湖南衡阳市八中2011届高三数学第二次月考-文-新人教A版.doc

衡阳市八中2011届高三第二次月考试题数学（文）
一．选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．

1.已知集合则集合的元素个数是
A．0 B. 1 C. 2 D. 3

2.特称命题“实数x，使”的否定可以写成
A.若，则 B.
C. D.

3.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f（xy）＝f（x）+f（y）”的是

A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数

4. 是第四象限角，，则= ．
A． B． C． D．

5.函数的值域是
A. B. C. D.

6.函数y=x+cosx的大致图象是
x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

A B C D

7.曲线在点处的切线方程为 .
A. B. C. D.
8.已知函数，若则实数的取值范围是

A. B. C. D.

二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡对应题号后的横线上.

9.已知函数，则其定义域为： ▲ 。

10.若不等式x2 + 2x – 6≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是 ▲ ．

11.已知，则的值是： ▲ 。

12.已知函数，则其最小正周期为： ▲ 。

13.设实数，，，则三数由小到大排列是 ▲ ．

14.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为的保值区间．

若的保值区间是 ，则的值为 ▲ ．

15.定义在R上的偶函数满足：
①对任意都有成立；
②；
③当且时，都有．
则：⑴ ▲ ；

⑵若方程在区间上恰有3个不同实根，则实数的取值范围是__ ▲ __．

三．解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(分值：12′)已知函数
⑴求函数的单调增区间；
⑵已知角满足，，求的值。

17．(分值：12′)已知p：是的导函数，且；
q：集合，B={ x | x >0}，且AB=．
求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．

18．(分值：12′)已知函数的
图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值
与最小值及相应的的值.

19．(分值：13′)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴
多少元才能使该单位不亏损？

20．(分值：13′)设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．
⑴已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．
⑵观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

21．(分值：13′) 己知．
(Ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；
(Ⅲ)若的图象与轴交于两点，中点为，求证：．

衡阳市八中2011届高三第二次月考
数学（文）答卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9． ；10． ；
11． ；12． ；
13． ；14． ；
15． ；
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．

17．

18．

19．

20．

21．

衡阳市八中2011届高三第二次月考试题
数学（文科）
一．选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1.已知集合则集合的元素个数是 ( B )
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
2.特称命题“实数x，使”的否定可以写成（ D ）
A.若，则 B.
C. D.
3.下列四类函数中,有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（xy）＝f（x）+f（y）”的是( B )
A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数
4. 是第四象限角，，则= ．( B )
A． B． C． D．
5.函数的值域是 （ B ）
A. B. C. D.
6.函数y=x+cosx的大致图象是 ( B )
x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

A B C D
7.曲线在点处的切线方程为 . ( C )
A. B. C. D.
8.已知函数，若则实数的取值范围是( A )
A. B. C. D.
二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡对应题号后的横线上.
9.已知函数，则其定义域为： ▲ 。
10.若不等式x2 + 2x – 6≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是 ▲ ．-7
11.已知，则的值是： ▲ 。1
12.已知函数，则其最小正周期为： ▲ 。
13.设实数，，，则三数由小到大排列是 ▲ ．
14.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为的保值区间．
若的保值区间是 ，则的值为 ▲ ．
15.定义在R上的偶函数满足：
①对任意都有成立； ②；
③当且时，都有．
则：⑴ ▲ ；
⑵若方程在区间上恰有3个不同实根，则实数的取值范围是__ ▲ __．

三．解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知函数
⑴求函数的单调增区间；
⑵已知角满足，，求的值。
解：
⑴函数在区间单调递增。（6分）
⑵

∵，∴
∴。（12分）
17．已知p：是的导函数，且；
q：集合，B = { x | x >0}，且AB=．
求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
解：先考虑：∵，∴ ，可得，解得：；（3分）
再考虑：①当△＜0时，，，此时：由得； ②当△≥0时，由可得：，解得．由①②可知．（9分）
要使p真q假，则；要使p假q真，则，
综上所述，当的范围是时，p、q中有且只有一个为真命题．（12分）

18．已知函数的图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值
与最小值及相应的的值.

解析：（1）由图象知. .
4分
图象过点，则
. 6分
（2）
8分
.
当，即时， 11分
当，即时，. 12分

19．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴
多少元才能使该单位不亏损？
解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
3分
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元． 7分
（2）设该单位每月获利为,
则 9分

因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损． 13分

20．设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．
⑴已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．
⑵观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．
解 ⑴由得，
当时，，
此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点；
当时，，
此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点；
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
对任意x∈R，，
所以
因此直线是曲线的“上夹线”． （6分）
⑵推测：的“上夹线”的方程为
①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：
设：
，
令，得：（kZ）
当时,
故：过曲线上的点(，)的切线方程为：
y－[]= [－()]，化简得：．
即直线与曲线相切且有无数个切点．
不妨设
②下面检验g(x)F(x)
g(x)－F(x)=
直线是曲线的“上夹线”． （13分）
21．己知．
(Ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；
(Ⅲ)若的图象与轴交于两点，中点为，求证：．

【解析】(Ⅰ)依题意：
在上递增，对恒成立
即对恒成立，只需
当且仅当时取，
的取值范围为 ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)当时，，其定义域是

时，当时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
当时，函数取得最大值，其值为
当时，即
函数只有一个零点 ……………………………………………………………8分
(Ⅲ)由已知得 两式相减，得

由及，得

令，
在上递减，
∵， ∴． ………………………………………13分
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