基本事件发生的机会相等,因为结果发生的概率是P（(）=#01这样的概率空间就是中学数学讲#Q的古典概型。有时候概率不是那么好理解的，这很可能是我们固有的一个认知困难.我们来看一个叫作蒙题霍尔问题的例子.这个问题是塞尔文在写给美国统计学家的编辑的一封信中提出来的.霍尔是美国著名电视主持人，问题取这个名字是因为塞尔文将霍尔编进了他的故事.霍尔当时主持一个很火的娱乐节目，节目最后有一个节目参与者的抽奖环节.塞尔文说霍尔将一件奖品放入三个空盒子中的一个，让抽奖人选一个盒子.抽奖人选中一个盒子之后，霍尔打开他手中的一个空盒，并问抽奖人是否确定奖品在自己手中的盒子里，是否要改变选择将手中的盒子与留下来的那个依旧关闭着的盒子互换.问题是抽奖人应该如何选择？最初的感觉可能认为抽奖人是否换盒子都无所谓.实则不然，因为霍尔并不是随意打开一个盒子，他清楚地知道打开的那个盒子是空的.如果抽奖人聪明的话，可以利用这点信息来获得更好的结果.简单的看法是：如果坚持自己的选择，那么只有礼物在自己选中的盒子里才能中奖，所以中奖的概率是亏；而如果3换的话，只有礼物在自己最初选中的盒子里时2才不中奖，所以中奖的概率变成了3这个问题在美国非常著名.原因是一个名叫玛丽莲沃斯莎凡特的专栏作家，据说她很长时间保持着智商最高女性的世界记录（1I Q=2 2 8），而这个测试结果是她在10 岁时得282023年第8 期数学教学到的.在大观（Parade）杂志上，她有一个专栏问问玛丽莲.19 9 0 年她在这个专栏中讲到了这个蒙题霍尔问题，并给出了正确的答案.谁知道这次让玛丽莲火了一把，她的读者们反映激烈.她说大概收到了1万封读者来信，而且其中9 2%的人认为玛丽莲错了，而且错的离谱.这些人中还包括了不少愤怒的数学家.据说厄多斯知道这件事也不相信这个结果，直到他的同事给他看了计算机模拟的结果之后，他才勉强承认.大众对这个问题的反应或许能够说明“我们大脑的构造天生就不能很好地处理概率问题”。据说，下面的问题是经济学家冯米塞斯向数学家提出的.如果房间里有n（36 5）个人，他们的生日两两不同的的概率有多大？这n个人每人独立选择生日的做法有36 5 种，这是所有可能结果的总数.我们关心的事件E是每人选择的生日不同：第一个人可以在36 5天中任选一天作为他的生日，这天选走之后，第二个人就只能在剩下的36 4中选一天作为自已的生日了；依此类推，所以n个人选择不同生日的结果总共有36 5(36 51)（36 5n+1)种.所以几个人生日两两不同的概率是365364365-n+1P(E)3653653651n365365准确计算上面式子的值并不那么容易，但我们可以做如下的估计.根据AMG M 不等式，a+bab所以上面的概率应该不超过365-n/2)n-1P(E)365当n=23时，生日两两不同的概率不超过49.5%，或者说，至少有两人有相同生日的概率大于50.5%；如果n=50，那么生日两两不同的概率不超过3.1%,反过来看的话，在一个50个人的班级里，至少有两位同学生日相同的概率大约是9 7%.看上去这是一个游戏，但它的确真实发生了.加拿大彩票有不少无人认领的弃奖，尽管多数是几个加元的小奖，累积起来却是一个不小的数目.彩票管理部门准备将这些钱还给彩民们.他们买了50 0 辆汽车作为奖品.还编了一个计算机程序，从2 40 万个彩票订户号中随机抽取1个获奖号码.将这个程序反复运行50 0次.结果出来之后，号码也没有排序就公布了.让彩票管理部门的人大跌眼镜的是有位彩民居然中了两次奖.这实际上就是上面所讲的生日问题.程序每生成一个号码相当于给一辆车在“一年”的2 40 万“天”中随机指定一个“生日”，结果是50 0 辆中有2 辆车有相同的生日.按照前面的计算，50 0 辆车的生日两两不同的概率不超过2,400,000-500/2)500-195%,2,400,000换句话说，如果这样抽奖的话，至少有5%的可能某位彩民可以得到两辆车.这个5%的概率不小了，而且还让彩票管理部门给碰上了.这个结果真的是反直觉的，所以有人也称这个问题为“生日论”按照古典概型的定义，概率有下面这些性质：1）任意事件E发生的概率0 P（E），也就是说，概率总是非负的.2）如果E、F是两个不交的事件，那么#(EUF)=#E+#F,所以P(EUF)=P(E)+P(F),这叫作概率的可加性。3）对整个基本事件空间来讲，P（Q）=1；这一条件也叫作归一化条件.要注意的是可加性2)是有条件的，它要求两个事件不交.对于多个两两不交的事件E,，E k，从2)出发可以得到：2*)P(E,U.UEk-1 UE.)=P(E,U.U Ek-I)+P(Ex)=P(E,)+.+P(Ek-I)+P(E.)=2 P(E.),根据1)和3），我们知道EnE=，而且EUE=,所以P（E）+P（E）=P（=1即42页上接第8222222-832023年第8 期数学教学4)P(E)=1-P(E).作为一个推论，我们有P（）=1-P（）=0.另一方面,由于P（E）0,所以5)P(E)1.假定ECF，那么我们可以将F写成EU(FnE）,这样一来，P(F)=P(E)+P(FnE)P(E),也就是说，我们有也就是说，我们有6）如果ECF,那么P（E）P（F),这个不等式也叫作单调性如果不假定EF=的话,我们有EUF=(EnF)UF,当然(EnF)nF=O,所以P（E U F)=P（E n F）+P（F);另一方面E=(EnF)U(EnF),而且(EnF)n(EnF）=,所以,我们还有P（E）=P（E nF）+P（E n F).将这两个公式放在一起,我们就得到7）对于任意事件E、F,我们有容斥公式：P(EUF)=P(E)+P(F)-P(EnF),显然，容斥公式比可加性更加一般些.用数学归纳法，很容易将7)推广到有限个集合的情形：7*)P(E,U.UE)2P(E.)-P(E,nE,)三ij+.+(-1)*-P(E,n.nE.).一个值得注意的事情是在推导性质4），5），6），7)和2*），7*）的时候，我们仅用了性质1），2），3），并没有回到原来古典概率的定义.不像绝大多数数学分支那样有着高贵的血统，例如微积分起源于对天体运动的理解，概率论起源于赌博，并不十分光彩.但概率论像明始祖朱元璋那样，出身卑微，之后却显赫一世.由于这个原因，许多概率学家经常自嘲，在概率论课程中依旧保留着许多以赌博为背+-:景的例子，并将此当作一个传统.扑克牌的一种玩法叫梭哈。一副除去大小王的牌，给每人发5张，然后比大小.从一副牌中抽取5张一共有Cs2=2598960种不同结果.抽得的5张牌是炸弹的总数是1348=6 2 4.想象着先拿4张炸弹，这一共有13种取法，最后一张牌可以在剩下的48 张牌中任意取.所以得到炸弹的概率是2.40 110-4.而得到5张牌是同花顺的所有数目是410=40.这可以想成是先选花色，再选连续5张的牌.同花顺出现的概率大约是1.539 10-，比拿到炸弹的概率要小，也就是说更不容易，所以要大一些.我们可以一一计算俘哈，同花，的概率，概率越小，牌就越大.这也是规定牌大小背后的概率论依据。当然，由于没有进行过考证，最初这样规定依据的是经验还是概率，就不得而知了.就个人的看法，应该是经验导致这样规定的可能性要大一些.在进一步的讨论之前，我们要延拓古典概型的概念.我们的基本事件空间依旧是一个由有限多个基本事件组成的有限集合=w1，,.我们要放宽的条件是不再要求每个基本事件发生的概率相同.我们假定P（；）=P;，如果还希望1），2）和3）成立的话，就应该假定P；0 和2P.=1n=并定义P(E)=W;EE实际上，这样的定义也保证了1），2）和3）的成立.与前面一样的推理，只要1），2)和3）成立，概率的那些基本性质3），4），5），6），7）和2*），7*）都成立.实际上，上面的1），2)和3）也称为有限概率空间的公理。（未完待续）(Z即为“权方和不等式”，这里就不赞述了