全国名校2013年中考数学模拟试卷分类汇编29-矩形-菱形-正方形.doc

矩形、菱形、正方形
一、选择题
1、（2013江苏射阴特庸中学）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( )

A．2 B．2 C．4 D．4
答案：B
10题图
2、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）.
A．2＋ B．2＋2 　C．12 　 D．18
答案：B
3、 (2013山西中考模拟六)在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案：C
4、（2013·湖州市中考模拟试卷1）如图，在菱形ABCD中，点E、 F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
答案：A
5、（2013·湖州市中考模拟试卷7）正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）

A.10　　 B.12 C.14　　　D.16
答案：D
6、（2013·湖州市中考模拟试卷10）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )

A. B. C. D.
答案：D
7、6．(2013年河北省一摸)|下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
答案：B

第8题图
D
A
B
C
E
8、(2013年河北二摸)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，AE=3，则tan∠DBE的值是
A． B．2 C． D．
答案：B
9、(2013年河北三摸)一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足
A. 3＜a＜4 B. 5＜a＜6 C.7＜a＜8 D. 9＜a＜10
答案：A
A
B
D
C
O
E
F
10、(2013年河北三摸)如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则 ∠EOF等于
A. 10° 　　 B. 20°　　 　C. 30° D. 70°
答案：B
11、(2013年河北三摸)如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是
1
2
3
-1
1
2
x
y
O
1
2
3
-1
1
2
x
y
O
1
2
3
-1
1
2
x
y
O
1
2
3
-1
1
2
x
y
O
A．
B．
C．
D．

C
A
B
D
M
N

答案：B

12、(2013年河北四摸)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
A
C
D
7题题

B

答案：B
二、填空题
A
D
H
G
C
F
B
E
第1题
1、（2013山东省德州一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ．
答案：

B
A
C
D
E
（第2题）
2、（2013温州市一模）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= .

答案：15°
3、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.

答案：2.5
4、（2013·温州市中考模拟）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.
1

2
5题图 6题图

7、2013年温州一摸）如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______
答案：1

8、（2013年温州一摸）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.
(2) 若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

答案证：（1）由□ABCD ，得AD=BC,AD∥BC. ……2分
由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE. ……3分
∴四边形AECF是平行四边形； ……4分
（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE. ……5分
由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB. ……7分
∴BE=AE=EC， BE=5. ……8分
2、（2013江苏射阴特庸中学）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）

答案：解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F． ……2分
∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠α=36°．根据题意，得BE=24mm, DF=48mm． ……4分
在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).……6分
在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．8分
∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)． ……10分
3、（2013江苏射阴特庸中学）如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．

答案：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD, ……2分
由AB=AD，得四边形ABCD是正方形. ……3分
(2)MN2=ND2+DH2. ……4分
理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，
∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°, ……6分
再证△AMN≌△AHN，得MN=NH， ……7分
∴MN2=ND2+DH2. ……8分
(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,
由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去) ∴AG=12.……10分
由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,
设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即MN=5. ……12分
4、(2013山西中考模拟六) 如图，在中，，，．是边上一点，直线于，交于，交直线于．设．

（1）当取何值时，四边形是菱形？请说明理由；
（2）当取何值时，四边形的面积等于？

答案：解：（1），，又，．
又，四边形是平行四边形．
当时，四边形是菱形．
此时，，，，
．∴．
在中，，∴
∴（负值不合题意，舍去）．
即当时，四边形是菱形．
（2）由已知得，四边形是直角梯形，，
依题意，得． 整理，得．解之，得，．
，∴舍去．∴当时，梯形的面积等于．
5、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.

(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；
(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.
答案：解：（1）相等. 理由如下: ……1分
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C=∠D=90°
∴∠BEC+∠CBE=90°
∵EF⊥BE ∴∠BEF=90°
∴∠DEF+∠BEC=90°
∴∠DEF=∠CBE ………3分
（2）BE=EF.理由如下: ………4分
∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD ∴∠BAE=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=ED=BCA
∵∠C=∠D=90° ∠DEF=∠CBE
∴△DEF≌△CBE（ASA）
∴BE=EF …………8分
6、（2013·湖州市中考模拟试卷3）已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.

解：（1）如图①，过点G作于M.
在正方形EFGH中，
. ………………………1分

又∵，
∴⊿AHE≌⊿BEF. ………………………2分
同理可证：⊿MFG≌⊿BEF. ………………………3分
∴GM=BF=AE=2.
∴FC=BC-BF=10. ………………………4分
（2）如图②，过点G作于M.连接HF.

………………………5分
又
∴⊿AHE≌⊿MFG. ………………………6分
∴GM=AE=2. ………………………7分
………………………8分
（3）⊿GFC的面积不能等于2. ………………………9分
∵若则12- a =2，∴a=10.
此时，在⊿BEF中，
……………10分
在⊿AHE中，
.…11分
∴AH＞AD.
即点H已经不在边AB上.
故不可能有 ………………………………………12分
解法二：⊿GFC的面积不能等于2. ………………………9分
∵点H在AD上，
∴菱形边长EH的最大值为.
∴BF的最大值为. ………………………10分
又因为函数的值随着a的增大而减小，
所以的最小值为. ………………………11分
又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2. ………………12分
7、20. (2013年深圳育才二中一摸) 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE；
（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，…………………………2分
∵BE∥AC
∴四边形ABEC是平行四边形。……………………3分
∴AC=BE。
∴BD=BE。…………………4分
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8 ………………5分
∵∠DBC=30°，
∴，………………6分
………………7分

∵BD=BE，BC⊥DE，
∴DE==8………………8分
且
∴
∴……………………9分

8、(2013年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
第25题图

【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．………………3分

（2）（3分）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．………………6分
（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。
∴OM＝BN＝BC＝1
令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），
∵AM＝AB－MB＝4－x
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2
即x2=(4－x)2+12
解之得：x＝
∴AM＝4－＝
又∵Rt△AOM∽Rt△EFO
∴＝ 即＝
∴OF＝ ∴FG＝2OF＝ ………………………………10分
解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4
令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），
∵OH＝4－x
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2
即x2=12 +(4－x)2
解之得：x＝
∴HO＝4－＝
又∵Rt△AOM∽Rt△EFO
∴＝
即：＝
∴OF＝
∴FG＝2OF＝ …………………………………………10分
9、(2013年河北省一摸)|已知：如图13，等腰△ABC中，底边BC=12，高AD=6．
（1）在△ABC内作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．求矩形EFGH的面积．
A
B
C
F
G
H
E
D
K
图13
（2）在（1）的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在EH上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第二个矩形的面积为 ；
（3）在（2）的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第三个矩形的面积为 ；
（4）按照这样的方式做下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为 ；第个矩形的面积为 ．
答案：（1）设矩形EFGH的宽为，长为，则由△AEH∽△ABC，得：
，即：，解得：．
∴矩形EFGH的面积为3×6＝18．………………………………………………4分（2）；………………………………………………………………………………5分
（3）；………………………………………………………………………………6分
（4），………………………………………………………………………………7分
．……………………………………………………………………………9分
……………………………………………………………………………10分

10、(2013年河北二摸)已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是 ．
（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为 ．
②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为 ．
③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为 ．
(E)
E
A
B
C
D
F
A
B
C
D
F
A
B
C
D
F
图1 图2 图3
E
E

（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
D
A

图4
B
C
F
E

答案： (1)平行 3分
（2）①8；②8；③8； 6分
（3）△BDF面积等于正方形ABCD面积的一半
∵BD∥CF， ∴△BDF和△BDC等低等高
∴……………………………………………10分
11、(2013年河北四摸) (本题9分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图1
图2
备用图

答案： (1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
图1
图2
图3
综上所述,与满足的数量关系式是

12、(2013年河南西华县王营中学一摸)（10分）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN= 45º，它的两边，边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC =45º，.AD⊥BC于点D，且BD =2，CD =3，求AD的长．
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

答案：
（1）答：AB＝AH. ……………………1分
证明：延长CB至E使BE=DN，连结AE

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°
又∵AB＝AD
∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分
∴∠1＝∠2，AE=AN
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°
∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°
∴∠2+∠3＝45°
即∠EAM=45°
又AM=AM
∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分
又EM和NM是对应边
∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）……………………6分
(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴∠E＝∠F＝90°，
又∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又AE=AD=AF
∴四边形AEGF是正方形……………………8分
由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3
设AD＝，则EG=AE=AD=FG＝
∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5
在Rt△BGC中，……………………9分
解之 得，（舍去）
∴AD的长为6…………………………………………10分