张量概念及其基本运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,张量概念及其基本运算,1,、张量概念,张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介,质力学的重要数学工具。,张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。,所有与坐标系选取无关的量，统称为,物理恒量,。,在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明,的物理量，统称为,标量,。例如温度、质量、功等。,在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向,的物理量，称为,矢量,。例如速度、加速度等。,绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需,三个分量来确定。,1,若我们以,r,表示维度，以,n,表示幂次，则关于三维,空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表,示成：,M,=3,n,现令,n,为这些物理量的阶次，并统一称这些物,理量为张量。,当,n,=0,时，零阶张量，,M,=1,，标量；,当,n,=1,时，一阶张量，,M,=3,，矢量；,、,、,、,当取,n,时，,n,阶张量，,M,=3,n,。,2,张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定,坐标转化关系的有序数组成的集合。,张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是,0,阶张量，,矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量,好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示,张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示,物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有,的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就,必须扩大，于是张量就出现了。,3,在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表,示和区别该张量的所有分量。,不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标,号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数,量确定张量的阶次。,重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称,为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，,再求和。,2.,下标记号法,4,3.,求和约定,关于哑标号应理解为取其变程,n,内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：,5,6,关于求和标号，即哑标有：,求和标号可任意变换字母,表示。,求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。,在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前,优先求和。例：,7,关于自由标号：,在同一方程式中，各张量的自由标号相同，,即同阶且标号字母相同。,自由标号的数量确定了张量的阶次。,关于,Kronecker delta,（）符号：,是张量分析中的一个基本符号称为,柯氏符号,（或,柯罗尼克尔符号,），亦称,单位张量,。其定义为：,8,的作用与计算示例如下：,9,4.,张量的基本运算,A,、,张量的加减：,张量可以用矩阵表示，称为,张量矩阵,，如：,凡是同阶的两个或几个张量可以相加,(,或相减,),，,并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号,相同的诸分量之代数和。即：,其中各分量（元素）为：,10,B,、,张量的乘积,对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。,两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的,每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，,它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一,个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积,张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：,若,11,则：,张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配,律和结合律。例如：,12,C,、,张量函数的求导：,一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都,是坐标参数,x,i,的函数。,张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数,求导数。,对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标,符号前上方加,“,”,的方式来表示。例如 ，,就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数,x,j,求导。,13,如果在微商中下标符号,i,是一个自由下标，则,算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶,的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，,则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。,例如：,14,