插值计算与插值多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第6章插值计算与插值多项式,Lagrange插值,(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)；,牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质;,埃尔米特(Hermite)插值公式及余项；,等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。,1,插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：,插值问题,：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,2,y=f,(,x,),y,=,p,(,x,),简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式,的函数,p,(,x,)，近似代替,f,(,x,),3,6.1,插值法的数学描述,设函数,y,=,f,(,x,)在区间,a,b,上连续,是,a,b,上取定的,n,+1,个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个,f,(,x,),的近似函数 ,满足,则称 为,f,(,x,)的一个,插值函数,f,(,x,)为,被插函数,点,x,i,为,插值节点,R(,x,)=,称为,插值余项,区间,a,b,称为,插值区间,插值点在插值区间内的称为,内插,否则称,外插,4,插值的几何意义,5,6.2,拉格朗日（,Lagrange,）插值,为了构造满足插值条件,(i=0,1,2,n),的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。,6.2.1,线性插值与抛物插值,（,1,）线性插值,线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数,f(x)在两个互异的点 ，的值，,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。选,择参数,a,和,b,使 。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数,。,6,线性插值,线性插值多项式,7,由直线两点式可知，通过,A,，,B,的直线方程为,它也可变形为,显然有：,8,记,可以看出,的线性组合得到，其系数分别为,，,称 为节点 ,的线性插值基函数,9,线性插值基函数,满足下述条件,1,0,0,1,并且他们都是一次函数。,注意他们的特点对下面的推广很重要,于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合,10,例6.1 已知 ,求,解:这里,x,0,=100,，,y,0,=10,，,x,1,=121,，,y,1,=11,利用线性插值,11,例6.2 已知y=f(x)的函数表,求线性插值多项式,并计算x=1.5 的值,X 1 3,y 1 2,解:由线性插值多项式公式得,12,这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点,的抛物线 近似代替曲线,如下图所示。因此也称之为抛物插值。,（2）,抛物插值,抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点,x,0,，,x,1,，,x,2,的函数值,y,0,，,y,1,，,y,2,，要构造次数不超过二次的多项式,使满足二次插值条件：,13,抛物插值函数,因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,14,为了与下一节的,Lagrange,插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：,求二次式 ,使其满足条件：,这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:,是 的两个零点。于是,再由另一条件 确定系数,从而导出,15,P(x),的参数 直接由插值条件决定，,即 满足下面的代数方程组：,该三元一,次方程组,的系数矩阵,的行列式是范德蒙行列式，当 时，,方程组的解唯一。,16,类似地可以构造出满足条件：,的插值多项式,及满足条件：的插值多项式,这样构造出来的 称为抛物插值的基函数,取已知数据 作为线性组合系数,将基函数,线性组合可得,容易看出,P(x)满足条件,17,例6.3 已知x=1,4,9 的平方根值,用抛物插值公式,求,(,x,0,x,1,)(,x,0,x,2,),(,x,x,1,)(,x,x,2,),y,0,+,(,x,1,x,0,)(,x,1,x,2,),(,x,x,0,)(,x,x,2,),y,1,+,(,x,2,x,0,)(,x,2,x,1,),(,x,x,0,)(,x,x,1,),y,2,p,2,(,7,),=,x,0,=1,x,1,=4,x,2,=9,y,0,=1,y,1,=2,y,2,=3,(14)(19),(74)(79),*,1,+,(41)(49),(71)(79),*2,+,(91)(94),(71)(74),*3,=,2.7,p,2,(,x,),=,18,例6.4 已知函数y=f(x)在节点上满足,x x,0,x,1,x,2,y y,0,y,1,y,2,求二次多项式 p,(x)=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,使之满足,p,(x,i,)=y,i,i=0,1,2,解:用待定系数法,将各节点值依次代入所求多项式,得,解上述方程,将求出的a,0,a,1,a,2,代入,p(x)=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,即得所求二次多项式,19,我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式,p,1,(x),，而三个插值点可求出二次插值多项式,p,2,(x),。当插值点增加到,n,+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出,n,次插值多项式,p,n,(x),，如下所示：,已知n+1个节点处的函数值,求一个n次插值函数,满足,6.2.2 拉格朗日插值多项式,20,构造各个插值节点上的基函数,满足如下条件,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,21,与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊,n,次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足,即:,由条件 ()知,都是n次 的零点,故可设,22,其中 为待定常数。由条件 ,可求得,于是,代入上式,得,称 为关于基点 的n次插值基函数(i=0,1,n),23,以,n+1,个,n,次基本插值多项式,为基础,就能直接写出满足插值条件,的,n,次代数插值多项式。,事实上，由于每个插值基函数,都是,n,次值多项式,所以他们的线性组合,是次数不超过n次的多项式,称形如上式的插值多项式为,n,次拉格朗日插值多项式。并记为,24,例6.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式,解:由Lagrange 插值公式,（给定的三个点在一条直线上）,25,例,6.6,已知,f(x),的观测数据,x 0 1 2 4,f(x)1 9 23 3,构造,Lagrange,插值多项式,解,四个点可构造三次,Lagrange,插值多项式:基函数为,26,Lagrange,插值多项式为,为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式可改写成,27,例6.7 已知f(x)的观测数据,x 1 2 3 4,f(x)0 -5 -6 3,构造插值多项式,解:四个点可以构造三次插值多项式,将数据,代入插值公式，有,这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项，但可以有缺项。,28,x,0,x,1,x,i,x,i+1,x,n-1,x,n,y=f(x),y=p(x),a,b,在插值区间,a,b上用,插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点x,i,上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。,若记 R(x)=f(x)-p(x),则 R(x)就是用 p(x)近似代替 f(x)时的,截断误差,或称,插值余项,我们可根据后面的定理来估计它的大小。,6.2.3,插值多项式的误差,29,定理 设,f,(,x,)在,a,b,有,n,+1阶导数，,x,0,x,1,x,n,为,a,b,上,n,+1个互异的节点,p,(,x,)为满足,p,(,x,i,)=,f,(,x,i,)(,i,=1,2,n,)的,n,次插值多项,式，那么对于任何,x,a,b,有插值余项,其中,a,b,且依赖于,x,30,0，使得|x(a,b),由于 (x)一般无法确定，因此式,R(x),只能用作余项估计。如果,在区间(a,b)上有界，即存在常数,则有余项估计,31,对于线性插值，其误差为,对于抛物插值（二次插值），其误差为,32,例,6.8,已知,=100,=121,用线性插值估计,在,x=115,时的截断误差,解:由插值余项公式知,因为,33,例6.9 已知x,0,=100,x,1,=121,x,2,=144,当用抛物插值求,在x=115时的近似值，估计其的截断误差,解,=,34,例6.10 设,f,(,x,)=x,4,用余项定理写出节点-1,0,1,2的三次插值多项式,解:根据余项定理,35,