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切线长定理
——教案设计
1、教材分析
（1）地位分析
切线是直线，它是无限长的。为了研究切线的一些特性，需要定义切线长。切线长是用线段的长来定义的。切线长定理是属于工具类知识点，它再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，并且经常应用，所以它是“直线和圆的位置关系”中的重点内容之一。
（2）重点、难点分析
重点：切线长定理及其应用
难点：将切线长定理作为解题工具灵活运用
2、教法分析
（1） 切线长定理及定理应用需要一课时；
（2） 教学过程以“猜想与证明、归纳与应用”的活动式方式进行，以学生推理论证为主，教师提问引导为辅；
（3） 注重切线长定理基本图形的研究与积累。
教学目标：
1、理解切线长的含义，掌握切线长定理；
2、通过对切线长定理及基本图形的分析，提高学生的观察能力和思维能力，培养学生的化归思想；
3、通过对定理的灵活应用，激发学生的学习兴趣，增强学生的数感。
教学重点：切线长定理
教学难点：切线长定理基本图形的归纳与应用
教学过程：
活动1：
提问：过圆上一点作圆的切线只能作一条，过圆外一点作圆的切线能作几条？
（学生演板结果，教师引导学生观察、分析图形并引出切线长的定义）
定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
如图（1）,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长.
图（1）
（教师引导学生观察图形并归纳注意知识点）
1． 切线和切线长是两个不同概念，切线是直线，是不能度量的，切线长是线段的长，是可以度量的；
2． 切线长的两个端点分别是什么？

活动2：
提问：如图（2）,通过观察说明 PA与PB ，∠OPA与∠OPB有什么关系？怎样证明？
图（2）
活动过程：
1．学生自主完成猜想和证明；
2．组织学生相互交流结果；
3．教师引导学生分析出切线长存在的结论；
4．师生共同归纳出切线长定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5.切线长定理的基本图形研究
    如图（3）,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点，直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C
图（3）
(1)写出图中所有的相等关系，包含线段相等、角相等、弧相等;
(2)写出图中所有的垂直关系;
(3)写出图中所有的全等三角形和相似三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
小结：切线长定理的基本图形是“直线和圆的位置关系”中的重要基本图形，它是灵活应用切线长定理的基础。

活动3：
例题1：如图（4）,PA,PB是⊙O的两条切线,EF切⊙O于C，交PA于点E，交PB于点F，若PA=8cm，则△PEF的周长=
图（4）
分析：由图形观察, P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点，可得PA=PB，
同理可得EA=EC、FC=FB，则△PEF的周长实际等于2倍的PA长，即16cm。
（学生板书解答过程）
体验：切线长定理的灵活应用使学生进一步加深了知识，同时提高了兴趣。

例题2：如图（5），AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm，则BC=
图（5）
分析：由条件AB∥CD可得∠ABC+∠DCB=180°，观察图形，可得切线长定理的基本图形，较易得OB、OC分别平分∠ABC和∠DCB，由此推出∠BOC=90°，则BC可求。
（教师引导，学生交流，师生共同完成）
体验：切线长定理基本图形的理解与掌握为解题提供了有效工具，解答过程中不仅让学生体验到了它的实效性，而且培养了学生灵活应用知识的能力。

练习1：如图（6），直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，0为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O切AB于D点，则OD=
图（6）
（解略）

练习2：如图（7），PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点，点C在⊙O上，若∠P=50°，则∠ACB=
图（7）
（解略）
活动4：
1．课堂小结：
（1）回顾知识点
① 切线长的定义，切线长与切线的区别
② 切线长定理的具体内容
（2）切线长定理基本图形的结论
（3）数学方法和数学思想的归纳
3． 作业：
教材P110习题24.2第5题
补充习题：
如图（8），已知AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于点D、B.
求证：OC∥AD
图（8）