空间力系及重心.doc

第六章 空间力系及重心
一、内容提要
1、空间力对点之矩和对轴之矩
1）空间力对点之矩是矢量，且
2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法：
（a）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即

(b)若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy和FZ及该力的作用点的坐标x、y、z，则力对各坐标轴的矩可表示为
yFz-zFy
zFx-xFz
xFy-yFx
3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）：

4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。
2、空间任意力系的简化、合成
1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩
主矢R/=F, 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。
主矩Mo=mo(F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。
2）空间任意力系的合成结果

空间任意力系的合成结果
主矢
主矩
最后结果
说明

平衡

合力偶
此时主矩与简化中心的位置无关

合力
合力作用线通过简化中心

┴
合力
合力作用线离简化中心的距离为

//
力螺旋
力系的中心轴通过简化中心
与成角
力螺旋
力系的中心轴离简化中心的距离为
3、空间任意力系的平衡

空间任意力系的平衡方程的基本形式为
，，
，，
2）几种特殊力系的平衡方程
（a）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为
，，
（b）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则，，，其平衡方程的基本形式为：
，，
（c）空间力偶系的平衡方程的基本形式为
，，
4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。

二、基本要求
1、 会计算空间力对点之矩和力对轴之矩。
2、会分析空间任意力系的合成结果。
3、对空间单体的平衡问题，会选取合适的平衡方程形式及投影轴或取矩轴，尽量做到一个方程求解一个未知数。
4、正确建立物体重心、质心、形心等概念，掌握几个基本公式的来由。
5、在不同情况下能选择恰当的方法求物体的重心。

三、典型例题分析

例题1 长方形的长、宽、高分别为a=4m，b=3m，c=5m，受力情形如图1（a）所示。设F2=F3=F，F1=F，试求（1）该力系向点O简化的结果；（2）简化的最终结果。
图1

解：
以简化中心O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz。
从图中几何关系有
，，
易得主矢与对点O的主矩在坐标轴上的投影分别为

即有 ，

可知：主矢方向沿y轴负向，对点O的主矩位于Oxz平面内，故┴。由空间力系简化的理论，该力系可进一步合成为一个合力，设该合力的作用点为O/，则它距简化中心O的距离为

例题2 边长为a的正方形水平薄板ABCD上作用有一力偶m，设该薄板由六根直杆支持而处于平衡，如图2(a)所示。若不计板重及各杆自重，试求各杆的内力。

（b)
（a)

图2

解：
研究对象：取薄板ABCD为研究对象。
受力分析：该薄板共受六个力与一个力偶的作用。为解题方便，不妨设各杆对板均为拉力。其受力图如图2b。
【解法】建立如图2b所示的空间直角坐标系Bxyz，这样取坐标系的目的是使尽可能多的未知反力与坐标轴平行或相交，以使所列的力矩式平衡方程尽可能简单。
首先取z轴为力矩轴，则有
，
可解得
,
解得
,
解得 :
,
解得
,
解得
,
解得
讨论 :本题解题过程中，采用了空间力系平衡方程的基本形式，即三投影三力矩形式。事实上，与平面一般力系一样，为简便计算也可以减少平衡方程中的投影方程式，而代以相同数目的力矩方程式。
如可用下列的三个力矩方程式代替上述三个投影方程。
，
，
，
可以解得与上述相同的结果。

37