资源描述
查缺补漏、重点加强、优化思维
——高考复习建议
华南师范大学附中 罗碎海
高考数学复习不是简单的知识重复，而是知识再认识、能力再提高、思维再升华的过程。每一次的复习都要有新感觉。高考复习一般分三轮：单元复习、专题复习、综合练习讲评。复习过程中要善于：知识归纳、题型归类、联系比较、错漏分析。
高考数学第二轮复习一般都是在广州市第一次模拟考前后开始，所选用的资料一般是市数学中心组编写的《专题评析》，但许多学校都是自己编写专题。主要目标是：查缺补漏、重点加强、优化思维。第三轮主要是学生做模拟题，老师重点讲评。
所谓查缺补漏就是高中数学学习中学生经常出错的、容易搞混的知识、不易纠正的问题。重点提高主要是面向高考试卷中占比重较大和解答题的主要内容（函数与导数、不等式、数列、立体几何、解析几何）进行提高性复习。优化思维就是通过综合题进一步提高学生综合分析问题和解决问题的能力和方法。三轮复习是互有穿插，循环上升的过程，在复习中，老师和学生要做好以下几方面的工作。
一、回归课本、比较分析
课本上的基本概念、基本题型、基本方法是学生要清晰、熟练掌握的内容。由于高三复习学生太注重做练习，往往对一些基本的知识有些忽略，而高考数学试卷中大多数题目是源于课本知识的中、低档题，所以在后期复习中重新分析课本上的基本概念、基本题型、基本方法是很有必要的。一般的做法是：个别概念要加强比较理解；课本上的重点题目归类分析（见附1）。
[示例1]三角函数与三角形问题
1．a =b Þ sina =sinb
2．a <b 是 sina <sinb的既不充分也不必要条件
3．a ,b Î (0,) , a <b Û sina <sinb;
4．a ,b Î (0,p) ,a <b是 sina <sinb的既不充分也不必要条件
5．a ,b Î (0,p) ,a <b Û cosa >cosb
而在△ABC中
1．A=B Û sinA=sinB
2．A<B Û sinA<sinB
3．锐角△ABC中，sinA>cosB.从而得sinA+sinB+sinC>cosA+cosBcosC.
[示例2]奇函数的对称性及引申
对于奇函数，有以下性质
性质1：函数y=f(x)的图象关于(0,0)对称
Û 函数y=f(x)是奇函数 Û 点(x,y)满足y=f(x)，则点(-x,-y)也满足y=f(x)
Û f(-x)=-f(x) Û f(-x)+f(x)=0 Û f(x)=-f(-x).
引申推广，又可得到以下性质
性质2：函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称
Û 函数y=f(x+a)是奇函数 Û 点(x,y)满足y=f(x)，则点(2a-x,-y)也满足y=f(x)Û f(-x+ a)=-f(x + a) Û f(a-x)+f(a+x)=0 Û f(-x)=-f(2a+x).
性质3：函数f(x)的图象关于(0,b)对称
Û 点(x,y)满足y=f(x)，则点(-x,2b-y)也满足y=f(x)，Û点(-x,b-y)满足y=f(x)，则点(x,b+y)也满足y=f(x) Û f(-x)+f(x)=2bÛ f(-x)=2b-f(x)
性质4：函数y=f(x)的图象关于(a,b)对称
Û 点(x,y)满足y=f(x)，则点(2a-x,2b-y)也满足y=f(x)
Û点(a-x,b-y)满足y=f(x)，则点(a+x,b+y)也满足y=f(x)
Û f(a-x)+f(a+x)=2bÛ f(x)=2b-f(2a-x).
[示例3]一个函数与两个函数的对称性比较
函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x），则函数f（x）的图象关于x=a对称；函数f（x）满足f（x+a）=f（x-a），则函数f（x）是以2a为周期的函数；而函数y=f(a-x)与函数y=f(a+x)的图象关于y轴对称，而不是关于x=a对称。
对称问题的证明书写两种方法：（1）函数方法（符合函数的对称式）；（2）轨迹方法（求对称点的轨迹方程）
二、方法归纳、题目归类
一般的高考解答题，其解法有基本的模式。我们可将前阶段所做练习与例题分类归纳。时间允许可以更详细些。
例如解析几何题中简化运算的常用策略：
① 画图优先
② 善于用图形的几何关系（特别在圆中）；
③ 善于用圆锥曲线的定义；
④ “斜变直”（射影法）；
⑤ 设而不解、求差分解；
对于二次函数问题我们可有以下解题经验：
① 应用二次函数的图象与性质（方程根的分布）是通用解法（韦达定理与根分布等价）；
② 二次函数三种表示形式（一般式、顶点式、零点式）的恰当使用，可使问题简单化。
③ 二次函数的对称轴具有特殊意义。
④ 注意普遍性与特殊性往往是解题的突破口，特殊值的选择犹为重要。
⑤ 不当成二次函数，只当成代数问题，使用恒等变形、等价转化等技巧。
⑥ 适当使用放缩。放缩主要有：（1）a>b, b>c, Þ a>c. (2) |a±b|<|a|+|b|. (3)x2≥0. (4)x Î [0,1],x2≤x.
[示例4] 快速求解选择题
许多同学用推算方法处理选择题，即将它当成大题来做，这样既浪费时间，潜在失分，又可能考虑不全，选项搞错。应充分运用选择题的特点来解答，具体注意下列几种方法：
（1）推算+验证+抓特点
1．（94高考）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x= -对称，那么a=
A. B.- C.1 D.-1 D
（2）数形结合
2．（2001-10）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是
A.(-¥,0) B.(-¥，2] C.[0,2] D.(0,2) B
（3）特值法
3．(2000-11)过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与QF的长分别是p,q，则+等于
A.2a B. C.4a D. C
4．2002-7）函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是
(A)ab=0 (B)a+b=0 (C)a=b (D)a2+b2=0
5．（2005广东10）已知数列{xn}满足x2=,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,…,若 xn=2,则x1=( )
A． B．3 C．4 D．5 B
三、错漏诊断、注意细节
从高一到高三，无论是老师还是学生都作了很多的数学题，在这些题中有些看上去很简单，但题目中往往隐含有更深刻的问题，许多学生一做就错。这些问题平时要善于积累，到高考复习的后期让学生重新做，增强思维的严谨性。（见附2）
四、抓住特点、科学思维
数学中函数方程思想、数形结合的思想、分类讨论思想、归纳递推思想、类比思想、极限思想、分析思想以及运动观点、普遍性与特殊性观点等是我们分析问题、解决问题的重要思想方法，要结合题目用心琢磨。
[示例5]
1．（03广东）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A．3π B．4π C． D．6π A
2．已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根，
（1）求 f (x) 的解析式； （f(x)= -x2+x）
（2）是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由。
（f(x)= -x2+x= -(x-1)2+≤，3n≤,∴n≤∴存在满足题目要求）
3．（2005广东）设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
4．（2002（22））（2002年高考）已知a>0，函数f(x)=ax-bx2，
（1）当b>0时，若对任意x Î R都有f(x)≤1，证明: a≤2；
（2）当b>1时，证明：对任意x Î [0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2；
（3）当0<b≤1时，讨论：对任意x Î [0,1]，|f(x)|≤1的充要条件。
五、任何问题争取向前走一步
对于一个数学问题我们可从题目的形式和解决的方法做一些探讨，争取得到新的结果与新的解法。
[示例6] 第二册（上）P31,B组第2题：
1．“已知x1·x2·x3·…·xn=1，求证：(1+x1)(1+x2)…(1+x2)≥2n。”
原题用平均值不等式立即可证。可有以下推广
2．（从形式上推广）已知x1x2x3…xn =an （a>0），且x1、x2、x3、…、xn均为正数，则
（1+x1）（1+x2）（1+x3）…（1+xn）≥（a+1）n．当且仅当x1=x2=x3=…= xn=a时等号成立。
3．（从方法上推广）试用数学归纳法证明以上两题。
这种含条件的数学归纳法的问题，高考中会考，如
4．（2005全国I）（Ⅰ）设函数，求的最小值；
（Ⅱ）设正数满足，证明
作为数学归纳法证明含条件式的问题，再提供一题
5．若ai>0 (i=1,2,…n)，且a1+a2+a3+…+an=1，用数学归纳法证明： a12+a22+a32+…+an2≥ (n≥2,n Î N)。
[示例7]第二册（上）P123,第6题
“过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。”
它的逆命题作为2001年全国高考题，它在椭圆中的推广为2001年广东高考题。
“过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。”
翻译成数学语言就是：过抛物线C: y2=2px焦点F( ,0)的一条直线与抛物线交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点O的直线交准线l: x= - 于点M，求证：直线轴MQ∥OX轴。
该题及其等价形式如下有3个。
一个就为2001年全国高考题：“抛物线y2=2px（P>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线交于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴，证明直线AC经过原点O。”
大家知道：一种圆锥曲线有某种性质，别的曲线往往也具有此性质。上面的抛物线的性质能否推广到椭圆与双曲线中呢？首先要注意上题中的元素的多重性质：点O既是抛物线的顶点也是线段FE的中点？若将原抛物线换为椭圆，就有两种情况：
只要我们按要求作下去，可知直线AC经过线段EF的中点。到此可得双曲线中的命题：
（5）已知双曲线 的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，则直线AC经过线段EF的中点。
一个特殊例子就是：
（6）（2001年广东高考题）已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴。求证直线AC经过线段EF的中点。
示例8：高中数学教材中有一题：“写出数列{an}的前5项：a1=1,an=an-1+(n≥2).”
分析1：由已知可得① an>0; ②an>an-1，即数列{an}是单调递增数列； ③ an=+¥；④ an=a1++++…+;…
①由an=an-1+ Þ an>an-1 Þ an≥1 . (直接扔掉)
②由an=an-1+ Þ an≥2 （用平均值不等式，全部变为常量）。
③ 由an=an-1+,可得a=a+2+> a+2 （扔掉，留a，2中含有一部分，逐步放缩，仍然保留递推）Þ a> a+(n-1)2=2n-1, Þ an≥
应用以上思想，改变已知条件，由此可构造出高考数学题：
范例6：（2004重庆）设数列满足
(1) 证明对一切正整数n 成立；
(2) 令,判断的大小，并说明理由。
附1：《回归课本》（二上）示例
一、 选择题
1、下列命题中正确的是
(A) ac2>bc2 Û a>b (B) a>b Û a3>b3
(C) Û a + c>b + d (D) loga2<logb2<0 Û 0<a<b<1
2、如果关于x的不等式ax2 + bx + c<0的解集是(m<n<0)，则关于x的不等式cx2－bx + a>0的解集是 (二上31页B组7)
(A) (B)
(C) (D)
3、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是 (二上11页习题4)
(A) 2 + 4 (B) 2±4 (C) 2－4 (D) 以上都不对
4、已知目标函数z＝2x＋y，且变量x、y满足下列条件： ，则(广州抽测)
（A） z最大值＝12，z无最小值 （B） z最小值＝3，z无最大值
（C） z最大值＝12，z最小值＝3 （D） z最小值＝，z无最大值
5、将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时解得这两种规格的成品的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
第一种钢板
2
1
第二种钢板
1
3
若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板张数(2004广州二模)
(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
6、 函数f(q ) = 的最大值和最小值分别是(二上82页习题11)
(A) 最大值 和最小值0 (B) 最大值不存在和最小值
(C) 最大值 －和最小值0 (D) 最大值不存在和最小值－
二、 填空题
7、当点(x，y)在以原点为圆心，a为半径的圆上运动时，点(x + y，xy)的轨迹方程是_______。
(二上89页B组10)
8、过抛物线y2 = 2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为A/、B/。则∠A/FB/ = _________。 (二上133页B组2)
9、 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1，r2，则卫星轨道的离心率 = _________。(二上133页B组4)
10、已知a>b>0，则a2 + 的最小值是_________。16 (二上31页B组3)
三、解答题
11、两定点的坐标分别为A(－1,0)，B(2,0)，动点满足条件∠MBA = 2∠MAB，求动点M的轨迹方程。(二上133页B组5)
12、已知关于的不等式的解集为。
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围。
13、已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证 + > 。(二上17页习题9)
回归课本二下参考答案
一、选择题 1~6 BAC(注意符号)B(注意虚实)B(注意整点)A(注意横纵坐标不要搞颠倒)
二、填空题 7、x2 = a2 + 2y(－a≤x≤a). 9、e = .10、当a = 2，b = 时，a2 + 取得最小值16。11、3x2－y2 = 3. 12、（1），（2），13、利用f(x) = (m>0) = 1－在(0， + ¥)上单调递增可证。
附2：诊断试题示例
1．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当时，
又令g(x)=x2+2x-1，则g(x)与M的关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
2．已知4x2+5y2=y，那么x2+y2 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
3．设实数m,n,x,y满足m2+n2=a，x2+y2=b, 则mx+ny的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4．已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有 (-qn)=，则首项a1的取值范围是
A.(0,1)∪{3} B.{-3}∪(0,3) C.(0,) D.(0,)∪(,1)∪{3}
5．设f(x)在x0处可导，则 = ( )
(A) f＇(x0) (B) f＇(-x0) (C) -f＇(x0) (D) 不确定
6．已知的值为（ ）
7．设命题甲：tg(a + b )=0；命题乙：tga a +tg b =0，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数f(x)=tg(2x+ j )的图象的一个对称中心是(-,0)，则绝对值最小的 j 的值为（ ）
A.- B.- C. D.
9．在有太阳的时候，一个大球放在水平的地面上，球的影子伸到距球与地面的接触点10米处，同一时刻，一根长1米，一端接触地面而垂直放置的尺的影子长度是2米，则球半径等于（ ）米。
A.
10．抛物线x2=4ay(a≠0)的焦点坐标是（ ）
A.若a>0是(0,a)，若a<0是(0,-a) B.
C. D.（0，a）
11．已知A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|p+1≤x≤2p-1}，若B Í A，则实数p的取值范围为_____.
12．设函数f(x)= ，问f(x)在x=0处的导数是否存在？
13．函数y=2sin(-2x)的单调递增区间为______。
14．函数y=的最小正周期为_____.
15．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则cosC的值为 _____
16．已知 f (n) = 1 + 2 + … + n（n Î N），则 = 。
17．若(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 则a0+a1+a2+…+a8+a10之值为
18．4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子不空的放法共有______种。
19．卫星离地面高度为2R（R为地球半径），则从卫星发射的电波覆盖的地面面积是地球表面积的______.
20．若动点P到定点M(0,2)的距离比它到x轴的距离大2，则动点的轨迹是_____。
参考答案
1.B,2.D,3.D,4.D,5.C,6.C,7.B,8.B,9.B,10.D,11. p≤3,12. 存在,f＇(0)=0,13. [kp-, kp-] (k Î Z),14. p,15. ,16.2,17. 2033,18. 36,19. ,20. x2=8y和x=0 (y<0).
附3：不动点应用专题（题目归纳与引申）
1．、用不动点求数列的通项公式
例1．已知数列{ an}满足a1=3 ，an=3an-1+6. an=2·3n -3.
例2．已知数列{ an}满足a1= 2 ， an+1= ，. an=
例3．已知数列{ an}满足a0= 4 ，an+1= ， n Î N. an=
2、不动点综合应用
例4．已知函数y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=x0，则x0称是函数y=f(x)的一个不动点，设f(x)= ，
（1） 求函数y=f(x)的不动点；
（2） 对（1）中的二个不动点a、b，求使=k·恒成立的常数k的值；
（3） 对由a1=1，an=f(an-1)定义的数列{an}，求其通项公式an，并求 an的值。
[（1）x0= -, x0=3.（2）k=，（3）an= ，所以 an= -]
f
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xi Î D
结束
输出
Yes
输入
例5（上海2001年22）对任意函数f(x),x Î D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
① 输入数据x0 Î D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
② 若x1 Ï D，则数列发生器结束工作；若x1 Î D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依次规律继续下去。现定义f(x)= 。
（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}。请写出数列{xn}的所有项.
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有x0<xn+1，求x0的取值范围。
[（1）x1=,x2=,x3= -1.（2）当x0=1时,xn=1;当x0=2时,xn=2 (n Î N+)，（3）x0 Î (1,2) ]
例6．已知函数
（1）函数的图像是否是中心对称图形？若是，指出它的对称中心.（不需证明）
（2）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，
令在上述构造数列的过程中，如果
在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，
构造数列的过程将停止。
①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求
实数a的值.
[（2）（3）a=－1.]
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