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2012学年第二学期期中杭州七校联考
高二年级数学（文科）试 题
考生须知：
1.本卷满分120分，考试时间100分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．是虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是实数，则“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．曲线与曲线的 （ ）
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
4．下列有关命题的说法正确 （ ）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．命题“若，则”的逆否命题为真命题
C．命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”
D．“”是“”的必要不充分条件
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a， b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．设曲线上任一点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为( )
7．已知直线与曲线切于点(1,3)，则的值为( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
8．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，点P到直线的距离为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
9．函数的定义域为R,,对任意,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
A
第10题图
10．如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右2个分支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. C. D.
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分，请把答案写在答题卡上）：
11．若 , ，且为纯虚数，则实数的值为 ▲ .
12、以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是_______▲__________
13、观察下列等式:
,
,
,
,
由以上等式推测:对于,若则 ▲ .
14、设函数，若在上没有零点，则实数的取值范围为____▲______.
15、已知函数，若不是函数的极值点，则的值为 ▲ 。
16、已知点 满足椭圆方程，则 的最大值为 ▲ .
三、解答题：（共5小题，共56分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（本题满分10分）已知命题:在区间上是增函数；命题：关于的不等式的解集为,若为真，为假,求实数的取值范围。
18、 （本题满分10分） 已知函数()
(1) 当=3时,求函数的单调区间.
(2) 若函数在区间上有极小值点,求实数的取值范围.
19、（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.
求证：是的平分线。
20、（本小题满分12分）已知函数 ，．
(Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
(Ⅱ）当 时，求证：无论取何值，直线均不可能与函数相切；
(Ⅲ）是否存在实数，对任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。
21、（本题满分12分）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（第21题）
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，设点到直线的距离为，求的最小值．
2012学年第二学期期中杭州七校联考
高二年级数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
C
A
A
D
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
三、解答题：（共5小题，共56分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.解：对于命题，由条件可得 .......2分
对于命题，由条件可得 ........4分
为真，为假，∴与一真一假........5分
(1)若真假,则 .......7分
(2)若假真,则 .......9分
综上可得，的取值范围是或........10分
18.解：(1)当=3时, ........2分
当,上为增函数,
同理在上为减函数. ........5分
14.
①当在上是增函数. 所以若函数在区间上是增函数无极小值点 ,不合题意........7分
②当时,在上是减函数,在上是增函数 .
由题意得: ........10分
19解：（Ⅰ）解：由 ， 得 . ………2分
依题意△是等腰直角三角形，从而，故. ………4分
所以椭圆的方程是. ………5分
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 .
所以 ，. ………7分
所以
.
-----------------------------------------------10分
将 ，代入上式得，-------11分
则直线，的倾斜角互补，从而使是的平分线. ----12 分
20. 解；（Ⅰ）显然函数的定义域为， ....................1分
当． ...............2分
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ． ............ 4分
（Ⅱ）∵， ....5分
假设直线与相切，设切点为，则
所以所以无论取何值，直线均不可能与函数相切。....................8分
（Ⅲ）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：
令，只要 在为增函数
又函数．
考查函数..................10分
要使,
故存在实数
恒成立..........12分
21.解：（Ⅰ）的焦点为， …1分
所以，． …3分
故的方程为，其准线方程为． …5分
（Ⅱ）设，，，
则的方程：，
所以，即．
同理，：，． …7分
的方程：，
即．
由，得，． …9分
所以直线的方程为． …10分
于是．
令，则（当时取等号）．
所以，的最小值为． …12分
7
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