22012江苏南通中考数学解析(毛春松).doc

南通市2012年初中毕业、升学考试试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． （2012年江苏南通市，1，3分）计算6÷(－3)的结果（ ）
A． B．－2 C．－3 D．－18
考点解剖：本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的除法法则．
解题思路：先根据有理数的除法法则确定商的符号，再进行绝对值的运算．
解题过程：6÷(－3)＝－(6÷3)＝－2，故选B．
答案：B．
规律总结：有理数的除法法则是：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，进行有理数的运算要先确定结果的符号，再进行绝对值的运算．
关键词：实数的运算、有理数的除法

2． （2012年江苏南通市，2，3分）计算(－x)2·x3的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点解剖：本题考查了整式的运算，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
解题思路：先根据积的乘方求（－x)2＝x2，再根据同底数幂相乘的性质进行运算．
解题过程：（－x)2·x3＝x2·x3＝x5，故选A．
答案：A．
规律总结：一般是根据幂的运算性质进行整式的乘法运算，在混合运算还要注意运算顺序：先乘法，再乘除，最后做加减，有括号先去括号．
关键词：整式、整式的乘法．

3． （2012年江苏南通市，3，3分）已知∠α＝32°，求∠α的补角为（ ）
A．58° B．68° C．148° D．168°
考点解剖：本题考查了补角的概念．
解题思路：根据补角的概念，由于∠α＝32°，要求∠α的补角就是求180°－32°的值．
解题过程：∵∠α＝32°，∴∠α的补角＝180°－32°＝148°．故选C．
答案：C．
规律总结：两个角的和等于180°，这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．求一个角的补角只须用180°减去这个角的度数．
关键词：角度的计算

4． （2012年江苏南通市，4，3分）至2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.88万用科学记数法表示为（ ）
A．7.6488×104 B．7.6488×105 C．7.6488×106 D．7.6488×107
考点解剖：本题考查了科学记数法．掌握科学记数法的概念是解答本题的关键．
解题思路：先把764.88万写成7648800，再根据科学记数法的概念确定a的值和10的指数．
解题过程：由于764.88万＝7648800，所以764.88万可写成7.6488×106，故选C．
答案：C．
规律总结：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种计数的方法叫做科学记数法．其方法是：（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含整数数位上的零）．
关键词：科学记数法

5． （2012年江苏南通市，5，3分）线段MN在平面直角坐标系中的位置如图，若线段M/N/与MN关于y轴对称，则点M的对应点M/的坐标为（ ）
A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
第5题
y
M
N
x

考点解剖：本题结合平面直角坐标系考查了轴对称的知识，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征．
解题思路：先确定点M的坐标为（－4，－2），再根据关于y轴对称的点的坐标特征确定点M/的坐标．
解题过程：∵点M的坐标为（－4，－2），∴点M关于y轴对称的点M/的坐标是（4，－2），故选D．
答案：D．
规律总结：平面直角坐标系中，关于x轴的对称点的坐标特征是，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特征是，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
关键词：平面直角坐标系、轴对称

6．（2012年江苏南通市，6，3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
考点解剖：本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的特征．
解题思路：先把16x写成2×x×8，再根据完全平方公式的特征，确定k＝82＝64．
解题过程：∵x2＋16x＋k＝x2＋2×x×8＋k是完全平方式，所以k＝82＝64．故选A．
答案：A．
规律总结：完全平方式是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍，它包括和的平方与差的平方．
关键词：整式的乘法、完全平方公式

7． （2012年江苏南通市，7，3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
B
C
A
1
2
第7题

考点解剖：本题考查了三角形的内角和定理，解答本题的关键是把∠1＋∠2看作整体．
解题思路：根据三角形的内角和等于180°，∠C＝70°，求出∠A＋∠B的度数，再把∠1＋∠2看作整体来求解．
解题过程：∵∠C＝70°，∴∠A＋∠B＝180°－70°＝110°，∵∠A＋∠B＋∠1＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－110°＝250°．故选B．
答案：B．
规律总结：求两个角的和的题目一般可以先求出每个角的度数，再求和；也可以把这两个角的和看作整体来求解．
关键词：三角形的内角和、整体思想．

8． （2012年江苏南通市，8，3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（ ）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
A
B
C
D
O
第8题

考点解剖：本题考查了矩形的性质和等腰三角形的判定，解答本题的关键是找到AB与AC之间的关系．
解题思路：由矩形的性质得OA＝OB＝OC＝OD，再由∠AOD＝120°，得到∠AOB＝60°，从而△AOB是等边三角形，求出AB＝AC．
解题过程：∵矩形ABCD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AC＝4cm．故选D．
答案：D．
规律总结：1．矩形的对角线互相平分且相等，因此可得到四条线段相等；2．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；3．涉及线段计算的问题一般是建立要求线段与已知线段之间的关系．
关键词：四边形、矩形的性质、等腰三角形的判定
9． （2012年江苏南通市，9，3分）已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．x＜－
考点解剖：本题考查了用代入法求函数值的方法、一元一次不等式的解法等知识．
解题思路：先求出x＝－1和x＝2对应的反比例函数的值y1和y2，再根据y1＞y2建立关于m的不等式，通过解不等式求m的取值范围．
解题过程：当x＝－1时，y1＝－3－2m；当x＝2时，y2＝，由y1＞y2得－3－2m＞，解得x＜－，故选D．
答案：D．
规律总结：1．把自变量x的值代入函数中可求对应的函数值；2．解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，特别注意系数化为1时，如果不等式两边同乘以一个负数，不等号的方向要改变．
关键词：函数值、一元一次不等式的解法

10．（2012年江苏南通市，10，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（ ）
A．2011＋671 B．2012＋671 C．2013＋671 D．2014＋671
B
C
（第10题）
A
③
①
②

P1
P2
l
P3
…

考点解剖：这是一道规律性探索题，解答此类问题的关键通过分析找到规律．
解题思路：先通过阅读题意找到规律：△ABC每旋转3次，在直线l终点到A的距离就增加3＋，然后看2012里有多少个3即可．
解题过程：根据题意△ABC每旋转3次，在直线l终点到A的距离就增加3＋，因为2012÷3＝670……2，所以AP2012＝670（3＋）＋2＋＝2012＋671．故选B．
答案：B．
规律总结：规律探索题一般从特例出发，经历实验操作、观察分析、归纳猜想得出一般性的结论，本题关键找到△ABC每旋转3次，在直线l终点到A的距离就增加3＋．
关键词：规律性探索题
一、 填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2012年江苏南通市，11，3分）单项式3x2y的系数是
考点解剖：本题考查了单项式的概念．
解题思路：根据单项式的系数的概念解答即可．
解题过程：单项式3x2y的系数是3，故填3．
答案：3．
规律总结：在代数式中，表示数与字母的积的式子叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式的系数包括前面的符号．
关键词：整式、单项式的系数
12．（2012年江苏南通市，12，3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是
考点解剖：本题考查了函数自变量的取值范围，解答本题的关键是明确分式的分母不为0．
解题思路：根据分式的分母不为0，建立关于x的不等式，从而确定函数自变量的取值范围．
解题过程：由于分式的分母不为0，因此x＋5≠0，解得x≠－5．填x≠－5．
答案：x≠－5．
规律总结：求函数自变量取值范围的题目主要考虑分式的分母不为0和算术平方根的被开方数是非负数．
关键词：函数初步、函数自变量的取值范围、分式的意义
13．（2012年江苏南通市，13，3分）某校9名同学的身高（单位：cm)分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，166，则这组数据的众数为
考点解剖：本题考查了众数的概念．掌握众数的概念最重要．
解题思路：求一组数据的众数，就是要找到这组数据中出现次数最多的数．
解题过程：这组数据中，165cm出现次数最多，出现了3次，因此这组数据的众数是165cm．
答案：165cm．
规律总结：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数．一组数据可能有一个众数，也可能有多个或没有众数．
关键词：统计初步、众数

14．（2012年江苏南通市，14，3分）如图，⊙O中，∠AOB＝46°，则∠ACB＝ 度
第14题
O
C
A
B

考点解剖：本题考查了圆周角的性质，解题关键是在圆中找到同一条弧所对的圆周角与圆心角的关系．
解题思路：根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可求解．
解题过程：∵∠ACB＝∠AOB，∴∠ACB＝×46°＝23°，故填23．
答案：23．
规律总结：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，这是圆中说明角的一半关系常用的定理
关键词：圆、圆周角定理

15．（2012年江苏南通市，15，3分）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张
考点解剖：本题考查方程（组）的应用，解答此类问题的关键是找到相等关系，列出方程或方程组．
解题思路：本题有两个相等关系，一是甲种电影票数量＋一种电影票数量＝40张，二是购买甲种电影票的钱数＋购买乙种电影票的钱数＝700元，本题列方程，也可以列方程组来解．
解题过程：设购买甲种电影票x张，则购买乙种电影票（40－x)张，根据题意得20x＋15(40－x)＝700，解得x＝20．故填20．
答案：20．
规律总结：列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、设未知数（可设直接未知数，也可设间接未知数）、根据相等关系列方程（组）、解方程（组）、检验并作答．
关键词：方程（组）应用题、一元一次方程的应用

16．（2012年江苏南通市，16，3分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝ cm
D
C
B
A

考点解剖：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识．
解题思路：过点D作腰BC的平行线交AB于E，构造平行四边形和直角三角形，用勾股定理求AE的长，就可以通过BD求CD的长．
解题过程：过点D作DE∥BC交AB于E，∵AB∥DC，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE＝BC＝3，∵∠A＋∠B＝90°，∠AED＝∠B，∴∠A＋∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AE＝＝5，∴BE＝CD＝7－5＝2(cm)．
答案：2．
规律总结：研究梯形的问题，通常都是通过添作辅助线转化为研究三角形和平行四边形的问题．
关键词：四边形、梯形、平行四边形、勾股定理

17．（2012年江苏南通市，17，3分）设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝
考点解剖：本题考查了方程的解得概念和一元二次方程根与系数的关系．解答本题的关键是合理拆项和整体思想．
解题思路：先根据α是一元二次方程x2＋3x－7＝0的根，代入得到α2＋3α的值，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到α＋β的值．
解题过程：∵α是一元二次方程x2＋3x－7＝0的根，∴α2＋3α－7＝0，α2＋3α＝7，∵α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，∴α＋β＝－3，∴α2＋4α＋β＝(α2＋3α)＋(α＋β)＝4．
答案：4．
规律总结：1．方程的解都可以代入方程；2．若x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则x1＋x2＝－，x1·x2＝．
关键词：一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系

18．（2012年江苏南通市，18，3分）无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3)都在直线l上，Q（m，n）是直线上的点，则（2m－n＋3)2的值等于
考点解剖：本题考查了函数的概念、函数解析式、代数式的值和整体思想等知识．
解题思路：先根据无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3)都在直线l上，确定函数的解析式，再把x＝m，y＝n代入函数中，求出2m－n的值，最后整体代入．
解题过程：因为2a－3＝2(a－1)－1，而无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3)都在直线l上，所以l的解析式是y＝2x－1；又Q（m，n）是直线上的点，所以n＝2m－1，2m－n＝1，所以（2m－n＋3)2＝（1＋3）2＝16．
答案：16．
规律总结：1．如果以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，我们可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数解析式；2．用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法．
关键词：函数的概念、函数解析式的确定、代数式的值、整体思想．

二、 解答题：（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2012年江苏南通市，19①，10分）计算：（1）
（2012年江苏南通市，19②，10分）（2）
考点解剖：（1）小题考查了实数的运算，主要考查了绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义等知识；（2）小题考查了二次根式的运算，主要考查了二次根式的化简、二次根式的加减乘除混合运算．
解题思路：（1）先算出＝1，（－2）2＝4，（7－π）°＝1，（）－1＝3，再求加减法运算；（2）先做二次根式的乘除运算，并化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
解题过程：(1)＝1＋4＋1－3＝3；
（2）＝．
规律总结：（1）零指数幂的意义：a°＝1(a≠0)；负整数指数幂的意义：a－P＝(P是正整数且a≠0）；（2）二次根式的加减乘除混合运算先做乘除，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式．
关键词：实数的运算、二次根式的运算

20. （2012年江苏南通市，20，8分）先化简，再求值：，其中，x＝6．
考点解剖：本题考查了异分式的通分，分式的加减，分式的乘除以及分式的约分，用代入法求代数式的值等知识．
解题思路：先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法，最后把x＝6代入化简后的式子求值．
解答过程：＝
＝＝＝x－1．
当x＝6时，原式＝6－1＝5．
规律总结：（1）异分母分式的加减一般根据分式的基本性质化为同分母分式的加减；（2）两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；（3）分式的运算结果能约分的要约分．
关键词：分式、分式的化简、求代数式的值

21. （2012年江苏南通市，21，9分）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分同学，统计他们双休日两天劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．
（1） 这次抽样调查的样本容量是 ；
（2）根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为 ；（3）该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不少于90分钟？
60
90
120
150
180
时间/分
35
频数（人）
25
30
15
20
5
10
30
0
第21题

考点解剖：本题考查了频数分布直方图、频率、估算、用样本估计总体的思想等知识，解题的关键是读懂统计图．
解题思路：（1）由频数分布直方图能得到5个小组的频数，求和可求出样本容量；（2）用组中值乘以本组的频数可得到该组中所有数据的和的估算值；（3）不少于90分钟即大于或等于90分钟，符合条件的是第3、4、5组，频数分别为35、30、10，求出样本中家务劳动的时间不少于90分钟的频率为0．75，用以估计总体中家务劳动的时间不少于90分钟的频率也为0．75，即可求解．
解题过程：（1）5＋20＋35＋30＋10＝100；
（2）75×20＝1500（分）；
（3）＝0．75，所以1000×0．75＝750（人）
规律总结：（1）求样本容量，根据频数分布直方图找到样本中每小组的频数求和即可；（2）频率＝，根据频数分布直方图求得样本的频率可用以估计总体的频率．
关键词：频数分布直方图、频率

22．（2012年江苏南通市，22，8分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
·O
A
B
C
D
第22题

考点解剖：本题考查了圆的相关知识，主要考查了垂径定理、勾股定理等
解题思路：过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD的距离．
解题过程：过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，在Rt△OAE中，∵OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，∴OE＝，同理可求OF＝，∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7cm．
·O
A
B
C
D
M
E
F

规律总结：在圆中解有关弦心距、半径的问题时，通常添加的辅助线时连半径或作出弦心距，把垂径定理和勾股定理结合起来解题．
关键词：圆、垂径定理、勾股定理

23．（2012年江苏南通市，23，8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，达到位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．
A
B
P
600
450

考点解剖：本题考查了解直角三角形和方位角等知识．解题的关键是掌握直角三角形中的边角关系．
解题思路：过点P作PC⊥AB于C，线段AB可看作两条线段AC，BC的和，根据题中各点的方位角，找到直角三角形，结合直角三角形的边角关系分别求出AC，BC的长度来求解．
解题过程：过点P作PC⊥AB于C，根据题意，在Rt△APC中，∵∠A＝60°，∴cos60°＝＝，sin60°＝＝，∴AC＝50，PC＝50；在在Rt△BPC中，∵∠BPC＝45°，∴tan45°＝，BC＝PC＝50，∴AB＝AC＋BC＝50（1＋）（海里）
规律总结：1．直角三角形中存在三种关系：锐角关系，两个锐角的和等于90°；三边关系（即勾股定理），两条直角边的平方和等于斜边的平方；边角关系，对于锐角A，sinA＝，cosA＝，tanA＝．2．运用解直角三角形知识求线段的长通常都是添作高线构造直角三角形．
关键词：解直角三角形

24. （2012年江苏南通市，24，8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
（1） 从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；
（2） 从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
考点解剖：本题考查了概率的概念，掌握概率的概念是解题的关键．
解题思路：先分析所有可能出现的不同结果，再运用概率公式求解．
解题过程：（1）随机抽取一张牌有4种等可能的结果，则抽到点数是偶数的概率为；
(2） 用树状图分析：
2
3
4
8
3
2
4
8
4
2
3
8
第1张
第2张
8
2
3
4

一共有12种不同的结果，所以两张牌的点数都是偶数的概率是．
规律总结：运用公式P(A)＝求等可能事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上，关键是用表格或树状图分析事件所有可能出现的结果种数n和事件A发生的结果种数m．
关键词：概率的计算

25. （2012年江苏南通市，25，9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km)与时间x(h)之间的函数关系，折现BCDE表示轿车离甲地的距离y（km)与时间x(h)之间的函数关系．根据图像，解答下列问题：
（1） 线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2） 求线段DE对应的函数解析式；
（3） 求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
O
1
2
2.5
4.5
5
D
C
E
A
300
80
x(h)
y(km)
第25题

考点解剖：本题考查了函数的图像、函数解析式的确定、分段函数和函数图像交点的坐标等知识．解答本题的关键是读懂函数的图像．
解题思路：（1）轿车在途中停留的意义在图像上反映的是与x轴平行的部分，结合图像可求解；（2)由图像知线段DE的端点坐标为（2．5，80）和（4．5，300），用待定系数法可确定DE对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间，就是求OA、DE对应的函数图像交点的横坐标并减去1的结果．
解题过程：(1)2．5－2＝0．5（h)；
（2） 设DE：y＝kx＋b，∵点D（2．5，80）和E（4．5，300）在DE上，∴，解得，∴y＝110x－195；
（3） 设OA:y＝mx，则300＝5m，m＝60，y＝60x，根据题意得，解得．3．9－1＝2．9（h）所以轿车从甲地出发后经过2．9h追上货车．
规律总结：（1）运用函数的图像解题，关键是读懂函数的图像的意义，求轿车在途中停留的时间只须求图像中平行于x轴的部分对应的横坐标之差的绝对值；（2）要确定一次函数的图像，只须知道函数图像上两个点的坐标即可；（3）求两个函数图像的交点坐标，把这两个函数的解析式建立方程组求解即可．
关键词：一次函数、分段函数、一次函数解析式的确定、函数图像的交点

26. （2012年江苏南通市，26，6分）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1） 如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2） 如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
A
B
E
C
F
D
A
B
E
C
F
D
图1
图2
第26题

考点解剖：本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形等知识．
解题思路：（1）根据已知条件菱形的性质证得△ABC是等边三角形，运用等腰三角形的性质和判定，通过证明角相等来证明线段CE，CF相等，最终证明BE＝DF；（2）由于∠EAF＝60°，要证△AEF是等边三角形，先要证明是等腰三角形，要证两条边相等可以证它们所在的两个三角形全等．
解题过程：（1）∵菱形ABCD，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF；
（2）连接AC，由（1）得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵菱形ABCD，∠B＝60°，∴∠ACF＝∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
规律总结：（1）证明线段相等可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以借助某条线段作为过渡量，运用等式的基本性质来证得；（2）证明等边三角形可用“有一个是60°的等腰三角形是等边三角形”或“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
关键词：菱形、等腰三角形、等边三角形、全等三角形

27. （2012年江苏南通市，27，12分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动时间为t秒．
（1） 若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2） 设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①a＝，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的角平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
第27题
P
Q
A
B
D
C

考点解剖：本题考查了相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、存在性问题探究题等知识．
解题思路：（1）由等腰三角形的性质和勾股定理分别求出BD、AD的长，再由相似三角形的对应边成比例建立方程求解；（2）①分别用含t的代数式表示BP，BQ，通过成比例线段建立关于t的方程，求出t的值；②先假设存在这样的实数a，运用相似三角形的性质建立关于t的方程，通过求出的t的值对实数a是否存在作出正确的判断．
解题过程：（1）∵AB＝AC＝10cm，D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝6，AD⊥BC，∴AD＝＝8，∵△BPQ∽△BDA，∴，，解得t＝；
（2） ①∵a＝，∴BP＝t，BQ＝6－t，∵四边形PQCM为平行四边形，∴PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，，解得t＝，∴BP＝，∵AB＝AC，∴PQ＝BP＝．
②不存在．
理由：假设存在实数a，使得点P在∠ACB的角平分线上，易证四边形PQCM为菱形，∴PQ＝CQ＝BP，由①得，，解得t＝－，由于时间t＞0，所以不存在实数a，使得点P在ACB的角平分线上．
M
P
Q
A
B
D
C

规律总结：（1）相似三角形的对应边成比例，如果在这个等式中只含有一个未知数，运用解方程的知识可求这个未知数的取值；（2）存在性问题的探究一般先假设结论成立，如果经过推理，得出一个错误的结论，则假设不成立；如能得出一个正确的结论，则假设成立．
关键词：相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理、存在性问题的探究．

28. （2012年江苏南通市，28，14分）如图，经过点A(0，－4）的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)、C两点，O为坐标原点．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3） 设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AB的长．
x
y
O
B
C
A
第28题

考点解剖：这是一道以二次函数为背景的综合性考题，主要考查了二次函数解析式的确定、图像的平移、配方法求二次函数的顶点、相似三角形等知识．
解题思路：（1）由于已知点A（0，－4）、B（－2，0）在抛物线y＝x2＋bx＋c上，用待定系数法可确定b，c的值；（2）用配方法求得y＝x2－x－4的顶点为（1，－），平移后新抛物线的顶点（1，－1）在直线y＝－1上作向左平移，m的最大值就是点（1，－1）到直线y＝－1与AB交点之间的距离；（3）先根据已知角之间的关系，找到等角∠OMB＝∠ABD，通过证明相似三角形建立关于AM的比例式来求解，注意分两种情况讨论．在求出AM1后也可以根据对称性直接求AM2．
解题过程：（1）∵点A（0，－4）、B（－2，0）在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴，解得，∴所求二次函数的解析式为y＝x2－x－4；
（2） y＝x2－x－4＝（x2－2x)－4＝(x－1)2－，抛物线的顶点是（1，－），将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度得到新抛物线的顶点是（1，－1）在△ABC的内部．设AB：y＝kx＋b，由点A（－2，0）、B（0，－4)，得，解得，所以AB：y＝－2x－4，当y＝－1时，x＝－1．5，所以0＜m＜2．5（单位长度）；
（3） 取OA的中点D，连接BD，则OB＝OD＝2，∠OBD＝∠ODB＝45°，由勾股定理有BD＝．对于y＝x2－x－4，当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x＝4或x＝－2，点C坐标为（4，0），所以OA＝OC，∠BCA＝∠OAC＝45°＝∠ODB，∵∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，∠ABD＋∠OAB＝∠ODB，∴∠OMB＝∠ABD．
分两种情况：①M在DA的延长线上，易证△DAB∽△DBM1，∴，
，DM1＝4，AM1＝4－2＝2；②M在AD的延长线上，易证△ADB∽△ABM2，∴，由勾股定理AB＝，，AM2＝10．故AM的长为2或10．
x
y
O
B
C
A
第28题
D
M1
M2

规律总结：（1）确定含有连个字母系数的函数解析式只需知道函数图像所经过的两个点的坐标；（2）平面直角坐标系中，图形的上下平移只改变点的纵坐标的大小，且向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小；图形的左右平移只改变点的纵＝横坐标的大小，且向右平移纵坐标增大，向左平移纵坐标减小．要求m的取值范围，关键在于理解点P在三角形内部平移的意义；（3）求线段的长度一般可以通过证全等三角形建立线段之间的相等关系，也可以证明相似三角形建立线段之间的成比例关系，通过解方程来求解．
关键词：二次函数与几何的综合题，二次函数、相似三角形、勾股定理