高三数学-圆锥曲线中的四心知识点分析-大纲人教版.doc

圆锥曲线中的“四心”
摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用．
关键词：思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力

正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考．
例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；
由椭圆经过A、B、C三点
设方程为
得到的方程组
解出
思维流程：
（Ⅰ）

由内切圆面积最大
转化为面积最大
转化为点的纵坐标的绝对值最大最大
为椭圆短轴端点
面积最大值为

（Ⅱ）

得出点坐标为

解题过程：
（Ⅰ）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得.
∴椭圆的方程 ．
（Ⅱ），设Δ边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.
点石成金：
例2、椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：

写出椭圆方程
由，
，
（Ⅰ）

由F为的重心

（Ⅱ）

两根之和，
两根之积

得出关于
m的方程
解出m
消元

解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即
∴
故椭圆方程为
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故，
于是设直线为 ，由得

∵ 又
得 即
由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件．
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例3、在椭圆C：中，分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆C上的且在第一象限内的一点，的重心为G，内心为I．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）已知为椭圆C上的左顶点，直线过右焦点与椭圆C交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．
思维流程：
由已知得， 设
重心

I的纵坐标为
∥

（Ⅰ）

由，可知的斜率一定存在且不为0，设为k
的方程为
消去y
得

利用
得的方程
解出
（Ⅱ）

解题过程：
（Ⅰ）设，重心，由已知可知，
则，
由 又
内心I的纵坐标为
∥ 即．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；
则直线l的斜率存在．
设直线为，直线l和椭交于，。
将

依题意：
由韦达定理可知：
又

而

从而
求得符合
故所求直线MN的方程为：
点石成金：重心的特点为坐标．
例4、已知双曲线C以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为焦点．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若为双曲线C的左右焦点，为双曲线C上任意一点，为的外心，且,求点的坐标．
思维流程：
由已知易得双曲线中

写出双曲线的方程
（Ⅰ）

是的外心

在y轴上，且

在中，
（Ⅱ）

解题过程：
（Ⅰ）由已知可知，双曲线的，则双曲线的方程为
（Ⅱ）因为为外心，所以，
则点在线段的垂直平分线上即在轴上
又同弧上的圆心角是圆周角的2倍，
则
在中， 则
即．
点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点．
能力提升：1、椭圆：求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程．
解：如图（1），设点P，内心为，焦点，，，则．
过内心I作垂直于点．
∵ 点I是△的内心，点是内切圆的切点， 图（1）
∴ 由切线长定理，得方程组：，
结合，解得：．
而， ∴　 ，既．……………………①
又∵ △面积，，
∴，既=．…………………………………②
将①②代入，得．
可知，椭圆焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，
它的离心率是．
已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点、在双曲线的右支上，点到直线的距离为，
若直线的斜率为，且, 求实数的取值范围；
当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.

2、椭圆：求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；
解：如图（2），设点P，垂心为，焦点，则，．
∵⊥，
∴=0． 图（2）
又 ∵，
∴ ．……………………………………..①
而，
∴……………………….②
将②式代入①式，整理得： ．
由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．
3、已知动圆过定点，且与定直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与轨迹相交于、两点，若在直线存在点，使为正三角形，求直线方程.
（Ⅲ）当直线得斜率大于零时，求外心的坐标．
解：（Ⅰ）设动圆圆心为，根据题意，
得 化简得
故动圆圆心的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，，弦中点为
（ⅰ）当时，由 得
此时，有图形的对称性可知，上的点只可能是
而 故，不合题意.
（ⅱ）当时，由 得

则 即
若在直线上存在点，使为正三角形
则设直线，与联立，
解得，即
由，得
即
化简得 即
故直线的方程为
（Ⅲ）由(Ⅱ）知，，直线的方程为，点
得
则 ，
则的外心坐标为，即
4、椭圆：求椭圆的焦点三角形重心的轨迹方程；
提示：椭圆焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图（5），它的离心率与的离心率相同，方程为．

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