中考数学专题探究 面积问题2含详细解答.doc

中考数学专题----面积问题（2）
面积倍分问题
面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。
中考数学面积问题的考点主要有：（1）面积的函数关系式问题；（2）面积的最值问题；（3）面积的倍分问题。前二个考点在上次的专题中已经讲过，今天我们来探究面积的倍分问题。
一、典型例题：
1、（2007江苏扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
分析：问题（1）比较容易解答，问题（2）利用三角形相似的性质也容易解决，问题（3）需要利用 BM=BN=t,利用面积相等求出t和a的关系式，利用t的范围求a的取值范围，问题（4）只需要在问题（3）的基础上，让梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可。
解．（1），
（2），使，相似比为
（3），
，即，
当梯形与梯形的面积相等，即
化简得，
，，则，
（4）时，梯形与梯形的面积相等
梯形的面积与梯形的面积相等即可，则
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的
面积相等．
温馨提示：本题考查与面积有关的问题，解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解，另外，在解决这一类问题时，要善于运用数形结合的思想，把几何条件转化，建立合适的数学模型，本题就充分运用了方程的思想。
二、名题精练：

B
O
A
P
M

（第24题）
1、（2008年浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△ 的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（第28题）
2、（2010年江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
　（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形 是等腰梯形；
（第28题2）

（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2009湖南邵阳）如图、直线l的解析式为y＝－x+4,　它与x轴、y轴分相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0<t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN,记　△MPN和△OAB重合部分的面积为S2　；
　 当2<t≤4时，试探究S2　与之间的函数关系；

x
y
l
m
O
A
M
N
B
P
x
y
l
m
O
A
M
N
B
P
E
F

　 ‚在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2 为△OAB的面积的？　　
答案部分：
1、解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短.
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.……………（1分）
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.

D

O
A
B
P
M

C
E
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
2、解：（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形
(3) 存在，
由题意得：
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1)
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=．
E
F
Q1
Q3
Q2

3、解：（1）当时，；当时，．；
（2），
（3）①当时，易知点在的外面，则点的坐标为,
点的坐标满足即，
同理，则，
所以
；
②当时，，
解得两个都不合题意，舍去；
当时，，解得，
综上得，当或时，为的面积的．