高三数学数列(二)等比数列人教版知识精讲.doc

高三数学数列（二）等比数列人教版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
数列（二）等比数列

二. 知识讲解：
1. 判定
（1）定义法（）（）
（2）等比中项法（）
（3）通项法
（4）前项和法（）
2. 性质为等比
（1）若，则（）

（2）为的子数列，，若为等差，则为等比

如
则仍为等比数列；公比
（3）中依次项和仍成等比，公比

如仍为等比数列；公比
（4）中依次项积仍为等比，公比

（5）
由
（6）
左式

【典型例题】
[例1] 若等比数列前项和，则常数的值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
解：，故

[例2] 等比数列中，已知，求
解：由成等比且公比为可求

[例3] 数列的前项和记为，已知（），求的和。
解：当时，
由已知
于是
故
由
故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以数列
是以为首项为公比的等比数列

[例4]（96全国文）设等比数列前项和为，若，求数列的公比
解：若，则有，但，即得，故
又依题意，可得

即
由即
∵ ∴ ∴

[例5] 已知数列满足条件，（），且是公比为（）的等比数列，设（）
（1）求出使不等式（）成立的的取值范围；
（2）求；
（3）设，求数列的最大项和最小项的值。
解：
（1）由题意，由
上式，又，故
（2）∵ ∴
，故是首项为公比为的等比数列，从而
当时，；
当时，
（3）由
故
记从上式可知，当
即（）时，随的增大而减小，故

当，即（）时，也随的增大而减小，故

综上知，对任意正整数，有
故的最大项，最小项
注：设，此函数图象是将的图象向右移20.2个单位，向上移一个单位而得的。

[例6] 设是由正数组成的等比数列，是其前项和，证明

证法1：设的公比为，由题设知
（1）当时，，从而

（2）当时，，从而

由（1）和（2）得，又根据对数函数的单调性，
得
即
证法2：设的公比为，由题设知，
∵
∴

即

[例7] 已知数列是首项为，且公比不等于1的等比数列，是其前项和，成等差数列。
（1）证明：成等比数列；
（2）求和：
证明：由成A.P
或（舍去）
由

即，所以成G.P
（2）

①
①得： ②
①－②有：

故

[例8] 如图是一个计算机装置示意图，，是数据输入口，C是计算结果的输出口，计算过程是由分别输入正整数和，经计算得正整数，然后由C输出，即，此种装置完成的计算满足以下三个性质：
① 若分别输入1，则输出结果为2，即；
② 若输入1，的输入由变为，则输出比原来大2，即
+2
③ 若输入，的输入由变为，则输出结果为原来的3倍，即

试回答下列问题：
（1）若J1输入2，J2输入3，则输出的结果为多少？
（2）若J1输入1，J2输入，则输出的结果为多少？
（3）由C能输出多少个不同的两位数？

解：
（1）由

则
（2）数列是以为首项，2为公差的等差数列
其输出结果为
（3）是关于的等比数列，首项，公比3

当时，表示的两位数组成了以10为首项，98为末项的偶数数列共45项，当时，所表示的两位数已在上述数列中
综上，由C能输出45个不同的两位数。

【模拟试题】
一、选择题。
1. 无穷数列为等比数列的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列叙述中正确的是（ ）
A.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
B.等比数列的公比q＞0时，是递增数列
C.若数列{an}为常数列，则此数列为等比数列
D.已知等比数列{an}的通项公式an= （－2）n，则它的公比q=－2

3. 一个等比数列的第三、第四项分别是4和8，那么它的第一、第五项分别是（ ）
A. 2，12 B. 1，12 C. 2，16 D. 1，16
4. 已知{an}是等比数列，则在下列数列①{}②{c－an}，c为常数 ③{an2} ④{a2n}⑤{an+an－1} ⑥{lgan}中，成等比数列的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 已知数列a，a（a－1），a（1－a）2，…是等比数列，则实数a满足（ ）
A.a≠1 B.a≠1或a≠0 C.a≠0 D.a≠1且a≠0
6. 某林场计划第一年造林a亩，以后每年比前一年多造林20%，那么第五年造林的亩数是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在8和5832之间插入5个实数，使它们构成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是（ ）
A. 1168 B. 846 C. 832 D. 648
8. ，则数列a，b，c（ ）
A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列
C. 是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列又不是等比数列
9. 等比数列，若，那么这个等比数列的公比等于（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空题。
10. 在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数____________。
11. 已知数列{an}中，a1=2，=（n∈N*），则数列{an}的第20项a20=__________.
12. 已知五个数成等比数列，则________，________，________或________，________，________。
13. 已知等比数列{an}中，a3=－4，a6=54，则a9=__________.
三、解答题。
14. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数。

15. 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2≠1，a8=b3.
（1）求数列{an}的公差和数列{bn}的公比.
（2）是否存在常数x、y，使得对于一切正整数n，都有an=logxbn+y成立?若存在，求出x和y；若不存在，请说明理由.

【试题答案】
一、
1. C 2.D 3. D 4.B 5.D 6. B 7. D 8. A 9. D
二、
10. 4
11. 220
12.
13. －729
三、
14. 设四个数依次为
依题意有
由<2>得：代入<1>
整理得：
解得：
从而
故这四个数为0，4，8，6或15，9，3，1。

15. 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则或
（2）假设存在x、y，使得an=logxbn+y成立（n∈N*），
即1+（n－1）×5=logx6n－1+y，
所以5n－4=（n－1）logx6+y，
（5－logx6）n－（4+y－logx6）=0对一切正整数n都成立.
所以
即存在常数x=，y=1，使得对于一切正整数n，都有an=logxbn+y成立.