淮安市2014-2015第二学期高二期末调研数学(文)试题及答案.doc

淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试
数 学 试 卷（文） 2015.6
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，则 ．
2．已知命题，则为 ．
3．已知为实数，其中是虚数单位，则实数的值为 ．
4．已知直线，．若，则实数的值是 ．
5．已知，则的值为_____．
6．已知函数，则的值为 ．
7．已知函数的图象关于原点对称，则实数的值是 ．
8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．
9．已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为 ．
10．已知过点的直线与圆：有公共点，则直线斜率的取值范围是 ．
11．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 ．　
12．已知，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．
13．对于数列{}，定义数列{}为数列{}的“差数列”，若，{}的“差数列”的通项为，则数列{}的前项和= .
14．已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B
A
x
y
O
第15题图
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作角和，,其终边分别交单位圆于两点．
若两点的横坐标分别是，． 试求
（1），的值；
（2）的值．

M
第16题图
16．如图，已知多面体中，平面⊥平面，若四边形为矩形，∥，，⊥，为中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求证：//平面．

17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165)
10
0.100
第2组
[165，170)
①
0.150
第3组
[170，175)
30
②
第4组
[175，180)
25
0.250
第5组
[180，185)
20
0.200
合计
100
1.00

（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？
（3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？

18．已知函数，且．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）若时，求使>的的集合．

19．已知椭圆（），点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求△的面积；
（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

20．已知函数（其中是自然对数的底数），为导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若，试证明：对任意恒成立．
2014－2015学年度高二调查测试
数学试卷参考答案与评分标准（文）
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一．填空题:
1． 2． 3． 4．0或－3 5． 6． 7．
8. 9． 10． 11．2　 12． 13． 14．
二、解答题：
15．（1）因为两点分别是角的终边与单位圆的交点，
所以两点的坐标为，…………………………………4分
又因为两点的横坐标分别是，，且，
所以，，解得，……………………………6分
所以，；……………………………………………………………8分
（2）因为，…………12分
又因为，，所以， 所以．………14分
16．（1）因为四边形为矩形，所以， …………………………………1分
M
N
又因为平面⊥平面，
平面∩平面，
所以⊥平面，…………………3分
又因为平面，
所以⊥，……………………………5分
又因为⊥，，所以⊥平面； …………………………7分
（2）取中点，连接，因为分别为中点，
所以，，……………………………………………………………9分
又因为，，所以，
所以四边形为平行四边形， …………………………………………………11分
所以，又平面，平面，
所以平面．……………………………………………………………………14分
17．（1）由频率分布表可知，
第2组的频数为（人），………………………………………………2分
第3组的频率为； …………………………………………………………4分
（2）因为第2、5组共有35名学生，所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生，每组分别为:第3组:(人)， ………………………………………………………6分
第5组: (人)，………………………………………………………8分
所以第2、5组分别抽取3人、4人．
（3）设第2组的3位同学为，第5组的4位同学为，
则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况：

……………………………………………………………………………12分
其中第5组的4位同学中至少有一位同学入选的有18种，
故至少有1名学生来自第5组的概率为．………………………………………14分
18．（1）因为，
所以，解得，所以的定义域为；…………………4分
（2），
因为
所以为奇函数．………………………………………………………………………8分
（3）因为，所以，又在上递增，
因为，所以在上为递增函数， ……………………………………12分
由>得，，又因为，
所以使>的x的集合为．………………………………………………16分
19．（1）由、得： ．…………………………………2分
所以椭圆的标准方程为； ……………………………………………4分
（2）因为，，所以过的直线的方程为：，
即， ………………………………………………………………6分
解方程组，得，…………………………………8分
；……………………………………………………………10分
（2）设，则．因为，
所以
，………………………………………………………12分
解得：或，………………………………………………………………………14分
又因为，所以点不在以为直径的圆上，
即不存在直线，使得点在以为直径的圆上． …………………………………16分
20．（1）由得,, ………………………1分
所以曲线在点处的切线斜率为, …………………………2分
因为,所以曲线切线方程为，
即；……………………………………………………………………………4分
（2）由得， ………………………………………………………5分
令, 因为,所以,………………………………6分
所以在(0,1]上单调递减，又当x趋向于0时，趋向于正无穷大，故，
即； ……………………………………………………………………………8分
（3）由，得, ………………………………………………………………9分
令, 所以，
因此,对任意,等价于，
由,．得，，
因此,当时,因为,所以单调递增；
当时，因为，所以单调递减，
所以的最大值为,故， …………………………12分
设，因为，所以时，，
所以在上单调递增,所以,
故时,,即，……………………………………14分
所以．即对任意,恒成立．……16分

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