2013年高考倒计时60天数学(理)正能量：第1辑金题强化卷01(解析版).pdf

2013201320132013 年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（数学理（数学理（数学理（1 1 1 1）第 I 卷一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【江西省临川一中 2012 届高考五月模拟考试（一）】设集合101xAxx=+，1Bx xa=，则“1a=”是“AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】10=1 1,1xAxxxx=+1=1+1,Bx xaxa xa=则1+-1 1-10,ABaaa 或“1a=”是“AB”的充分不必要条件。2.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数，则是A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数来源:学&科&网【答案】A【解析】()()f xg x的定义域为()1,1记()F x=()()f xg x21log1xx+=，则()Fx=21log1xx+121log1xx+=21log1xx+=()F x=，故()()f xg x是奇函数.3.【浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题】设3,10,()(5),10,xxf xf f xx=+，推断：对一切2,(1)2nnn+N N N N7.【2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试】在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知274sincos222ABC+=，且7c=，则ABC的面积的最大值为（）.A7 34B34C7 38D388.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】已知,a b是正数，且满足224ab+，12ss（B）12xx，12ss（C）12xx，12ss（D）12xx10.【原创题】把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为Al03cmB10 cmC102cmD30cm【答案】B【解析】由题意球心在 AP 上，球心为 O，过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为 20cm，所以 AM=10，BP=20,BM=10，AB=10 2,设BPA=，在RtBPM 中，222BPBMPM=+,所以，10 3PM=在RtPAM 中,222PMAMAP=+,所以，10 2PA=在RtABP 中,10 22sin202ABBP=在RtONP 中,sinONROPOP=,所以，22ROP=，所以，2OPR=在RtOAM 中,222OMAOAM=+,所以，22(10 22)100RR=+,解得，R=10 或 30（舍）,所以，R=10cm,故选 B第卷二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。来源:中教网11.【2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试】12208(16)xxdx+=12.【原创 题】已 知xxf2sin)(=，若等 差数 列na的 第 5 项 的 值 为)6(f，则=[phone]aaaaaaaa。【答案】4【解析】13cos2)6(2cos2)(5=faxxf422)(55829118899221=+=+aaaaaaaaaaaaaa13.【河北省唐山市 20112012 学年度高三年级第二次模拟考试】直线l与双曲线 C：22221(0,)xyabab=交于 A、B 两点，M 是线段 AB 的中 点，若l与 OM（O 是原点）的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的离心率为14.【安徽省 2013 届高三开年第一考】执行右边的程序框图，输出的结果 S 是来源:学科网15.（1）【江西省临川一中 2012 届高考五月模拟考试（一）】在极坐标系中，点 A(2,3)到直线l：1)6cos(=的距离为（2）【改编题】设f(x)|x|2|xa|（a0）,若 f（x）4 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】4，)【解析】f(x)|x|2|xa|2a3x，x0，2ax，0 xa，3x2a，xa可见，f(x)在(，a单调递减，在(a，)单调递增来源:中。教。网z。z。s。tep当xa时，f(x)取最小值a所以，a取值范围为4，)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.【2012 海淀区高三年级第二学期期末练习】已知公差不为的等差数列na的前n项和为nS，346Sa=+，且1413,a a a成等比数列.（）求数列na的通项公式；（）求数列1nS的前n项和公式.【思路分析】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项求和的应用.第一问利用方程思想解决；.第二问主抓数列的通项公式采用裂项相消法的方法求解.（）由21nan=+可知：2(321)22nnnSnn+?=+.6 分所以111 11()(2)22nSn nnn=-+.8 分所以123111111nnSSSSS-[phone]()2 132435112nnnn=-+-+-+-+-[phone]()2 12124(1)(2)nnnnnn+=+-=+.所以数列1nS的前n项和为2354(1)(2)nnnn+.12 分17.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分 12 分）已知函数()23sin coscosf xxxxm=+()R R R Rm的图象过点(,0)12M.（）求m的值；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若cos+cos=2 coscBbCaB，求()f A的取值范围解：（）由311()sin2(1cos2)sin(2)2262f xxxmxm=+=+3 分来源:z|zs|因为点(,0)12M在函数()f x的图象上，所以1sin(2)01262m+=解得：12m=5 分18.【2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试】（本小题满分 12 分）对某校 高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：求出表中M、p及图中a的值；若该校高一学生有 360 人，试估计他们参加社区服务的次数在区间)15,20内的人数；学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在)25,30区间的学生发放价值 80 元的学习用品，对参加活动次数在)20,25区间的学生发放价值 60 元的学习用品，对参加活动次数在)15,20区间的学生发放价值 40 元的学习用品，对参加活动次数在)10,15区间的学生发放价值 20 元的学习用品，在所取样本中，任意取出 2 人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望()E X.【思路分析】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.【解析】由题可知50.25M=，12nM=，mpM=，10.05M=又5 121mM+=来源:中国教育出版网解得20M=，0.6n=，2m=，0.1p=则15,20)组的频率与组距之比a为 0.12.(4 分)由知，参加服务次数在区间15,20)上的人数为360 0.6216=人.(6 分)分组频数频率10,15)50.2515,20)12n20,25)mp来源:中教网25,30)10.05合计M110152025300a频率组距次数所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60 元，则22251222201066 177(0)190190CCCPC+=，111111512122212206024286(20)190190C CC CC CPC+=，11115212122010 1222(40)190190C CC CPC+=，11512205(60)190C CPC=.所以X的分布列为：X0204060P7719086190221905190来源:z#zs#(10 分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E XPPPP=+7786225290020406019019019019019=+=(12 分)19.【河北省唐山市 20112012 学年度高三年级第二次模拟考试】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ABAD，AB CD，AB=2AD=2CD=2E 是 PB 的中点（I）求证：平面 EAC平面 PBC;（II）若二面角 P-A C-E 的余弦值为63，求直线PA 与平面 EAC 所成角的正弦值【思路分析】本题考查面面垂直的证明，二面角和线面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。第一问要先证线面垂直，再证面面垂直；第二问利用向量法求解。解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD2，ACBC 2，AC2BC2AB2，ACBC，来源:学科网又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC4 分（）如图，以C为原点，DA、CD、CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)（a0），则E(12，12，a2)，6 分DACEPBxyzDACEPBCA(1，1，0)，CP(0，0，a)，CE(12，12，a2)，来源:中国教育出版网 取m(1，1，0)，则mCAmCP0，m为面PAC的法向量设n(x，y，z)为面EAC的法向量，则nCAnCE0，即xy0，xyaz0，取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|mn|m|n|aa2263，则a210 分于是n(2，2，2)，PA(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则 sin|cosPA，n|PAn|_|PA|n|23，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为2312 分20.【广州市【广州市 20132013 届高三年级届高三年级 1 1 月调研测试】月调研测试】（本小题满分 14 分）已知椭圆()22122:10 xyCabab+=的右焦点与抛物线22:4Cyx=的焦点F重合,椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P,53PF=.(1)求椭圆1C的方程；(2)若过点()1,0A的直线与椭圆1C相交于M、N两点，求使FMFNFR+=成立的动点R的轨迹方程；(3)若点R满足条件（2），点T是圆()2211xy+=上的动点，求RT的最大值.(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)又1c=，且22221abcb=+=+，4 分解得224,3ab=.椭圆1C的方程为22143xy+=.5 分来源:z|zs|解法解法 2 2:抛物线22:4Cyx=的焦点F的坐标为()1,0，设点P的坐标为()00 xy,0000 xy,.53PF=,()22002519xy+=.1 分点P在抛物线22:4Cyx=上,2004yx=.解得023x=,02 63y=.点P的坐标为2 2 6,33.2 分来源:Zxxk.Com点P在椭圆22122:1xyCab+=上，2248193ab+=.3 分又1c=，且22221abcb=+=+，4 分解得224,3ab=.椭圆1C的方程为22143xy+=.5 分(2)解法解法 1 1：设点M()11,x y、()22,N xy、(),R x y，则()()()11221,1,1,FMxyFNxyFRxy=.()12122,FMFNxxyy+=+.FMFNFR+=,121221,xxxyyy+=+=.6 分M、N在椭圆1C上，222211221,1.4343xyxy+=+=上面两式相减得()()()()12121212043xxxxyyyy+=.把式代入式得()()()12121043xxxy yy+=.来源:中+国教+育出+版网当12xx时，得()1212314xyyxxy+=.7 分设FR的中点为Q，则Q的坐标为1,22xy+.M、N、Q、A四点共线，MNAQkk=,即121221312yyyyxxxx=+.8 分来源:Zxxk.Com把式代入式，得()3134xyxy+=+，化简得()2243430yxx+=.9 分当12xx=时，可得点R的坐标为()3,0，经检验，点()3,0R在曲线()2243430yxx+=上.动点R的轨迹方程为()2243430yxx+=.10 分解法解法 2 2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为()1ykx=+，由()221143yk xxy,=+=消去y，得()22223484120kxk xk+=.设点M()11,x y、()22,N xy、(),R x y，则2122834kxxk+=+,()()()1212122611234kyyk xk xk xxk+=+=+=+.6 分()()()11221,1,1,FMxyFNxyFRxy=.()12122,FMFNxxyy+=+.FMFNFR+=,121221,xxxyyy+=+=.21228134kxxxk+=+=+,2634kyk=+.7 分来源:得()314xky+=，8 分把代入化简得()2243430yxx+=.(*)9 分当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为1x=,依题意,可得点R的坐标为()3,0，经检验，点()3,0R在曲线()2243430yxx+=上.动点R的轨迹方程为()2243430yxx+=.10 分当3x=时,4RFmax=,13 分此时,415RTmax=+=.21.【原创题】（本小题满分 14 分）已知221()ln,02f xxax a=.（I）求函数 f（x）的最小值；（II）（i）设0,:()();taf atf at+