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第二章章末综合检测
(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)
(检测范围：第二章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数f(x)＝是奇函数，则a的值为 ( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析 B f(x)＝＝x＋＋a＋1是奇函数，则a＋1＝0, 即a＝－1.
2．函数f(x)＝的图象是 ( )
解析 C 函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．
3．(2013·昆明模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法中正确的是( )
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；
②f(x)的值域为[1，＋∞)；
③f(x)是奇函数；
④f(x)在(0,1)上单调递增．
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析 C ①正确；②x＋≥2， (x＋)≤－1，不正确；③不正确；④u(x)＝x＋在(0,1)上递减，则f(x)在(0,1)上递增，正确．
4．已知a＋＝7，则a＋a＝ ( )
A．3 B．9
C．－3 D．±3
解析 A ∵a＋＝7＞0，∴a＞0，a＋a＞0.
∵(＋a)2＝a＋＋2＝9，∴a＋a＝3.
5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A．y＝－x3 B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析 A 选项B、D中的函数不是奇函数，选项C中的函数不是减函数，仅选项A符合条件．
6．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是 ( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．②
解析 D ①中，M＝N＞0，故①错；③中，由M2＝N2得M＝±N，故③错；④中，若M＝N＝0，则logaM2、logaN2无意义，故④错．仅②正确．
7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 ( )
A. B.
C．2 D．4
解析 B 当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝，符合条件．
8．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间 ( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析 B ∵1.25是1和1.5的中点值，且f(1.25)·f(1.5)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有 ( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
解析 A 当x<1时，f′(x)<0，此时函数递减，当x>1时，f′(x)>0，此时函数递增，即当x＝1时，函数取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，即f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A.
10．(2013·成都一模)直线y＝2x＋4与抛物线y＝x2＋1所围成封闭图形的面积是 ( )
A. B.
C. D.
解析 C 直线与抛物线在同一坐标系的图象如图，则
11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ( )
A．3 B．4
C．6 D．5
解析 A 设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，所以l＝，要使用料最省，只需使圆柱形的表面积最小．S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π，所以S′(R)＝2πR－.令S′(R)＝0得R＝3，则当R＝3时，S表最小．故选A.
12．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是 ( )
A．①② B．②③
C．③④⑤ D．③
解析 D 当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，且f(－2)＝2，则f(2 012)＝________.
解析 令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3)，即f(3)＝f(－3)＋2f(3)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(3)＝0，
∴f(x＋6)＝f(x)，
∴f(2 012)＝f(6×335＋2)＝f(2)＝f(－2)＝2.
【答案】 2
14．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析 由题意知或
解得－4≤x≤0或0<x≤2，故x∈[－4,2]．
【答案】 [－4,2]
15．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．
解析 f′(x)＝ex－2，由f′(x)＝ex－2＝0，得x＝ln 2.当x>ln 2时，f′(x)>0，当x<ln 2时，f′(x)<0，所以当x＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则有f(ln 2)≤0，即f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋a≤0，即a≤2ln 2－2，所以a的取值范围是(－∞，2ln 2－2)．
【答案】 (－∞，2ln 2－2)
16．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为________．
解析 方法一：令f(x)＝，则f′(x)＝，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
∴f(3)＞f(4)＞f(5)，即a>b>c.
方法二：令f(x)＝ln x，则为(3，ln 3)，(0,0)两点连线的斜率．
由图可知a＞b＞c.
【答案】 a＞b＞c
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)设函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)和g(x)的解析式．
解析 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． ①
由f(x)＋g(x)＝，得f(－x)＋g(－x)＝，即f(x)－g(x)＝＝－. ②
又f(x)＋g(x)＝，
由①，②得f(x)＝，g(x)＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)．
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函数f(x)的表达式．
解析 (1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)，
∴解得a＝－3，b＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0.
∴在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0,2)上，f′(x)＜0；
在(2，＋∞)上，f′(x)＞0.
∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，
∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴x0＝2.
由f(2)＝－5，得c＝－1.∴f(x)＝x3－3x2－1.
19．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝－x2＋ax－3在区间(0,1)与(2,4)上各有一个零点，求a的取值范围．
解析 ∵函数f(x)＝－x2＋ax－3的图象是开口向下的抛物线，在区间(0,1)与(2,4)上与x轴各有一个交点，∴利用图象可知
⇒解得4＜a＜.
故所求a的取值范围是.
20．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析 (1)函数的定义域为{x|x≠0}．
当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；
当a≠0时，f(x)＝x2＋，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，f(－1)≠±f(1)，∴f(x)是非奇非偶函数．
(2)若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．
由f′(x)＝2x－≥0，得2x≥，a≤2x3，
而(2x3)min＝16，∴a≤16.
21．(12分)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图为函数y＝f(x)的图象，在x∈[0,4]时为二次函数，且当x＝4时到达顶点，在x∈(4,20]时为一次函数，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效计算出第二次服药时间．
解析 (1)当0≤x≤4时，
由图象可得y＝a(x－4)2＋320.
当x＝0时，y＝0，得a＝－20，∴y＝－20(x－4)2＋320；
当4＜x≤20时，设y＝kx＋b，将(4,320)，(20,0)代入，
解得∴y＝400－20x.
综上，得f(x)＝
(2)设x为第一次服药后经过的时间，则第一次服药的残留量f(x)＝
由f(x)≥240，
得或
解得2≤x≤4或4＜x≤8，∴2≤x≤8.
故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16：00.
22．(14分)已知f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求f(x)的解析式；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若对任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，求b的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝1－，
∵f′(2)＝3，∴a＝－8.
由切点P(2，f(2))在y＝3x＋1上，可得b＝9.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
(2)f′(x)＝1－，当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)，
这时f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数；
当a＞0时，由f′(x)＝0，得x＝±.
当x变化时，f′(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，0)
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
∴f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数，在(－，0)和(0，)上是减函数．
(3)由(2)知，f(x)在上的最大值为f与f(1)中的较大者．
对任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，当且仅当即对任意的a∈成立，从而得b≤.
∴满足条件的b的取值范围是.
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