全国名校2013年中考数学模拟试卷分类汇编30-相似形.doc

相似形
一、选择题
1、（2013江苏东台实中）在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）
A、缩小2倍 B、扩大2倍 　C、不变 　D、不能确定
答案：C
2、（2013·温州市中考模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，DE=3，则BC的长为

A．9 B．6 C．4 D．3
答案：A
3、（2013·湖州市中考模拟试卷3）如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是( ).
A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶4 D. 2∶1
答案：C
4、6．(2013年河北二摸)两个相似三角形的面积比是9∶16，则这两个三角形的相似比是
A．9∶16 B．3∶4 C．9∶4 D．3∶16
答案：B
二、填空题
1、（2013·湖州市中考模拟试卷1）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为________m.
答案：100
2、（2013·湖州市中考模拟试卷7）与的比例中项是 .
答案： ±1
3、(2013年河南西华县王营中学一摸)如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.
答案：

三、解答题
1、（2013安徽芜湖一模）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）
解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为 …………………………… （4分）
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4 , ∴P1
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） ……………………（8分）
（3）如图设点E ，则

①当P1(-1,4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得： ,即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =
∴ ∴
∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：
即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）
2、（2013江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).
（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为 ,点B的对应点C的坐标为 ；
（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；
（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？

答案：(1)画图1分; C (-2,0),D(0,-3). ……3分
(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),
将D(0,-3)代入,得a=3/8. ……5分
∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3. ……6分
大致图象如图所示. ……7分
(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，
此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.
①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,
由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s. ……9分
②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).
由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s. ……10分
③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. ……11分
∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分
3、（2013温州市一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， D是⊙O上一点，且AD∥OC ．

（1）求证：△ADB∽△OBC．
（2）若AB=6，BC=4．求AD的长度 ．（结果保留根号）

答案：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠D＝∠OBC＝90°
∵AD∥OC[
∴∠A＝∠COB
∴△ADB∽△OBC
（2）∵AB=6, ∴OB=3,
∵BC=4,

∵△ADB∽△OBC[
∴

4、(2013年深圳育才二中一摸)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，求的值．

答案：
（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC …………1分
∵∠BOC=2∠BAC …………………………2分
∴∠BOC=∠BAF
∴OC∥AF …………………………………………3分
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线 …………………………4分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5分
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE ………………………………………6分
∴==（sin∠BAC）2==．…………………………7分
∴= …………………………8分
5、(2013年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
第25题图

【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．………………3分

（2）（3分）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．………………6分
（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。
∴OM＝BN＝BC＝1
令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），
∵AM＝AB－MB＝4－x
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2
即x2=(4－x)2+12
解之得：x＝
∴AM＝4－＝
又∵Rt△AOM∽Rt△EFO
∴＝ 即＝
∴OF＝ ∴FG＝2OF＝ ………………………………10分
解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4
令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），
∵OH＝4－x
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2
即x2=12 +(4－x)2
解之得：x＝
∴HO＝4－＝
又∵Rt△AOM∽Rt△EFO
∴＝
即：＝
∴OF＝
∴FG＝2OF＝ …………………………………………10分
6、(2013年河北二摸)探究一：如图1，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．
探究二：如图2，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．
A
D
B
C
E
图1
A
D
B
C
E
图2

答案：解（1）…………………………………………………………1分
A
D
B
C
E
（8-2）
1
2
3
与为正三角形

…………………………………………………………2分
在与中

………………………………………………3分

…………………………………………………4分
…………………………………………………………5分
A
D
B
C
E
（8-3）
2
3
1
（2）
与为等腰三角形，且∠BAC=∠EDC

即
……………………………………………………7分
……………………………………………………8分
又

………………………………………………………………10分
7、(2013年河北二摸)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）点是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．

A
B
C
P
O
N
M

解：
（1），
又，
．…………………………2分
又是的直径，
，
，即，…………3分
而是的半径，
是的切线．………………………………………………4分
（2），
，
又，
∴∠AOB=∠CBO ……………………………………………………6分
∴BC=OC ∴BC=AB……………………………………………………7分
（3）连接，……………………………………………………………………8分
点是弧AB的中点，∴=， ，
∵，，…………………………9分
又∵， ，
， ∴BM=MN·MC，…………………………………10分
又是的直径，=，
．
…………………………………………………………11分
∴ MN·MC= BM=()=8……………………………………………………12分